精品解析：河南省漯河市实验中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

河南省漯河市实验中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. D. 且 6. 已知二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，那么过点和点的直线一定不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 二次函数图象的对称轴，若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________． 12. 直角三角形的两直角边之和是14，面积是24，则它的斜边长是_________． 13. 拋物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为______． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是____． 15. 定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图像有两个公共点，则的取值范围为_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）如果方程有一个根为2，试求的值． 18. 在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度． 19. 已知二次函数的图象如图，请根据函数图象完成以下问题 （1）随的增大而减小的自变量的取值范围是__________； （2）当时，的取值范围为__________； （3）当时，的取值范围为__________， （4）当时，的取值范围为__________． 20. 已知关于的一元二次方程 有实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两实根分别为与，若，求的值． 21. 2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求该二次函数的表达式； （2）点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求此时点的坐标及四边形ABCP面积的最大值． 23. 投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025辉县市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由； （3）实心球运动的抛物线经过，点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省漯河市实验中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程即可得到满足条件的a值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法，把方程的常数项移到等号右边后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边化为完全平方式的形式即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 3. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 4. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，根据一元二次方程的解的意义和根与系数的关系可得到，将所求代数式变形代入求值即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，以及二次根式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，且， 解得：且， 故选：D． 6. 已知二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先将函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，再计算各点到对称轴的距离，根据开口方向比较大小即可． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为，图像开口向下， 由于点， 可知离对称轴最远，离对称轴最近， ， 故选：A． 7. 将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解即可． 【详解】解：将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为即， 故选：A． 8. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，那么过点和点的直线一定不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象结合已知条件判断即可． 【详解】解：∵函数图象开口向上，与y轴交于负半轴，与x轴有两个交点， ∴，，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴在x轴负半轴上， 当时，， 则在第四象限， ∴过点和点的直线一定不经过第一象限． 故选：A． 9. 定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意判断出，，由对称轴为直线得到，即可判断①；然后根据图象经过点得到，进而可判断②；然后求出函数与x轴的另一个交点为，结合图象即可判断③；首先求出抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为，然后结合图象求解即可． 【详解】解：①根据题意得，， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴函数与x轴的另一个交点为， ∴由图象可得，当或时y随x的增大而增大，故③正确； 根据题意得，抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为， ∴由图象可得，与直线有三个交点， ∴关于x的方程有三个实数根， ∴关于x的方程有三个实数根，故④正确． 综上所述，其中正确结论的个数为3． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称变换，二次函数和x轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 二次函数图象的对称轴，若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．根据对称轴求出的值，从而得到，5时，函数的值，再根据一元二次方程在（为实数）的范围内有解相当于与在的范围内有交点解答． 【详解】解：抛物线的对称轴， ， 则方程，即的解相当于与直线的交点的横坐标， 方程在的范围内有实数解， 当时，， 当时，， 又， 抛物线的对称轴为，最小值为， 当时，则， 当时，直线与抛物线在的范围内有交点， 即当时，方程在的范围内有实数解， 的取值范围是， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 直角三角形的两直角边之和是14，面积是24，则它的斜边长是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】可设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为，由面积为24作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长． 【详解】解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为， 根据题意得 ， 解得：或， 当时，， 当时，， 所以斜边长为． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的长，再根据勾股定理求斜边的长，熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关键． 13. 拋物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出对称轴为直线，则抛物线的顶点的横坐标为，根据顶点在轴上，得到，据此求出，则抛物线解析式为，由此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的顶点的横坐标为， ∵拋物线的顶点在轴上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，根据解析式可求出对称轴和开口方向，根据开口方向可得增减性，再根据增减性求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线，且函数图象开口向上， ∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵当时，随的增大而增大， ∴， 故答案为：． 15. 定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图像有两个公共点，则的取值范围为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系． 求出二次函数的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点，，再解方程，结合图象判断即可． 【详解】解：二次函数的相关函数为， 大致函数图像如下： 如图1所示，当线段与二次函数的相关函数的图像有1个公共点时， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，，则， 解得， 如图2所示，当线段与二次函数的相关函数的图像有2个公共点时， ∵抛物线与轴交点纵坐标为1， ∴，解得 ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图像有2个公共点； 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图像有3个公共点， ∵二次函数经过点， ∴， 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图像有2个公共点， ∵抛物线y=经过点， ∴，解得， ∴时，线段与二次函数的相关函数的图像有个公共点． 综上所述，若线段MN与二次函数的相关函数的图像有两个公共点，的取值范围是或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：，． 17. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）如果方程有一个根为2，试求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）2027 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根． （1）由可得答案； （2）将代入方程得，代入原式计算可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根为2， ∴，即， ∴． 18. 在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度． 【答案】空白区域的宽度为． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设空白区域的宽度为，然后根据矩形面积可列出方程进行求解． 【详解】解：设空白区域的宽度为，由题意得： 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：空白区域的宽度为． 19. 已知二次函数的图象如图，请根据函数图象完成以下问题 （1）随的增大而减小的自变量的取值范围是__________； （2）当时，的取值范围为__________； （3）当时，的取值范围为__________， （4）当时，的取值范围为__________． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据点A和点B的坐标可求出对称轴，再根据函数图象开口向上可得在对称轴左侧随的增大而减小，据此可得答案； （2）由对称性可求出当时，，再由增减性得到当时，y随x的增大而增大，据此可得答案； （3）函数图象开口向上，则离对称轴越远函数值越大，结合点A和点B的坐标可得答案； （4）根据增减性结合，都在函数图象上，可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵函数图象开口向上， ∴随的增大而减小的自变量的取值范围是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同，即当时，， ∵函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，的取值范围为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵在函数图象上， ∴当时，的取值范围为或； 故答案为：或； 【小问4详解】 解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∵，都在函数图象上， ∴当时，的取值范围为或． 故答案为：或． 20. 已知关于的一元二次方程 有实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两实根分别为与，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系： （1）根据要求计算出根的判别式，再求解不等式得到的取值范围； （2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入等式求出． 【小问1详解】 关于的一元二次方程 有实数根， ， 解得． 【小问2详解】 方程的两实根分别为与， ， ， ， 即， 解得或， ， ． 21. 2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润是2432元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的实际应用，准确列出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）设该商家每天获得的利润为w元，列出w关于x的二次函数解析式，并根据二次函数的性质求出答案即可． 【小问1详解】 解：设一次函数关系式为， 由图象可得，当 时，； 时，， ∴， 解得， ∵销售单价不低于成本价且不高于成本价的倍， ∴， ∴y与x之间的关系式为：； 【小问2详解】 设该商家每天获得的利润为w元， 则， ∵， ∴当时，w最大，最大值为， 答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润是元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求该二次函数的表达式； （2）点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求此时点的坐标及四边形ABCP面积的最大值． 【答案】（1） （2），150 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、坐标与图形等知识，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点C坐标，再求得直线的函数表达式为，过作y轴的平行线交于H，设，则，，可求出 ，，则，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将和分别代入中，得 ， 解得， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴ ∴直线的函数表达式为， 过作y轴的平行线交于H，如图， 设，则，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为150， ∴此时， ∴点P坐标为． 23. 投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025辉县市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由； （3）实心球运动的抛物线经过，点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】（1）关于的函数表达式为 （2） 解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 在中，当时，， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分； （3）或 【解析】 【分析】（1）设关于的函数表达式为：，将代入求解即可； （2）求出时，x的值即可得到结论； （3）根据函数解析式，可得函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，则可得到离对称轴越远，函数值越大，求出和时的函数值，再分当和两种情况，根据函数的最大值与最小值的差为建立方程，解方程即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得， 解得：， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点M和点N分别在对称轴的两侧， ∴在点M和点N之间的部分图象中，函数的最大值为； 在中，当时，， 当时，； ①如图，当，即时，函数的最小值为， ∴ 解得或（舍去）； 如图，当当时，函数的最小值为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $