精品解析：辽宁省大连市甘井子区2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷（B卷）

2025～2026学年度第一学期阶段性随堂练习 九年级数学（B） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知抛物线为顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了考查二次函数的性质，掌握的顶点坐标为是解题的关键． 2. 在比例尺是1∶38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7 cm，则它的实际长度约为(　　) A. 266 km B. 26.6 km C. 2.66 km D. 0.266 km 【答案】C 【解析】 【详解】设该隧道实际长度为xcm，则由题意可得： ，解得：（cm） 266000cm=2.66km． 故选C． 3. 如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（ ） A. 120° B. 87° C. 75° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质，可得 ，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个四边形相似， ∴ ， ∵两个四边形相似，且四边形的内角和等于360°， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键． 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 5. 如图，要判断与相似，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ADE=∠C B. ∠AED=∠B C. AE:DE=AB:BC D. AE:AD=AB:AC． 【答案】C 【解析】 【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似判定定理，即可作出判断． 【详解】由图得：∠A=∠A， ∴当∠ADE=∠C或∠ADE=∠B或AE:AD=AB:AC时，△ADE与△ACB相似； C选项中∠A不是成比例的两边的夹角，不能判定△ADE与△ACB相似. 故选C. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 6. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线在平面直角坐标系中平移的规律：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为， 故选∶D 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解答此题的关键． 7. 若函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数． 8. 如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：，可得：，再由，代入即可求得答案． 【详解】由题意知：， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用问题，熟练地掌握相似三角形的判定和性质、并正确的列出相似比的关系式是解题的关键，属于基础应用题型． 9. 若抛物线经过原点，则a的值是（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将代入解析式求出a的值，再根据二次项系数不能为0对a的值进行取舍，即可得出答案． 【详解】解：抛物线经过原点， ， 解得， 当时，二次项系数，不合题意， ， 故选C． 10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论： ①abc＜0；②b＞a+c；③2a-b=0；④b2-4ac＜0．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口向下可知a＜0，再结合对称轴可得b＞0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，则c＞0，即可判定①；当x=-1时，有a-b+c＜0，即b＞a+c，可判定②；由对称轴可得b=-2a，2a-b=2a-（-2a）=4a≠0，可判定③；由抛物线与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，然后根据根的判别式可判定④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴，即b=-2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，即①正确； 当x=-1时，有a-b+c＜0，即b＞a+c，故②正确； ∵抛物线对称轴，即b=-2a， ∴2a-b=2a-（-2a）=4a≠0，故③错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴△b2-4ac＞0，即④错误； 综上，正确的有2个． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质并灵活运用数形结合思想成为解答本题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知抛物线的对称轴为直线，则b的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用对称轴公式可求得对称轴，再利用条件可得到关于b的方程，可求得答案． 【详解】解：∵的对称轴为直线， ∴， 解得，， 故答案为：2 12. 已知与相似且对应高的比为，则与的面积比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．根据相似三角形的对应高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵与相似，且对应高的比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为. 故答案为：． 13. 二次函数与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数与轴交点个数由决定：抛物线与轴有个交点；抛物线与轴有个交点；抛物线与轴没有交点．据此解答即可． 【详解】解：∵二次函数与轴只有一个交点， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，在直角坐标系中，的顶点为．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，且， 点的坐标为，即， 故答案为：． 15. 若是抛物线上的三个点，则的大小关系是_______（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且， ∴当时，y随x的增大而增大，和点关于对称轴对称， ∵， ∴． 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， 则或， 解得，． 【小问2详解】 ， 解：， ∴或， 解得，． 17. 如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的距离. 【答案】1.5千米 【解析】 【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN,再利用相似三角形的性质解答即可 【详解】在△ABC与△AMN中，，， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ANM， ∴，即，解得MN=1.5(千米) ， 因此，M、N两点之间的直线距离是1.5千米. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握运算法则 18. 已知二次函数y＝x2﹣2x+c和一次函数y＝kx+b的图像交于A（a，0）（a＜0），B（4，5）两点． （1）求c值； （2）求一次函数解析式； （3）直接写出二次函数y的值大于一次函数y的值的x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）把B（4，5）代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出A点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）利用图像法求解即可 【详解】解：（1）∵B（4，5）在二次函数上， ∴， ∴； （2）∵， ∴二次函数的解析式为， ∵A（a，0）在二次函数上， ∴，． 解得或， 又∵， ∴， ∴A（-1，0）， 又∵一次函数经过A、B，两点， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （3）由函数图像可知：二次函数的函数值大于一次函数的函数值即为二次函数图像在一次函数图像上方时，自变量的取值范围， ∴二次函数y的值大于一次函数y的值的x的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，求二次函数解析式，一次函数图像与二次函数图像结合，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法． 19. 九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等），求的长度． 【答案】4厘米或9厘米 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，解一元二次方程，掌握相似图形的对应边成比例是解题关键．根据相似的性质，得到，即可求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形，厘米，厘米， ∴厘米，厘米， ∴， ∵矩形矩形相似， ∴（相似图形的对应边成比例）， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4厘米或9厘米． 20. 垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低康．深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状星如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程； （1）由题意得出点和点，再代入求解即可； （3）令，得，求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， 分别代入，得 ，解得， 该抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 令，则， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 故小明走出时，，头顶刚好碰到树枝． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E． （1）求证：△ADE∽△MAB； （2）求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AMB， 又∵∠DEA=∠B=90°， ∴△DAE∽△AMB. （2）由（1）知△DAE∽△AMB， ∴DE：AD=AB：AM， ∵M是边BC的中点，BC=6， ∴BM=3， 又∵AB=4，∠B=90°， ∴AM=5， ∴DE：6=4：5， ∴DE=． 22. 如图1，，点F是上一点，过点F作的垂线交于E，交的延长线于点D． （1）求证：∽； （2）连接，， ①当时，则______； ②当时，探究与之间的数量关系并说明理由； （3）如图2，，，． 操作：①延长； ②在的延长线上取一点E，点E与点D关于直线对称；若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据两垂直成的直角相等，对顶角相等，即可证明两三角形相似；（2）①由勾股定理求出，证明，得，可得；②证明，，得，可得；（3）①延长即可；②连接，，延长交于点L，过点C作于点M，由勾股定理求出，根据轴对称性质得垂直平分，，由勾股定理求出，得，根据，得，求出， 根据，得，求出，由勾股定理求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． ②．理由： 当时，， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问3详解】 ①如图，延长． ②连接，，延长交于点L，过点C作于点M， 则． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵点E与点D关于直线对称， ∴垂直平分，． ∵点E在的延长线上， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形．熟练掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形性质，直角三角形性质，轴对称性质，是解答本题的关键． 23. 抛物线与x轴有两个交点A，B，与y轴交于点C，点A在负半轴上，位于点B左侧，连接，，． （1）求a，b的值； （2）过点C作直线交线段于点P，交抛物线图象于点E，连接．当时， ①求的面积； ②在第二象限的抛物线上找一点Q，使，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）①5；② 【解析】 【分析】（1）把，代入，进一步求解即可. （2）①过点E作轴，垂足为H，如图，证明，∽，求解，设，可得，求解，，结合，从而可得答案． ②过点A作的垂线交线段的延长线于点N，如图，证明为等腰直角三角形，可得，过点N作轴，垂足为S．证明，求解，求解直线的函数表达式为，设，再进一步可得答案. 【小问1详解】 解：由题可知，， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：①过点E作轴，垂足为H，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴． ②过点A作的垂线交线段的延长线于点N，如图， ∴， 根据解析（2）可知：，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点N作轴，垂足为S． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将，分别代入得：， 解得， ∴直线的函数表达式为， 设， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期阶段性随堂练习 九年级数学（B） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在比例尺是1∶38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7 cm，则它的实际长度约为(　　) A. 266 km B. 26.6 km C. 2.66 km D. 0.266 km 3. 如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（ ） A. 120° B. 87° C. 75° D. 60° 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 如图，要判断与相似，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ADE=∠C B. ∠AED=∠B C. AE:DE=AB:BC D. AE:AD=AB:AC． 6. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则平移后抛物线解析式为（ ） A B. C. D. 7. 若函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ） A B. C. D. 9. 若抛物线经过原点，则a的值是（ ） A. B. 1 C. D. 0 10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论： ①abc＜0；②b＞a+c；③2a-b=0；④b2-4ac＜0．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知抛物线对称轴为直线，则b的值为______． 12. 已知与相似且对应高的比为，则与的面积比为______． 13. 二次函数与轴只有一个交点，则________． 14. 如图，在直角坐标系中，的顶点为．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为______． 15. 若是抛物线上的三个点，则的大小关系是_______（用“”连接） 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的距离. 18. 已知二次函数y＝x2﹣2x+c和一次函数y＝kx+b的图像交于A（a，0）（a＜0），B（4，5）两点． （1）求c的值； （2）求一次函数解析式； （3）直接写出二次函数y的值大于一次函数y的值的x的取值范围． 19. 九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等），求的长度． 20. 垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低康．深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状星如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？ 21. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E． （1）求证：△ADE∽△MAB； （2）求DE的长． 22. 如图1，，点F是上一点，过点F作的垂线交于E，交的延长线于点D． （1）求证：∽； （2）连接，， ①当时，则______； ②当时，探究与之间的数量关系并说明理由； （3）如图2，，，． 操作：①延长； ②在的延长线上取一点E，点E与点D关于直线对称；若，求的长． 23. 抛物线与x轴有两个交点A，B，与y轴交于点C，点A在负半轴上，位于点B左侧，连接，，． （1）求a，b值； （2）过点C作直线交线段于点P，交抛物线图象于点E，连接．当时， ①求的面积； ②在第二象限的抛物线上找一点Q，使，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $