海南省三亚市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

三亚市第一中学2025-2026学年高二年级第一学期第一次月考 数 学 试 卷 第I卷（选择题） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 若向量互相垂直，则m 的值为（ ） A 2 B 1 C 3 D 4 2．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（    ） A．正面朝上的概率为0.7 B．正面朝上的频率为0.7 C．正面朝上的概率为7 D．正面朝上的概率接近于0.7 3．某射手射击一次，命中的环数可能为0，1，2，…，10共11种，设事件A：“命中环数大于8”，事件B：“命中环数大于5”，事件C：“命中环数小于4”，事件D：“命中环数小于6”，在事件A、B、C、D中，互斥事件有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5. 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232   321   230   023   123   021   132   220   001 231   130   133   231   031   320   122   103   233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（       ） A． B． C． D． 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（     ） A． B． C． D． 7．已知，，，则事件A与B的关系是（   ） A．A与B互斥不对立 B．A与B对立 C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立 8．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．则的值（ ） A B C D 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知空间向量，则（ ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B 小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为 C．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 D．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 11．如图（下页左图），在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面 ，则（    ） A． B． C．异面直线与夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 第11题图 （左图） 第13题图 （右图） 第II卷（非选择题） 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 ． 13．如上图（右图），已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为 ． 14．龙马负图如下图．数千年来被认为是中华文化的源头，传说伏羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，墨点为阴数．若从阳数和阴数中分别随机抽出1个，则被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为 ．     第14题图 四、解答题：（本题共5小题共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15．（本题13分）已知，，，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 16. 在一次支教活动中，甲、乙两校各派出名教师参与活动，其中甲校派出2名男教师和1名女教师（记两名男教师为、，女教师为），乙校派出名男教师和名女教师（记男教师为，两名女教师为、）． (1)若从两校参加活动的教师中各选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师性别相同的概率； (2)若从报名的名教师中任选名，求选出的名教师来自同一学校的概率． 17．（本题15分）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 18．（本题17分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为p（），乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)当时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； (2)若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求p的值. 19．（本题17分）如图，三棱锥中，平面平面，三角形ACD是等边三角形，三角形ABC是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考试题 第I卷（选择题） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 若向量互相垂直，则m 的值为（ ） A 2 B 1 C 3 D 4 【答案】B （过程略） 2．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（    ） A．正面朝上的概率为0.7 B．正面朝上的频率为0.7 C．正面朝上的概率为7 D．正面朝上的概率接近于0.7 【答案】B 【分析】频率等于频数除于总数. 【详解】正面朝上的频率是，正面朝上的概率是0.5. 故选：B 【点睛】本题考查频率与概率的区别，属于基础题. 3．某射手射击一次，命中的环数可能为0，1，2，…，10共11种，设事件A：“命中环数大于8”，事件B：“命中环数大于5”，事件C：“命中环数小于4”，事件D：“命中环数小于6”，在事件A、B、C、D中，互斥事件有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】根据互斥事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 所以与、与，与，与是互斥事件， 共对. 故选：D 4．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量基本定理求解即可. 【解答过程】解：由，点为的中点， 可得， 又，． 故选：C. 5. 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232   321   230   023   123   021   132   220   001 231   130   133   231   031   320   122   103   233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由古典概型的概率计算方法求解即可. 【详解】由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有： 共4个基本事件， 根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选：C. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可. 【详解】因为空间向量，， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 故选：C 7．已知，，，则事件A与B的关系是（   ） A．A与B互斥不对立 B．A与B对立 C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立 【答案】C 【分析】由互斥事件加法公式和独立事件乘法公式可得答案. 【详解】因，则. 注意到： ， 则A与B不互斥，不对立，则ABD错误； 又. 因，则事件A与事件B相互独立，则C正确； 故选：C 8．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．则的值（ ） A B C D 【答案】A 【解题思路】分两步： （1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； 又因为，故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知空间向量，则（ ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 【答案】AC 【解题思路】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【解答过程】对于A，，故A项正确； 对于B，设，即，解得，， 即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误； 对于C，，所以，故C项正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B 小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为 C．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 D．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 【答案】ABD 【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可 【详解】对于A:该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确； 对于B:设购买甲书的概率为，购买乙书的概率为， 则由题意可得解得. 故B正确 对于C:用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故C不正确； 对于D:设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故D正确； 【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键 11．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（    ） A． B． C．异面直线与夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【解题思路】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的向量法判断B、C、D；由空间向量加减、数乘的几何意义用相关向量表示出判断A. 【解答过程】因为面面，所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直， 以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，从而， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，取AD中点R,连结ER，则ERPA，且ER = PA = 1，因为 平面， 则ER平面 故 点到平面的距离为， 所以 D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 ． 【答案】 13．如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为 ．    【答案】/0.8125 【分析】先计算出灯不亮的概率，进而利用对立事件求概率公式进行计算. 【详解】记开关闭合为事件A，B，C，D， 因为开关断开且开关至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮， 所以灯不亮的概率为, 所以灯亮的概率为. 故答案为： 14．龙马负图如图所示．数千年来被认为是中华文化的源头，传说伏羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，墨点为阴数．若从阳数和阴数中分别随机抽出1个，则被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为 ． 【答案】/0.4 【分析】根据给定条件，用列举法写出所有可能结果，再利用古典概率公式计算作答. 【详解】依题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10， 从阳数和阴数中分别随机抽出1个有： ，共25个结果， 被抽到的2个数的数字之和超过12的有：，共10种， 所以被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15．（本题13分）已知，，，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【解答过程】（1），， ，， ； （2） 因为，所以设， 即，故，解得. 16. 在一次支教活动中，甲、乙两校各派出名教师参与活动，其中甲校派出2名男教师和1名女教师（记两名男教师为、，女教师为），乙校派出名男教师和名女教师（记男教师为，两名女教师为、）． (1)若从两校参加活动的教师中各任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师性别相同的概率； (2)若从报名的名教师中任选名，求选出的名教师来自同一学校的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“选出的名教师性别相同”所包含的基本事件，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）列举出所有的基本事件，并确定事件“选出的名教师来自同一学校”所包含的基本事件，即可求出所求事件的概率. 【详解】（1）解：从两校参加活动的教师中各任选名，所有可能的结果有：、、 、、、、、、，共种， 其中，事件“选出的名教师性别相同”所包含的基本事件有：、、 、，共种， 所以，选出的名教师性别相同的概率为. （2）解：从报名的名教师中任选名，所有的基本事件有：、、、 、、、、、、、、、 、、，共种， 其中，事件“选出的名教师来自同一学校”所包含的基本事件有：、、 、、、，共种， 因此，事件“选出的名教师来自同一学校”的概率为. 17．（本题15分）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以， 即，又， 所以， 所以的面积， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为． 18．（本题17分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为p（），乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)当时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； (2)若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求p的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别设出甲、乙在两轮活动中猜对1个，2个成语的事件，并求出各自的概率，将“在两轮活动中猜对3个成语”的事件用以上事件表示，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算即得； （2）分别表示或求出甲、乙在两轮活动中猜对0个，1个，2个成语的事件的概率，根据题设条件，表示出“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率，列出方程，求解即得. 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件. 根据独立性假定，得，.，. 设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以， 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是. （2）由（1）知甲两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为，，， 乙两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为，，， 因为甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响， 所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为， 整理得，又因为，所以. 19．（本题17分）如图，三棱锥中，平面平面，三角形ACD是等边三角形，三角形ABC是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． 3分 （2）（ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 6分 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． 9分 （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 11分 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 13分 设直线与平面所成角为， 则. 15分 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $