第一章 正方形的性质与判定（知识梳理+考点突破+课后巩固）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第一章 特殊的平行四边形 （三） 正方形的性质与判定 知识点1：正方形的定义 有一组__________，并且有一个角是__________的____________叫做正方形； 知识点2：正方形的性质 （1）具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质 （2）特殊性质 性质1：正方形的四个角都是直角、四条边相等。 性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 （3）对称性 正方形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点； 它也是轴对称图形，有4条对称轴，分别是经过对边中点的直线和对角线所在的直线； 知识点3：正方形的面积 S正方形=边长的平方=对角线长的平方 知识点4：正方形的判定 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 （4）对角线相等的菱形是正方形 （5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 （6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 （7）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 考点一：正方形的性质 例题：下列关于正方形的说法错误的是（    ） A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角 B．正方形有四条对称轴 C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等 巩固训练 1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．都是轴对称图形 C．对角线互相垂直且互相平分 D．对角线相等且互相平分 考点二：利用正方形的性质求解 例题：如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 考点三：正方形的判定 例题：直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。 求证：四边形CEDF是正方形。 巩固训练 1.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么? 考点四：利用正方形的判定与性质综合性问题 例题：实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后在把纸片展平； 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，得到折痕，交于点M，再把纸片展平． 问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形； (2)如图2，若，，，求的面积． 巩固训练 1.如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1)________°（直接写出结果不写解答过程） (2)求证：四边形是正方形． 若，求的面积． (3)如图（），在中，，高，，则的长度是________（直接写出结果不写解答过程）． 1.正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．四个角都是直角 3.如图，在正方形中，点在上，，，垂足分别为、，若，则 ． 4.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 6.在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M. 求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE. 7.如图，四边形是边长为4的正方形，点P为射线上的一个动点，延长到点E，使，连接，以为边作平行四边形，直线和直线相交于点M． (1)如图1，点P在边上，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若点P为的中点，求点F到边的距离； (3)若，求的长． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第03讲 正方形的性质与判定 知识点1：正方形的定义 有一组__________，并且有一个角是__________的____________叫做正方形； 知识点2：正方形的性质 （1）具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质 （2）特殊性质 性质1：正方形的四个角都是直角、四条边相等。 性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 （3）对称性 正方形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点； 它也是轴对称图形，有4条对称轴，分别是经过对边中点的直线和对角线所在的直线； 知识点3：正方形的面积 S正方形=边长的平方=对角线长的平方 知识点4：正方形的判定 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形 判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形 判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形 判定定理4：对角线相等的菱形是正方形 判定定理5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 判定定理7：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 考点一：正方形的性质 例题：下列关于正方形的说法错误的是（    ） A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角 B．正方形有四条对称轴 C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等 【答案】D 巩固训练 1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．都是轴对称图形 C．对角线互相垂直且互相平分 D．对角线相等且互相平分 【答案】B 考点二：利用正方形的性质求解 例题：如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 巩固训练 1.如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 故选：B． 2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是正方形的对角线，，是菱形的对角线，．故选：B． 考点三：正方形的判定 例题：直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。 求证：四边形CEDF是正方形。 巩固训练 1.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么? 考点四：利用正方形的判定与性质综合性问题 例题：实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后在把纸片展平； 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，得到折痕，交于点M，再把纸片展平． 问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形； (2)如图2，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积是 【分析】（1）由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形； （2）连接，证明，得，从而有，设，则，在中，利用勾股定理列方程求出x，得到，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕 ， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，连接，由（1）知，，    ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠知，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， ， ， 解得， 即， ∴的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线． 巩固训练 1.如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1)________°（直接写出结果不写解答过程） (2)求证：四边形是正方形． 若，求的面积． (3)如图（），在中，，高，，则的长度是________（直接写出结果不写解答过程）． 【答案】(1)； (2)证明见解析；； (3)． 【分析】（）由可得，进而得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （）过点作于，由角平分线的性质可得，再证明四边形是矩形即可求证； 证明得，同理得，设，得，又由可得， 得到，在中，利用勾股定理得，得到，即得，再根据三角形面积公式即可求解； （）如图所示， 把沿翻折得，把 沿翻折得，延长交于点，同理（）即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：过点作于， ∵平分，，， ∴， 同理可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图所示， 把沿翻折得，把 沿翻折得，延长交于点， 由折叠可得，，，，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，∴，故答案为：． 1.正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 【答案】B 2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．四个角都是直角 【答案】A 3.如图，在正方形中，点在上，，，垂足分别为、，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，矩形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，由正方形，以及对角线的长，得到对角线互相垂直，等于的一半，根据三个角为直角的四边形为矩形得到四边形为矩形，进而得到矩形的对边相等，同时得到三角形为等腰直角三角形，由等量代换得到，求出即可． 【详解】解：正方形，， ， ，，， ，， ， 四边形为矩形，为等腰直角三角形， ，， ． 故答案为：． 4.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查了正方形的面积和阴影部分的面积，根据图形面积之间的关系即可求解． 【详解】解：， 即， 解得：， 故答案为：． 5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键． 【详解】∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6.在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M. 求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE. 7.如图，四边形是边长为4的正方形，点P为射线上的一个动点，延长到点E，使，连接，以为边作平行四边形，直线和直线相交于点M． (1)如图1，点P在边上，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若点P为的中点，求点F到边的距离； (3)若，求的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析(2)2(3)1或3 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）先证明得到，进而证明，即可证明四边形是正方形； （2）如图所示，作，垂足为H，证明，得到，求出，则，即点F到距离为2； （3）分点P在上和点P在得延长线上两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 解：在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是正方形； （2）解：如图所示，作，垂足为H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵点P是中点， ∴， ∴， ∴点F到距离为2； （3）解：①点P在线段上， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②点P在延长线上， 如图所示，作，垂足为H， 同理可得， 同理可证明， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，得长为1或3． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $