第五讲：正方形及其性质（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第五讲：正方形及其性质 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 知识点02：正方形的性质 ①正方形的四个角都是直角，四条边相等； ②正方形的对角线相等且互相垂直平分； ③两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴 对称图形，有四条对称轴. 注：正方形具有矩形、菱形的所有性质. 考点1：根据正方形的性质求角度 【典型例题】 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据正方形的性质及直角三角形的特征可得，再根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 【变式训练1】 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及正方形、等边三角形的性质，先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练2】 如图，以正方形的边为边在正方形内作等边三角形，连接并延长交边于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由正方形得到，，然后由等边三角形得到，，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴， ∵是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 考点2：根据正方形的性质求长度 【典型例题】 在正方形中，两条对角线相交于点，点是上一点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作于点，根据正方形的性质得到，，，得出是等腰直角三角形，再由得到，，最后在利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ∵正方形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练1】 如图，两个正方形的面积分别是64和49，则的长为（   ） A． B． C．17 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，大正方形的边长为，小正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ，， ∴（舍负） ， 故选：C． 【变式训练2】 已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点的坐标，正方形的性质，熟练掌握点的坐标，正方形的性质是解决问题的关键. 连接交于点，根据正方形，，，，由此即可得出点的坐标. 【详解】解：连接交于点，如图所示:   四边形是正方形，   ，，，，   点，   ，   ，   ，，   点的坐标为．   故选: B． 考点3：根据正方形的性质求面积 【典型例题】 如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的对称性． 结合对称性质可知阴影部分的面积等于正方形面积的一半，然后根据正方形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，由正方形的对称性可知图形①的面积等于图形②的面积， 阴影部分的面积等于正方形面积的一半， 则阴影部分的面积为； 故选：B． 【变式训练1】 三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（   ） A．13 B．10 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质、熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．先由证得，推出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， 由正方形的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ∴ ∵两边的两个正方形的面积为2和3， ∴ 在中，由勾股定理得：， 即中间的一个大正方形的面积为， 故选：D． 【变式训练2】 若正方形的一条对角线长为，则这个正方形的面积是（    ） A．64 B．32 C．48 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的性质，对角线相等且互相垂直、正方形的面积等于对角线乘积的一半进行推导即可求得答案． 【详解】解：正方形的一条对角线长为，则这个正方形的面积是 故选：B． 考点4：正方形的折叠问题 【典型例题】 如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∵E为边的中点， ， ∵沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， ∵中，， ∴， 又∵， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练1】 如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【变式训练2】 如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接，作交于点，根据折叠的性质，在中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．在中，有，在中，有，根据这两个式子可求得，得到，，在中，运用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知， ，，，， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：B． 一、单选题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．四个角都是直角 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查正方形与矩形的性质差异．需逐一分析选项，找出正方形具备而矩形不一定具备的性质，即可解答． 【详解】解：选项A：对角线相等 矩形和正方形的对角线均相等，因此该性质两者共有，排除A． 选项B：对角线互相平分 作为平行四边形，矩形和正方形的对角线均互相平分，因此该性质两者共有，排除B． 选项C：四个角都是直角 矩形和正方形的四个角均为直角（90°），因此该性质两者共有，排除C． 选项D：对角线互相垂直 正方形的对角线不仅相等，还互相垂直；而矩形的对角线仅相等，仅在特殊情况下（如正方形）才垂直．因此，对角线互相垂直是正方形特有而矩形不一定具备的性质． 故选D． 2．如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及直角三角形的角关系；掌握利用边相等转化为角相等，结合外角性质与直角三角形内角和进行角度推导是解题的关键．解题时通过正方形与等边三角形的边、角性质，结合等腰三角形判定及直角三角形角的关系，逐步推导即可得出所求角的度数． 【详解】如图，延长过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 3．如图，在正方形中，点在上，于点，于点G．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明得，，，则，利用勾股定理构造方程，解方程得，再根据求解即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，， ∴， ∵于点F，于点G， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即， ∴． 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（    ） A．13 B．20 C．25 D．34 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，两点间的距离公式，二次根式的乘法，熟练掌握两点间的距离公式是解决问题的关键，利用两点间的距离公式求出，由此即可得出正方形的面积． 【详解】解：点的坐标是，点的坐标是， ， 正方形的面积是：． 故选：D． 5．如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形①的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式运算的应用，正方形的面积，利用线段的和差得出边长是解决此题的关键．根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案． 【详解】解：正方形③的边长为1，阴影部分的面积为， 阴影部分的长， 正方形②的边长， 正方形①的边长， 正方形①的面积为， 故选：D． 6．如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；在直角中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， 设，则． 为中点，， ， 在中，根据勾股定理，得：， 解得． 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的翻折问题，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． 7．如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质．求两个正方形重叠部分的面积，首先应证明：，从而将重叠部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵和是边长相等的正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴重叠部分面积为：， 故选B． 二、填空题 8．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，由与为等腰三角形是解决本题的关键 ． 由四边形是正方形，是等边三角形，可得，，则可得与为等腰三角形，再根据三角形的内角和为即可求解 ． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，，， ∴与为等腰三角形，且， ∴， ∴． 故答案为： ． 9．如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点．当线段与正方形的某条边的夹角是时，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，四边形内角和，三角形外角的性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：①当与的夹角是时，即，利用四边形内角和求解即可；②当与的夹角是时，即，利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：点为对角线上一点， 线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况： ①当与的夹角是时，即，如图所示： ， ， ， 在四边形中，， ， ； ②当与的夹角是时，即，如图3②所示： 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 10．如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形的性质，内角和的计算，等边对等角，根据题意得到，由等边对等角，三角形内角和定理得到，由，即可求解． 【详解】解：正六边形和正方形中，， ∴是等腰三角形， ∴正六边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角的度数为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 11．如图，四边形是菱形，四边形是正方形，若，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质，熟练掌握正方形和菱形的性质是解答的关键．根据正方形和菱形的性质求得，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是菱形、正方形的对角线， ∴，， ∴， 故答案为：25． 12．正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，若，点是的中点，则长度为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质得出，，根据旋转得出，，，，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据旋转可知：， ∴，，，， ∴， ∴G、B、E三点在同一直线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 13．数学探究课上，小浩把两个全等的正方形按如图所示的方式放置，其中点O是正方形的中心．他告诉同桌小宇正方形的边长为6，小宇快速的说出了阴影部分的面积，小宇的答案是 ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，则，得到，即可求出答案． 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，正方形的边长为9，点E，F分别为边上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点A的对应点G恰好落在边上，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质，三角形全等的性质与判定，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 根据题意，求出，利用翻折的性质和勾股定理，求出，连接交于M，过点E作于N，利用矩形的性质和三角形全等的判定证明，得，进而可求得． 【详解】四边形是正方形，且边长为9， ，， 由翻折的性质知，， ，， ， 设，则， 由勾股定理得，， 即，解得， ， 如图，连接交于M，过点E作于N， 则， ∴四边形为矩形， ，， ， 由翻折的性质知，垂直且平分， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：2． 15．如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】由直角三角形中的其中一直角边和斜边相等可证明≌，由此判断①；由≌这个结论可得，再由三角形翻折可得，由可判断②；假设与的面积相等，则可得，由三角形全等可得结论与已知矛盾可判断③；设出正方形边长为a，与的边长为x，根据为直角三角形，由勾股定理列式可得a与x的关系，由此可判断④． 【详解】解：∵是由翻折得到， ∴，， ∴， 在正方形中，， ∴， 则在和中， 由， 可得≌，故①正确； ∵≌， ∴， 又∵是由翻折得到， ∴， ∴，故②正确； 过点C作交于点F，如图， 则与的高为， 则有，， 假设与的面积相等， 则有， ∵， ∴在和中， 由， 可知≌， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， 由题目已知可得，不是正方形的对角线， ∴与已知矛盾， ∴， ∴与的面积相等，故③错误； 设正方形边长为a，的边长为x， 则有，， ∴，， ∴， ∴， 则在中，， 即， 则有， 解得， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了图形的翻折，正方形的性质以及三角形全等的判定与性质，需熟练掌握直角三角形证明全等的方法以及边角边的证明方法；由假设推导结论与已知矛盾是解决本题的关键． 三、解答题 16．如图，以正方形的边长作等边，和交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形和等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键． （1）由题意得，从而可得，结合正方形的性质，利用证明，故有，则可求得的度数，从而求得的度数； （2）由（1）过程得，，，，推出，利用证明，即可得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵由（1）过程得，，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 17．如图，在正方形中，，E是边上的一点，将正方形沿折叠，点D的对应点为点F，点G为的中点，当点F恰好落在线段上时．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据证，再根据折叠的性质即可得出； （2）根据（1）知，即，再利用外角的性质可得出即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠知：，， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． （2）证明：由（1）知， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且．    (1)求证：； (2)连接，试判断的度数，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质四条边都相等可得，对角线平分一组对角线可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后等量代换即可得证； （2）根据全等三角形对应角相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据，求出，然后根据四边形的内角和定理求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）．理由如下： 连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴．    19．在正方形中，E为上的一点，连接交对角线于点F． (1)连接，如图1， ①求证：； ②若，求的度数． (2)如图2，过点F作交于点G，求证：． 【答案】(1)①见解析；②， (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①根据正方形的性质得到，，可证明，即可得到结论；②由可得，由，可得，由，即可求出； （2）连接，由（1）知同理，，得到，推出，得到，即可得到结论． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形，是对角线， ， 在和中， ， ， ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）证明：如图，连接， 由（1）知同理，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第五讲：正方形及其性质 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 知识点02：正方形的性质 ①正方形的四个角都是直角，四条边相等； ②正方形的对角线相等且互相垂直平分； ③两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴 对称图形，有四条对称轴. 注：正方形具有矩形、菱形的所有性质. 考点1：根据正方形的性质求角度 【典型例题】 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，以正方形的边为边在正方形内作等边三角形，连接并延长交边于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点2：根据正方形的性质求长度 【典型例题】 在正方形中，两条对角线相交于点，点是上一点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，两个正方形的面积分别是64和49，则的长为（   ） A． B． C．17 D．15 【变式训练2】 已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点3：根据正方形的性质求面积 【典型例题】 如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式训练1】 三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（   ） A．13 B．10 C．6 D．5 【变式训练2】 若正方形的一条对角线长为，则这个正方形的面积是（    ） A．64 B．32 C．48 D．36 考点4：正方形的折叠问题 【典型例题】 如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式训练2】 如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．四个角都是直角 D．对角线互相垂直 2．如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 3．如图，在正方形中，点在上，于点，于点G．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（    ） A．13 B．20 C．25 D．34 5．如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形①的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 二、填空题 8．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则 ． 9．如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点．当线段与正方形的某条边的夹角是时，则的度数是 ． 10．如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交于点，则的度数为 ． 11．如图，四边形是菱形，四边形是正方形，若，则 ． 12．正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，若，点是的中点，则长度为 ． 13．数学探究课上，小浩把两个全等的正方形按如图所示的方式放置，其中点O是正方形的中心．他告诉同桌小宇正方形的边长为6，小宇快速的说出了阴影部分的面积，小宇的答案是 ． 14．如图，正方形的边长为9，点E，F分别为边上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点A的对应点G恰好落在边上，若，则的长为 ． 15．如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题 16．如图，以正方形的边长作等边，和交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 17．如图，在正方形中，，E是边上的一点，将正方形沿折叠，点D的对应点为点F，点G为的中点，当点F恰好落在线段上时．求证： (1)； (2)． 18．如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且．    (1)求证：； (2)连接，试判断的度数，并证明你的结论． 19．在正方形中，E为上的一点，连接交对角线于点F． (1)连接，如图1， ①求证：； ②若，求的度数． (2)如图2，过点F作交于点G，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$