第二章 一元二次方程的解法—公式法、因式分解法（知识梳理+考点突破+课后巩固）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第二章 一元二次方程 （三） 一元二次方程的解法—公式法、因式分解法 知识点1： 解一元二次方程-公式法 1、公式法：把一元二次方程的各系数代入 ，直接求出方程的解，这样解一元二次方程的方法就叫公式法。 2、求根公式： 3、步骤：①把方程化为一般形式 ②确定a、b、c的值 ③计算的值 ④当时，把a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根。 知识点2： 一元二次方程的判别式 关于的一元二次方程的根的判别式为 . （1）>0一元二次方程有两个 实数根， （2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 . （3）<0一元二次方程 实数根. 知识点3：解一元二次方程-因式分解法 1、因式分解法：把一元二次方程的一边化为 ，而另一边因式分解成 个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 2、依据：若 3、步骤： ①移项：将方程的右边化为0 ②化积：把方程左边因式分解成两个一次因式的积 ③转化：令每个一次因式都等于零，转化为两个一元一次方程 ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 附：十字相乘法(因式分解法) 1、 前提：一元二次方程为一般形式，且二次项系数为1 2、 形式： 满足：； 知识点4：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若关于的一元二次方程有两根分别为，，那么 ， . 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式；②二次项系数，即在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 考点一：解一元二次方程-公式法 例题：1.用公式法解下列方程： （1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1 巩固训练 1.用公式法解方程：2x2﹣1＝4x． 2.解方程：x2+5＝2x（用公式法解）； 考点二：一元二次方程的判别式 例题：1.一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况为（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根 D．两个不相等实数根 2.已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜ B．a＞ C．a＜且a≠1 D．a＞且a≠1 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值． 巩固训练 1.方程x2+x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 2.若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥3 B．k≤3 C．k≥﹣3且k≠2 D．k≤3且k≠2 3.若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且k≠2 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根． 考点三：解一元二次方程-因式分解法 例题：1.一元二次方程x（x+2）＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 2.用因分解法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2． 巩固训练 1.方程x2＝2x的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0 2.方程x2＝x的解是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝0 3.用因分解法解下列一元二次方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）． 考点四：一元二次方程的根与系数 例题：1.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 2.已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 3.已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 巩固训练 1.若一元二次方程x2﹣5x+k＝0的一根为2，则另一个根为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2.已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2．则另一个根是（　　） A． B．- C．3 D．﹣3 3.方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 4.已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x2＝4﹣x2时，求k的值． 1.若m+n+2＝0，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n﹣1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2.若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤﹣1且k≠0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1且k≠0 3.方程3x（x﹣2）＝x﹣2的根为（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D． 4.若x＝5是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 6.若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2020 D．2022 7.用公式法解方程：5x2＝7﹣2x． 8.用因式分解法的方法解下列方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0． （3）x2﹣2x﹣15＝0； （4）（x+3）2＝2x+6． 9.已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 10.关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第二章 一元二次方程 （三） 一元二次方程的解法—公式法、因式分解法 知识点1： 解一元二次方程-公式法 1、公式法：把一元二次方程的各系数代入 ，直接求出方程的解，这样解一元二次方程的方法就叫公式法。 2、求根公式： 3、步骤：①把方程化为一般形式 ②确定a、b、c的值 ③计算的值 ④当时，把a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根。 知识点2： 一元二次方程的判别式 关于的一元二次方程的根的判别式为 . （1）>0一元二次方程有两个 实数根， （2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 . （3）<0一元二次方程 实数根. 知识点3：解一元二次方程-因式分解法 1、因式分解法：把一元二次方程的一边化为 ，而另一边因式分解成 个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 2、依据：若 3、步骤： ①移项：将方程的右边化为0 ②化积：把方程左边因式分解成两个一次因式的积 ③转化：令每个一次因式都等于零，转化为两个一元一次方程 ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 附：十字相乘法(因式分解法) 1、 前提：一元二次方程为一般形式，且二次项系数为1 2、 形式： 满足：； 知识点4：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若关于的一元二次方程有两根分别为，，那么 ， . 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式；②二次项系数，即在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 考点一：解一元二次方程-公式法 例题：1.用公式法解下列方程： （1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1 【答案】（1）x1＝，x2＝ （2）没有实数解 巩固训练 1.用公式法解方程：2x2﹣1＝4x． 【答案】． 2.解方程：x2+5＝2x（用公式法解）； 【答案】x1＝x2＝； 考点二：一元二次方程的判别式 例题：1.一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况为（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根 D．两个不相等实数根 【答案】C 2.已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜ B．a＞ C．a＜且a≠1 D．a＞且a≠1 【答案】C 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值． 【答案】（1）略 (2)m的值为或﹣ 巩固训练 1.方程x2+x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 2.若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥3 B．k≤3 C．k≥﹣3且k≠2 D．k≤3且k≠2 【答案】C 3.若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且k≠2 【答案】C 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根． 【答案】（1）m＜． （2）x1＝0，x2＝3 考点三：解一元二次方程-因式分解法 例题：1.一元二次方程x（x+2）＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 【答案】D 2.用因分解法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2． 【答案】（1）x1＝1， （2）x1＝﹣2，x2＝0 巩固训练 1.方程x2＝2x的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0 【答案】C 2.方程x2＝x的解是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝0 【答案】D 3.用因分解法解下列一元二次方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣7 （2）x1＝5，x2＝13． 考点四：一元二次方程的根与系数 例题：1.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【答案】B 2.已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【答案】A 3.已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 【答案】（1）m＞﹣1且m≠0； （2）4 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且m≠0，即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，解得：m＞﹣1且m≠0； （2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1， 即（x1+x2）2＝3x1x2+1，∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0，解得：m1＝4，m2＝﹣1， 经检验，m1，m2都是分式方程的解， ∵m＞﹣1且m≠0，∴m的值为4． 巩固训练 1.若一元二次方程x2﹣5x+k＝0的一根为2，则另一个根为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 2.已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2．则另一个根是（　　） A． B．- C．3 D．﹣3 【答案】B 3.方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 【答案】C 4.已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x2＝4﹣x2时，求k的值． 【答案】（1）k≤ (2)1 【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意； 当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤，综上所述，k的取值范围为k≤； （2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，∴x1+x2＝，x1x2＝， ∵x1+x1x2＝4﹣x2，即x1+x2+x1x2＝4，∴+＝4，解得：k＝1，经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k的值为1． 1.用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是(　 D 　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 2.已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是(　 B 　) A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3.解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(　 D 　) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值． 【答案】（1）k≤5 （2）4 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤5； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，∵x12+x22＝10，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，解得k＝4，∵k≤5，∴k＝4．故k的值是4． 1.若m+n+2＝0，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n﹣1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 2.若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤﹣1且k≠0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1且k≠0 【答案】B 3.方程3x（x﹣2）＝x﹣2的根为（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D． 【答案】D 4.若x＝5是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 5.已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 6.若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2020 D．2022 【答案】B 7.用公式法解方程：5x2＝7﹣2x． 【答案】x1＝1，x2＝﹣． 8.用因式分解法的方法解下列方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0． （3）x2﹣2x﹣15＝0； （4）（x+3）2＝2x+6． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝1； （2）x1＝7，x2＝1 （3）x1＝5，x2＝﹣3 （4）x1＝﹣3，x2＝﹣1． 9.已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 【答案】（1）无论k取何值，方程总有实数根 （2）7 【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：∵等腰三角形的底边长3，∴另两边长即为等腰三角形的腰长，∵另两边长恰好是这个方程的两根，∴该方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，解得k＝1，将k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．此时△ABC三边为3，2，2；所以周长为3+2+2＝7 10.关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k≤5 (2)原方程无解，故不存在 【解答】解：（1）由，得m＞﹣1又∵m≠0∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0；（5分）（2）不存在符合条件的实数m．（6分）设方程两根为x1，x2则， 解得m＝﹣2，此时Δ＜0．∴原方程无解，故不存在．（12分） ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $