4.7相似三角形的性质讲义（知识梳理+考点突破+课后巩固）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第四章 图 形 的 相 似 （四）相似三角形的性质 知识点1：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 考点一：相似三角形的性质 例题： 1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△DEF与△ABC对应高线的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（　　） A．18 B．27 C．72 D．81 【答案】C 3.如图，已知，若的长度为12，则的长度为（    ） A．9 B．12 C．16 D．20 【答案】A 巩固训练 1.如图，在四边形中，，与相交于点O，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴ ∴，故选：D． 2.如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．△ADE与△ABC的面积比为 C．△ADE与△ABC的周长比为 D．连接，则△ADE与的面积比为 【答案】B 3.如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】B 4.如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°． （1）求∠ADE和∠AED的度数； （2）求DE的长． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣40°＝65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝40°， ∠AED＝∠C＝65°； （2）∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝， 解得DE＝12cm． 考点二： 相似三角形的性质与判定综合应用 例题： 1.如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E． （1）证明：△ADF∽△DCE； （2）当CF＝1时，求EC的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】证明：（1）四边形是矩形，，． 又，，， ； （2）， ，，，， ，， ，． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A． （1）求证：AB2＝BD•BC； （2）若BD＝2，求AC的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝120°，∴∠BAC＝∠BDA＝120°， ∵∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝， ∴AB2＝BD•BC；（2）∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°， ∵∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝2，在Rt△ADC中，∠C＝30°， ∴AC＝AD＝2， 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证△ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC； （2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD， ∴＝，∴＝，∴CD＝． 巩固训练 1.如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【详解】（1）证： 平分 ， （2）解： 即 2.如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【详解】（1）证明：四边形为菱形，，， ，，； （2）解：，，，，， ，负值舍去． 3.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F． （1）求证：△APD≌△CPD； （2）求证：△APE∽△FPA； （3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长． 【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝CB， 在△ADB和△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS），∴∠PDA＝∠PDC， 在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS）． （2）证明：如图，∵CD∥AB，∴∠F＝∠PCD，∵∠PAE＝∠PCD，∴∠PAE＝∠F， ∵∠PAE＝∠FPA，∴△APE∽△FPA． （3）解：如图，∵△APE∽△FPA，∴＝，∵PE＝4，PF＝12，∴PA2＝PE•PF＝4×12＝48，∴PA＝＝4，∴PC＝PA＝4．∴PC的长为4． 考点三： 相似三角形--动点问题 例题：在中，，，，现有动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，连接．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为．    (1)求出的取值范围； (2)当时，，两点之间的距离是多少？ (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)(2)(3)为或 【详解】（1）解：由运动知，，．∵，点P在线段上运动， ∴，∴．∵，点Q在线段上运动，∴，∴， ∴． （2）当时，，， 在中，根据勾股定理，得． （3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且，∴①当时， ∴，∴，∴．          ②当时，∴，∴，∴．         综上，当t为或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 巩固训练 1.如图所示，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为．求当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似?    【答案】当时，以，，为顶点的三角形与相似 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理，得：， ，， ①当时，，即：，解得：， ②当时，，即：，解得：（不合题意，舍去）， 故答案为：当时，以，，为顶点的三角形与相似． 1.如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（　　） A．2：3 B．： C．4：9 D．8：27 【答案】C 2.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　） A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2 【答案】B 3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．4 D． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即＝， 解得：CD＝4，故选：A． 4.已知，且面积比为，则与的对应角平分线之比为 ． 【答案】 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 与对应角的角平分线之比为， 故答案为：． 5.如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长． 【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝6，AE＝4，AB＝12， ∴＝，∴AC＝8，∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2． 6.如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC． （1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝153°． （2）∵△ABC∽△DAC，∴，又AC＝4，BC＝6，∴CD＝＝； 7.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）若BD＝9，AC＝6，求AD的长． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠ADC，∠ACD+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AC2＝AB•AD； （2）解：∵AC2＝AB•AD，BD＝9，AC＝6，∴36＝（AD+9）•AD， 解得：AD1＝3，AD2＝﹣12（舍去），则AD的长为3． 8.如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点移动，动点从点从出发以的速度向点移动，如果、同时出发，当他们移动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似？    【答案】秒或秒 【详解】解：设当移动秒时，两三角形相似， ∵动点从点出发以的速度向点移动，动点从点从出发以的速度向点移动，，，， ∴的取值范围为，，， ∴， （1）当时，则， ∴， 解得：； （2）当时，则， ∴， 解得：， 验证可知（1）（2）两种情况下所求的的值均满足条件， 综上所述，当运动时间为秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 第四章 图形的相似 (四)相似三角形的性质 知识梳理 知识点1：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等。 如图，△ABC∽△A'B'C',则有 ∠A=∠A,∠B=∠B',∠C=∠C'. ②相似三角形的对应边成比例， 如图，△ABC∽△A'B'C',则有 ARBC-AC=人(k为相似比). AB BC AC ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角 的平分线成比例，都等于相似比. 如图，△ABC∽△AB'C',AM、AH和AD是 △ABC中BC边上的中线、高线和角平分线， AM'、A'H'和AD是△A'B'C'中B'C'边上的中 线、高线和角平分线，则有 4BBCC=k=AH、D AB BC AC AM AH AD ④相似三角形周长的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C',则有 AB BC AC AB+BC+AC A'B'B'C A'C AB'+BC+4C=k. 第1页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图，△ABC∽△AB'C',则有 1 S△ABC .BC·AH BC AH SAABC weau B℃Am=2 考点突破 考点一：相似三角形的性质 例题： 1.已知△ABC△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3，则△DEF与△ABC对应高线的比为() A.3 B.4 4 C.9 16 D.16 9 2如图，在△4BC中，点D,E分别在4B,4C上，若Dg,且△4DE的面积为9，则四边形BCED AB AC3 的面积为() D A.18 B.27 C.72 D.81 3.如图，已知△AB0~△CD0,B0:D0=3:4,若CD的长度为12，则AB的长度为() 第2页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ B O D C A.9 B.12 C.16 D.20 巩固训练 图，在四边形ABCD中，AD/BC，4C写BD相交于点O,若-4则的值为 SABCD D B.} c.4 D 2,如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且 DB EC 2,下列结论正确的是() AE 1 E B A.DE:BC=1:2 B.△ADE与△ABC的面积比为1：9 C.△ADE与△ABC的周长比为1：2 D.连接CD,则△ADE与△DEC的面积比为1：3 第3页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 3.如图，已知△ABC~△BDC,其中AC=4,CD=2,则BC=() D A.2 B.2V2 C.2V3 D.4 4.如图，己知△ABC~△ADE,AB=30cm,AD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°，∠ABC=40°. (1)求∠ADE和∠AED的度数； (2)求DE的长. E D C B 考点二：相似三角形的性质与判定综合应用 例题： 第4页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 1.如图，矩形ABCD中AB=2,AD=4,动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂 线，交线段BC于点E (1)证明：△ADF~△DCE; (2)当CF=1时，求EC的长. E 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D在BC上且DA⊥AC,垂足为A. (1)求证：AB2=BDBC; (2)若BD=2,求AC的长. A D C 第5页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 3如图，在Rt△4BC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且D=AC AC AB (1)求证△ACD-△ABC: (2)若AD=3,BD=2,求CD的长. D 巩固训练 1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,AD=BD. 第6页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ D D A A 2 (1I)求证：△ABC∽△BDC (2)若BC=2,CD=1,求BD的长. 2.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE. E D C B (1)求证：△ABC∽△AEB; 第7页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (2)当AE=18,AC=8时，求AB的长. 3如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E,交BA的延长线于点F. (1)求证：△APD≌△CPD: (2)求证：△APE~△FPA; (3)若PE=4,PF=12,求PC的长. D P F B A 第8页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点三：相似三角形-动点问题 例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发，沿线段AC向 点C运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B运动，连接PQ.如果点P的速度是4Cms,点Q的速度 是2cmS,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时间为ts P B (I)求出t的取值范围； (2)当t=3时，P,Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少时，以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 第9页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 巩固训练 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm.动点M从点C出发，以1cm/s的 速度沿CA向终点A移动，同时动点P从点B出发，以2Cm/s的速度沿BA向终点A移动，连接PM,设移动 时间为ts(0<t<2.5).求当t为何值时，以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？ M B C 第10页共13页