第二章 一元二次方程的应用（1）（知识梳理+考点突破+课后巩固）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第二章 一元二次方程 （四）一元二次方程的应用（1） 知识点1：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系； 　 　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 知识点2：变化率问题 ： 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。 知识点3：传染、分裂问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 知识点4：握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。 赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 考点一：变化率问题 例题：1.受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2022年利润为2亿元，2024年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率． （2）若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过3.4亿元？ 巩固训练 1.杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 考点二：传染、分裂问题 例题：1.有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（　　） A．10 B．50 C．55 D．45 2.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（　　） A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91 巩固训练 1.某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有121名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？ 2.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3.2019年年底以来，“新冠”疫情在全球肆虐．某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延；由于我国政府措施得当，疫情得到了有效控制．“新冠”病毒的传染性很强，需要高度重视．如某国某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染病例． （1）求每位发病者平均每天传染多少人； （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？ 考点三：握手、比赛问题 例题：1.虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 2.一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　） A．9人 B．10人 C．12人 D．15人 巩固训练 1.某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（　　）个班级． A．8 B．9 C．10 D．11 2.某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（　　） A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550 C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100 1.某超市1月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000 C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000 2.参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（　　） A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家 3.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为　 　． 4.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出　 　个小分支. 5.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2022年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2024年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同. （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，求到2024年底共建设了多少万平方米的廉租房？ ( 第 1 页 共 8 页 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第09讲 一元二次方程的应用（1） 知识点1：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系； 　 　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 知识点2：变化率问题 ： 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。 知识点3：传染、分裂问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 知识点4：握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。 赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 考点一：变化率问题 例题：1.受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2022年利润为2亿元，2024年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率． （2）若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过3.4亿元？ 【答案】（1） 20%（2）能超过3.4亿元 【解答】解：（1）设该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率为x， 依题意得：2（1+x）2＝2.88， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率为20%． （2）2.88×（1+20%）＝3.456（亿元）， ∵3.456亿元＞3.4亿元， ∴若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能超过3.4亿元． 巩固训练 1.杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）20% （2）能实现 【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为x， 依题意得：700（1+x）2＝1008， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）． ∵1209.6＞1200， ∴他们的目标能实现． 考点二：传染、分裂问题 例题：1.有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（　　） A．10 B．50 C．55 D．45 【答案】C 【解答】解：设每轮传染中每人传染x人，依题意，得：5+5x+x（5+5x）＝605， 整理，得：x2+2x﹣120＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）， ∴5+5x＝55．故选：C． 2.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（　　） A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91 【答案】B 【解答】解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干， 根据题意得：x2+x+1＝91．故选：B． 巩固训练 1.某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有121名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？ 【答案】10 【解答】解：设平均一名同学传染了x名同学， 根据题意得，1+x+（1+x）x＝121， 解得，x1＝10，x2＝﹣12（舍去）， 答：平均一名同学传染了10名同学 2.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43，整理，得：x2+x﹣42＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．故选：C． 3.2019年年底以来，“新冠”疫情在全球肆虐．某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延；由于我国政府措施得当，疫情得到了有效控制．“新冠”病毒的传染性很强，需要高度重视．如某国某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染病例． （1）求每位发病者平均每天传染多少人； （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？ 【解答】解：（1）设每位发病者平均每天传染x人，依题意得：2（1+x）2＝50， 解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：每位发病者平均每天传染4人． （2）50×（1+4）＝50×5＝250（人）， 250＞200． 答：若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人 考点三：握手、比赛问题 例题：1.虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C【解答】解：设参加比赛的队伍有x支，依题意得：x（x﹣1）＝66，整理得：x2﹣x﹣132＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：C． 2.一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　） A．9人 B．10人 C．12人 D．15人 【答案】B 【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）． 巩固训练 1.某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（　　）个班级． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解答】解：设该校八年级有x个班级，依题意得：x（x﹣1）＝28， 整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）． 2.某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（　　） A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550 C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100 【答案】B 【解答】解：∵每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，且全班有x名学生，∴每一位同学需送出（x﹣1）张相片．依题意得：x（x﹣1）＝2550． 1.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 ．根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意列方程得： ． 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（　　） A．12 B．11 C．8 D．7 【答案】A 【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1＝157， 即（x+13）（x﹣12）＝0，解得：x＝12或x＝﹣13（不合题意，应舍去）； ∴x＝12．故选：A． 3.某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 4.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(　　) A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】B 【解答】解：设这个QQ群共有x人，依题意有x（x-1）=90，解得：x=-9（舍去）或x=10，∴这个QQ群共有10人．故答案为：B 5.已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮传染　 　人． 【答案】5 【解答】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得， 3（x+1）2＝108， 解得x1＝5，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， 故答案为：5． 1.某超市1月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ D ） A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000 C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000 2.参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（　　） A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家 【答案】B【解答】解：设参加这次交易会的公司共有x家，依题意得：x（x﹣1）＝45，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去），∴参加这次交易会的公司共有10家． 故选：B． 3.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为　 　． 【答案】9 【解答】解：设有x人，则∴（舍）∴人数为9 4.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出　 　个小分支. 【答案】3 【解答】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得1+x+x•x＝13， 整理得x2+x﹣12＝0，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去）.即：每个支干长出3个小分支.故答案为：3. 5.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2022年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2024年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同. （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，求到2024年底共建设了多少万平方米的廉租房？ 【答案】（1）50%（2）38 【解答】（1）解：设市政府投资的年平均增长率为x， 根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，整理，得：x2+3x 1.75=0， 解得x1=0.5，x2= 3.5（舍去），答：每年市政府投资的增长率为50% （2）解：到2024年底共建廉租房面积=9.5÷ =38（万平方米） ( 第 1 页 共 8 页 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $