北京市房山区良乡中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2026届9月月考试题答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B C D C B C A 二、填空题： 11、-20； 12、； 13、2，； 14、-1，； 15、，； 16、①②③； 三、解答题 （17题）如图，三棱柱中，底面，是的中点，，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． （14分，6+8） 解：（Ⅰ）证明：连结，交于，则是的中点， 连结，是的中点， ， 平面，平面， 平面． （Ⅱ）三棱柱中，底面，是的中点，，． ， ， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，， ，0，，，0，，，1，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，，， 设直线与平面所成角为， 则． 直线与平面所成角的正弦值为． 18题：(4+6+4) 解： 因为 . （2） + 0 0 + 所以. （3） 当时，即时，方程有两个不等实根，设两个不等实根分别为， + 0 0 + 所以此时有两个极值点。 当时，即时，，，此时 综上所述，当时，有两个极值点， 当时，没有极值点. （19题）（14分4+6+4）解： （Ⅰ）由题意知，样本中高一学生为人，测试成绩为“优”或“良”的有人. ----------1分 记“从高一学生中任意抽取人，测试成绩为‘优’或‘良’”为事件，---------1分 则. -----------------2分 （Ⅱ）的所有可能取值为. -----------------1分 记“从样本中高一年级学生中任意抽取人，测试成绩为‘优’”为事件，记“从样本中 高二年级学生中任意抽取人，测试成绩为‘优’”为事件,由题意知，相互独立. ，， 则； . -----------------3分 所以的分布列为 ----------------1分 . -----------------2分 （注：，补分用，1分。计算过程1分，结果1分） （Ⅲ）记 “从样本高一学生升入高二后，抽测学生不变，现抽查人，成绩都为‘优’”为事件， 则 -----------------1分 . -----------------1分 答案示例1：可以认为有变化，理由如下： 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为升入高二后成绩为“优”的人数有变化. 答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下： 事件为随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化. -----------------2分 （20）（本小题14分）（4+6+4） 解：（Ⅰ）当时，，则. ，所以. 所以曲线在点处的切线方程为即. （Ⅱ）由得, 当时，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以所以符合题意； 当时，令，得, 因为，所以所以，所以， 的变化情况如下表： 极小值 所以，与恒成立矛盾，所以不符合题意； 综上所述，实数的取值范围是. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知， 当时，存在极小值， 记， 则， 所以在上单调递增，, 取，此时 ，， 所以存在，使，即方程有正实根. 21题：（） （1），集合可能为：，，，； （2）不妨设，则，， 因此或， 时，， 时，， 因此中只能选项一个，中选两个，为， 综上集合有，共有4个； （3）（1）若，则是从这个数所取， 把这个数分成组，每组中两个数的和为， 从这组中取个数，必有两个数属于同一组，例如，则取，是的倍数，结论成立； （2）若，不妨设， 从中任取3个数，， 若与都是的倍数，则，这与矛盾， 所以中任意两个数的差都不是的倍数，不妨设不是倍数， 考虑这个数：， ①若这个数除以的余数各不相同，则必有一个是的倍数，又且均不为， 故存在，使得， 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立； ②若这个数除以的余数中有两个相同，由它们的差是的倍数，又均不为的倍数， 所以存在，使得， 若是偶数，取，，结论成立， 若是奇数，取，，结论成立， 综上，存在非空集合，使得是的倍数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 良乡中学高三数学第一次月考试题 2025.10 本试卷共8页，满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案填涂或书写在答题卡上。考试结束后，将答题卡交回，第一页选择题不上交。 第Ⅰ卷（选择题 共 50分） 一、选择题. 本题共10题每题5分，共计50分. 在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则 ( ) （A） （B） （C） （D） 2．已知命题：，，那么命题为 （ ） （A）， （B）， （C）， （D）， 3．若，则 ( ) （A） （B） （C） （D） 4.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 5. 已知非零实数满足，则下列关系成立的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 6. 已知函数为奇函数，且在上单调递减，若，则满足不等式的的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D） 7. 已知,,，则三者大小关系为 （ ） （A） （B） （C） （D） 8. 已知是定义在上的函数，则“对，都成立”是“f（x）在上是增函数”的 （ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 9．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位:）与时间（单位:）的关系为，其中，k是常数.如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花多少时间（精确到）？（，）( ) （A） （B） （C） （D） 10. 函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数、、、，使得，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题. 本题共6题每题分5，共计30分. 11. 在的二项展开式中，第4项的系数是 ． 12. 函数的定义域为____________. 13. 能够说明“设”是假命题的一组的值依次为 . 14. 设函数（为常数）,若为奇函数，则______；若是定义域上的减函数，则的取值范围是 ． 15. 已知函数 ，当m=1时，函数的值域为 ;若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 . 16. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，方程有且只有一个实数根； ②当时，对任意，或； ③当时，对任意，； ④存在，对任意，. 其中正确结论的序号是____. 三．解答题. 17.（本小题14分）如图，三棱柱中，底面，是的中点，，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 18.（本小题14分）已知函数. （Ⅰ）若在时，有极值，求的值； （Ⅱ）若，求函数的单调区间. （Ш）讨论函数极值点的个数. 19. （本小题14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、及格、不及格．某校为了解学生的体质健康情况，在高一、高二年级分别抽取名学生进行测试，测试的结果如下： 等级 年级 优 良 及格 不及格 高一 高二 （Ⅰ）从全体高一学生中随机抽取人，估计该学生的测试成绩为“优”或“良”的概率； （Ⅱ）从样本中高一年级和高二年级中各随机抽取人，以表示这两个人中测试成绩为“优”的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知高一学生升入高二后，进行体育抽测的学生不变．现从这名抽测的学生中随机抽查人，发现他们的测试成绩都为“优”．结合表格数据，能否认为学生升入高二后体育成绩为“优”的人数有变化？说明理由． 20.（本小题14分） 已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若对任意，都有，求实数的取值范围； （Ⅲ）求证：存在实数，使方程有正实根. 21．（本小题14分） 已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，，写出所有可能的集合； (2)若，，且是12的倍数，求集合的个数； (3)若；证明：存在非空集合，使得是的倍数． 学科网（北京）股份有限公司 $