精品解析：河南省周口市第四初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次素质测评数学（卓越班）试卷

2025～2026学年上期九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1. 下列属于一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 方程中的一次项系数与常数项的和是（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -3 5. 拋物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. x(x+1)=1035 B. x(x-1)=1035 C. x(x+1)=1035 D. x(x-1)=1035 8. 用配方法解3x2﹣6x＝6配方得（　　） A. （x﹣1）2＝3 B. （x﹣2）2＝3 C. （x﹣3）2＝3 D. （x﹣4）2＝3 9. 方程2x2+6x+5=0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 10. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，总分15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 12. 已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 13. 若抛物线与x轴没有交点，则k的取值范围为____________． 14. 已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是_________． 15. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 三、解答题（本大题共8小题，总分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. “埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病病毒，传染性极强，一游客在非洲旅游时不慎感染“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有361人受到感染，问每轮传染中平均一人传染了几个人？若不控制，第二轮后新增了多少人感染？ 18. 已知关于的方程 （1）当m取何值时，方程有两个实数根； （2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 19. 小明用描点法画抛物线． （1）请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此抛物线； x … … … … （2）直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标； （3）当时，直接写出y的取值范围． 20. 已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 21. 综合与实践 某农场打算将长的篱笆全部用来围成一个长方形的生物园饲养小兔，现有一面长的墙可利用． 【解决问题】按图1的围法，若长方形的面积为，求长方形的两边长； 【设计方案】若围成长方形的面积恰好为，请在图2中画出满足要求的一种方案，并标出每段篱笆的长度． 22. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． （1）______； （2）如图，已知点A的坐标是，点B的坐标是． ①求出二次函数的表达式． ②当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，且，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上期九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1. 下列属于一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．不是等式，则A不符合题意， B．中未知数的次数是1，则B不符合题意， C．符合一元二次方程的定义，则C符合题意， D． 含有2个未知数，则D不符合题意， 故选：C． 2. 方程中的一次项系数与常数项的和是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由定义得一次项系数为，常数项为，即可求解；理解一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 一次项系数为，常数项为， ， 故答案为：A． 3. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：． 故选：B． 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于k的一元一次方程即可。 【详解】解：把代入关于x的一元二次方程中，得， 解得， 故选：A． 5. 拋物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，熟知对于二次函数的顶点坐标为是解题的关键． 6. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性，由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小； 关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. x(x+1)=1035 B. x(x-1)=1035 C. x(x+1)=1035 D. x(x-1)=1035 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035． 故选B 8. 用配方法解3x2﹣6x＝6配方得（　　） A. （x﹣1）2＝3 B. （x﹣2）2＝3 C. （x﹣3）2＝3 D. （x﹣4）2＝3 【答案】A 【解析】 【详解】3x2﹣6x=6， x2﹣2x=2， x2﹣2x+1=2+1， （x﹣1）2=3， 故选A． 9. 方程2x2+6x+5=0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在方程2x2+6x+5=0中， △=62﹣4×2×5=﹣4＜0， ∴方程2x2+6x+5=0没有实数根， 故选C． 10. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，总分15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 13. 若抛物线与x轴没有交点，则k的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式可得关于 k的不等式，求解即可得出k的取值范围． 【详解】解：抛物线与x轴没有交点， ， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 14. 已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 15. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，总分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得； （2）利用公式法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 17. “埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病病毒，传染性极强，一游客在非洲旅游时不慎感染“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有361人受到感染，问每轮传染中平均一人传染了几个人？若不控制，第二轮后新增了多少人感染？ 【答案】每轮传染中平均一人传染18人，若不控制，第二轮后又会新增6498人感染 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．若不控制，第二轮后新增人数两轮传染后受到感染的总人数每轮传染中平均一个人传染的人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得： ， ∴， 解得，（舍去），  第二轮后新增人数为（人）． 答：每轮传染中平均一人传染18人，若不控制，第二轮后又会新增6498人感染． 18. 已知关于的方程 （1）当m取何值时，方程有两个实数根； （2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 【答案】（1）m≥—；（2）x1=0,x2=2. 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b2−4ac≥0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的取值范围． （2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即△＞0，可以解得m＞−，在m＞−的范围内选取一个合适的整数求解就可以． 【详解】解:(1)△=[-2（m+1)]²-4×1×m² =8m+4 ∵方程有两个实数根 ∴△≥0，即8m+4≥0 解得，m≥- （2）选取一个整数0，则原方程为， x²-2x=0 解得x1=0,x2=2. 【点睛】此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 19. 小明用描点法画抛物线． （1）请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此抛物线； x … … … … （2）直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） 列表： x … 0 1 2 3 … … 0 1 0 … 描点，连线： （2）对称轴为直线，顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）分别将x的值代入函数解析式求出y值，再描点，连线作出图象； （2）根据（1）中的图象，可以直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象可知，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：根据图象可知， 当时，x的取值范围为． 20. 已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】（1） 解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 21. 综合与实践 某农场打算将长的篱笆全部用来围成一个长方形的生物园饲养小兔，现有一面长的墙可利用． 【解决问题】按图1的围法，若长方形的面积为，求长方形的两边长； 【设计方案】若围成长方形的面积恰好为，请在图2中画出满足要求的一种方案，并标出每段篱笆的长度． 【答案】解决问题：垂直于墙面的一边长13米，平行于墙面的一边为6米； 设计方案：设垂直于墙面的一边长p米，平行于墙面的一边为q米， 根据题意得， 解得：或， ∴垂直于墙面的一边长9米，平行于墙面的一边为11米或垂直于墙面的一边长11米，平行于墙面的一边为9米； 画出一种方案如图： 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 解决问题：设垂直于墙面的一边长x米，根据题意得，即可解得答案； 设计方案：设垂直于墙面的一边长p米，平行于墙面的一边为q米，根据题意可得关于p、q的二元一次方程组，解方程组求出长方形的长，宽，再作图即可． 【详解】解：解决问题：设垂直于墙面的一边长x米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得或； ∴（大于8，舍去）或， ∴垂直于墙面的一边长13米，平行于墙面的一边为6米； 设计方案：略 22. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． （1）______； （2）如图，已知点A的坐标是，点B的坐标是． ①求出二次函数的表达式． ②当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，且，求m的值． 【答案】（1）3 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质． （1）由抛物线的表达式知，，即可求解； （2）①将点A，点B的坐标代入抛物线表达式得二元一次方程组，解方程组即可得出答案； ②当，且时，抛物线的时，取得最大值，即，当时，y取得最小值为，再根据得关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由抛物线的表达式知，， 即， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：①将点A，点B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； ②当，且时，根据函数图象可得： 当时，取得最大值，即， 当时，y取得最小值为， ∵， ∴， 解得：（不合题意的值已舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $