简单的三角恒等变换 讲义-2026届高三数学一轮复习

简单的三角恒等变换 课前必备知识 课标要求 1.能运用两角和与差的三角公式及二倍角公式进行简单的三角恒等变换．2.能根据三角函数式的结构特点选择公式变形，培养灵活选择和运用公式的能力． 知识梳理 1．三角函数求值 (1)给角求值是将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值． (2)给值求值的关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 2．三角函数化简 (1)角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角． (2)函数名称的变换：观察、比较名称上的差异，采用切化弦或弦化切等手段，实现异名化同名． (3)常数的变换：如1＝sin2α＋cos2α＝tan，＝sin 等． (4)次数变换：常用方式是升次或降次，主要公式是二倍角余弦公式及其逆向使用．如sin2α＝，cos2α＝等． (5)结构变换：通过重组、移项、变除为乘或求差等实现结构的变换． 3．三角恒等式的证明 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变形，然后化繁为简、左右归一，或用变更命题的方法，使两端化异为同． 常用结论 1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. 3．半角公式：sin2＝； cos2＝； tan2＝； tan ＝＝. 课前训练 1．(教材母题必修5.5.1练习T4改编)已知tan (α＋)＝2，则tan α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 2．(2025·吉林松原期末)若cos (＋θ)＝，则sin 2θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 3．化简＋的结果是(　　) A．cos 10° B．sin 10° C．2sin 10°＋cos 10° D．2cos 10°－sin 10° 4．(2025·河北石家庄期末)已知＝，则tan ＝________． 5．在平面直角坐标系Oxy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(，)，则cos (2θ＋)＝________． 课堂核心考点 考点1　三角函数的化简与证明 【例1】 (1)化简： (0＜θ＜π). (2)证明：＋＝tan 3x－tan x. 化简时要有整体意识，合理变形，为公式应用创造条件，使结果中三角函数名称、角的个数、次数尽可能少，尽可能不含无理式． 变式探究 1．(2025四川绵阳模拟预测)已知θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，化简：. 2．(教材母题必修复习参考题5T16)证明：＋2cos (α＋β)＝. 考点2　三角函数的求值 【例2】 (1)(教材母题必修复习参考题5T14)已知cos (＋θ)cos (－θ)＝，则sin4θ＋cos4θ＝________. (2)(2025·重庆模拟预测)求值：＝________． (1)“角”是三角函数的“灵魂”，三角变换中首先要考虑角的变换与统一，通过角的变换进行函数名称及函数式的结构变换． (2)给角求值问题一般思路是通过变换凑出特殊角并设法创造将非特殊角消去(抵消或约分)的机会． (3)给值求值问题的求解，其关键是明确变换的目标，根据目标灵活选择凑角和运用公式．如果角的关系不明显，换元可以避免凑角的变形技巧，可以较快找到所求角与已知角之间的联系． 变式探究 3．(2025·江苏扬州模拟预测)若－<α<β<，且cos αsin β＝，＝，则cos (α－β)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 4．(教材母题必修复习参考题5T13)求值：cos40°(1＋tan 10°)＝________. 考点3　三角恒等变换的综合运用 【例3】 (1)(教材母题必修习题5.5T8改编)(多选)设α∈(0，)，β∈(，π)，若＝tan ，则有(　　) A．sin α＝sin β B．cos α＝－cos β C．sin α＝cos β D．sin2＋sin2＝1 (2)(2025·海南海口模拟预测)已知cos(α＋2β)＝，tan (α＋β)tan β＝－4，符合条件的一个角α的值为________． (1)证明角的恒等式(或已知值求角)这类问题的求解，其基本步骤为：①根据题设条件求角的某一三角函数值；②讨论角的范围；③根据角的范围和函数值确定角的大小． (2)讨论角的范围时，必要时需要根据已知三角函数值缩小角的范围．确定角的范围要结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，特别要注意一些隐含条件，尽量使角的范围最小，避免出现增根． 变式探究 5．(2022·新课标Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)sin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 6．(2025·贵州六盘水模拟预测)设α∈[，]，β∈[，]，且sin α＋cos α＝cos β，则α－β＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 简单的三角恒等变换 课前必备知识 课标要求 1.能运用两角和与差的三角公式及二倍角公式进行简单的三角恒等变换．2.能根据三角函数式的结构特点选择公式变形，培养灵活选择和运用公式的能力． 知识梳理 1．三角函数求值 (1)给角求值是将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值． (2)给值求值的关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 2．三角函数化简 (1)角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角． (2)函数名称的变换：观察、比较名称上的差异，采用切化弦或弦化切等手段，实现异名化同名． (3)常数的变换：如1＝sin2α＋cos2α＝tan，＝sin 等． (4)次数变换：常用方式是升次或降次，主要公式是二倍角余弦公式及其逆向使用．如sin2α＝，cos2α＝等． (5)结构变换：通过重组、移项、变除为乘或求差等实现结构的变换． 3．三角恒等式的证明 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变形，然后化繁为简、左右归一，或用变更命题的方法，使两端化异为同． 常用结论 1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. 3．半角公式：sin2＝； cos2＝； tan2＝； tan ＝＝. 课前训练 1．(教材母题必修5.5.1练习T4改编)已知tan (α＋)＝2，则tan α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：A　由tan (α＋)＝＝2，解得tan α＝.故选A. 2．(2025·吉林松原期末)若cos (＋θ)＝，则sin 2θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：C　由题得cos θ－sin θ＝，所以cos θ－sin θ＝， 两边平方得1－sin 2θ＝，所以sin 2θ＝.故选C. 3．化简＋的结果是(　　) A．cos 10° B．sin 10° C．2sin 10°＋cos 10° D．2cos 10°－sin 10° 解析：D　原式＝＋ ＝＋ ＝cos 10°＋cos 10°－sin 10° ＝2cos 10°－sin 10°.故选D. 4．(2025河北石家庄期末)已知＝，则tan ＝________． 解析：　因为＝＝＝，且＝，所以tan ＝. 5．在平面直角坐标系Oxy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(，)，则cos (2θ＋)＝________． 解析：－1　由题知cos θ＝，sin θ＝， 则cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，sin2θ＝2sin θcos θ＝， 所以cos (2θ＋)＝cos 2θ×－sin 2θ×＝－1. 课堂核心考点 考点1　三角函数的化简与证明 【例1】 (1)化简： (0＜θ＜π). (2)证明：＋＝tan 3x－tan x. 解析：(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜， 所以cos ＞0， 所以＝＝2cos. 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos ) ＝(2sin cos ＋2cos2)(sin－cos ) ＝2cos (sin2－cos2) ＝－2coscos θ， 故原式＝＝－cos θ. (2)证明：因为＝ ＝ ＝tan 3x－tan 2x， 又＝ ＝ ＝tan 2x－tan x， 所以＋＝tan 3x－tan x. 化简时要有整体意识，合理变形，为公式应用创造条件，使结果中三角函数名称、角的个数、次数尽可能少，尽可能不含无理式． 变式探究 1．(2025·四川绵阳模拟预测)已知θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，化简：. 解析：因为tan 2θ＝－4tan (θ＋)， 则＝ ＝， 显然1－tan θ≠0， 可得＝－2(tan θ＋1)， 整理得2tan2θ＋5tanθ＋2＝0， 解得tan θ＝－2或tan θ＝－， 又因为θ∈(，π)，则tan θ∈(－1，0)，可得tan θ＝－， 所以 ＝ ＝＝(tan θ＋1)＝. 2．(教材母题必修复习参考题5T16)证明：＋2cos (α＋β)＝. 证明：左边 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边． 考点2　三角函数的求值 【例2】 (1)(教材母题必修复习参考题5T14)已知cos (＋θ)cos (－θ)＝，则sin4θ＋cos4θ＝________. (2)(2025·重庆模拟预测)求值：＝________． 解析：(1)　因为cos (＋θ)cos (－θ) ＝(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ) ＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝. 所以cos 2θ＝. 故sin4θ＋cos4θ＝()2＋()2＝＋＝. (2)1　原式 ＝ ＝ ＝＝＝1. (1)“角”是三角函数的“灵魂”，三角变换中首先要考虑角的变换与统一，通过角的变换进行函数名称及函数式的结构变换． (2)给角求值问题一般思路是通过变换凑出特殊角并设法创造将非特殊角消去(抵消或约分)的机会． (3)给值求值问题的求解，其关键是明确变换的目标，根据目标灵活选择凑角和运用公式．如果角的关系不明显，换元可以避免凑角的变形技巧，可以较快找到所求角与已知角之间的联系． 变式探究 3．(2025·江苏扬州模拟预测)若－<α<β<，且cos αsin β＝，＝，则cos (α－β)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：C　因为＝，则＝，则sin αcos β＝cos αsin β＝， 所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－， 而－<α<β<，则－<α－β<0， 所以cos (α－β)＝＝.故选C. 4．(教材母题必修复习参考题5T13)求值：cos40°(1＋tan 10°)＝________. 解析：1　cos 40°(1＋tan 10°) ＝cos 40°× ＝cos 40°×， ＝cos 40°× ＝cos 40°× ＝＝＝1. 考点3　三角恒等变换的综合运用 【例3】 (1)(教材母题必修习题5.5T8改编)(多选)设α∈(0，)，β∈(，π)，若＝tan ，则有(　　) A．sin α＝sin β B．cos α＝－cos β C．sin α＝cos β D．sin2＋sin2＝1 (2)(2025·海南海口模拟预测)已知cos(α＋2β)＝，tan (α＋β)tan β＝－4，符合条件的一个角α的值为________． 解析：(1)ABD　＝tan ⇒＝tan ⇒＝. 因为α∈(0，)，所以∈(0，)， 因此有＝， 又因为β∈(，π)，所以∈(，), 所以cos cos －sin sin ＝0， 即cos ＝0， 因为∈(0，)，∈(，)， 所以∈(，)，即＝，因此α＋β＝π， 所以有sin α＝sin (π－β)＝sin β， cos α＝cos (π－β)＝－cos β， sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1. 故选ABD. (2)(答案不唯一) 因为cos(α＋2β)＝cos [(α＋β)＋β]＝cos (α＋β)cos β－sin (α＋β)sin β， 故cos (α＋β)cos β－sin (α＋β)sin β＝， 因为tan (α＋β)tan β＝－4， 即＝－4， 故sin (α＋β)sin β＝－4cos (α＋β)cos β， 故5cos (α＋β)cos β＝， 即cos (α＋β)cos β＝， 则sin (α＋β)sin β＝－4cos (α＋β)cos β＝－， 则cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)·cos β＋sin (α＋β)sin β＝－＝－， 可取α＝. (1)证明角的恒等式(或已知值求角)这类问题的求解，其基本步骤为：①根据题设条件求角的某一三角函数值；②讨论角的范围；③根据角的范围和函数值确定角的大小． (2)讨论角的范围时，必要时需要根据已知三角函数值缩小角的范围．确定角的范围要结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，特别要注意一些隐含条件，尽量使角的范围最小，避免出现增根． 变式探究 5．(2022·新课标Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)sin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 解析：C　由已知得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β， 即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0， 所以tan (α－β)＝－1，故选C. 6．(2025·贵州六盘水模拟预测)设α∈[，]，β∈[，]，且sin α＋cos α＝cos β，则α－β＝________． 解析：　因为sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)＝(sin sin α＋cos cos α)＝cos (α－)， 所以cos (α－)＝cos β，即cos (α－)＝cos β， 又α∈[，]，β∈[，]， 所以α－∈[0，]， 则可得α－＝β＝，则α＝，β＝，故α－β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $