同角三角函数的基本关系与诱导公式讲义-2026届高三数学一轮复习

同角三角函数的基本关系与诱导公式 课前必备知识 课标要求 1.理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式．2.借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式.3.能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值． 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系式 平方关系：__sin2α＋cos2α＝1__． 商数关系：__tan α＝__． 2．诱导公式 公式一：(其中k∈Z) sin (2kπ＋α)＝__sin_α__，cos (2kπ＋α)＝__cos_α__，tan (2kπ＋α)＝__tan_α__． 公式二： sin (π＋α)＝__－sin_α__，cos (π＋α)＝__－cos_α__，tan (π＋α)＝__tan_α__． 公式三： sin (－α)＝__－sin_α__，cos (－α)＝__cos_α__，tan (－α)＝__－tan_α__． 公式四： sin (π－α)＝__sin_α__，cos (π－α)＝__－cos_α__，tan (π－α)＝__－tan_α__． 公式五： sin (－α)＝__cos_α__，cos (－α)＝__sin_α__． 公式六： sin (＋α)＝__cos_α__，cos (＋α)＝__－sin_α__． 常用结论 1．同角三角函数关系的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2. (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α＝2sin 2α. 2．诱导公式的记忆 (1)2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． (2)±α，±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 可利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆． 课前训练 1．(教材母题必修习题5.2T6)已知角α∈(－，0)，cos α＝，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C． D．－ 解析：B　因为α∈(－，0)，所以sin α<0， 所以sin α＝－＝－，tan α＝＝－.故选B. 2．若cos (＋x)＝，则sin (－x)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：C　因为－x＝－(＋x)， 所以sin (－x)＝sin [－(＋x)]＝cos (＋x)＝.故选C. 3．sin 300°cos 600°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：B　sin 300°cos 600°＝sin (360°－60°)cos (720°－120°)＝sin (－60°)cos (－120°)＝(－)×(－)＝，故选B. 4．(2025·辽宁三模)已知tan α＝，则＝________． 解析：3　 ＝＝＝＝3. 5．(教材母题必修习题5.2T17)若＝，则＝________． 解析：　由＝知1－cos x≠0， 所以＝ ＝ ＝ ＝＝. 课堂核心考点 考点1　同角三角关系的应用 【例1】 (1)(教材母题必修习题5.2T15改编)已知tan α＝2，则＝________；＋＝________. (2)已知A为三角形的内角，且sin A＋cos A＝，则tan A＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：(1)　10 因为tan α＝2， 所以＝＝＝. 因为tan α＝2， 所以＋ ＝ ＝＝＝ ＝2tan2α＋2＝10. (2)A　因为sinA＋cos A＝， 所以(sin A＋cos A)2＝()2， 计算得2sin A cos A＝－<0， 又A为三角形的内角， 所以sin A>0，cos A<0， 从而(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝， 所以sin A－cos A＝， 所以sin A＝，cos A＝－， 所以tan A＝＝－，故选A. 利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．所求式是关于sin α，cos α的齐次式时，分子分母同除以cos α，可化成tan α的函数式求值． 变式探究 1．已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________． 解析：0　因为cos α＝－<0且cos α≠－1，所以α是第二或第三象限角． ①若α是第二象限角， 则sin α＝＝＝， 所以tan α＝＝＝－. 此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×(－)＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－＝－＝－， 所以tan α＝＝＝， 此时，13sin α＋5tan α＝13×(－)＋5×＝0. 综上，13sin α＋5tan α＝0. 2．若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α＝(　　) A． B． C． D． 解析：C　由＝可知cos α≠0， 所以＝＝， 所以tan α＝－3， 所以sin2α－sin αcos α－3cos2α ＝ ＝＝＝. 故选C. 考点2　诱导公式的应用 【例2】(1)计算：sin (－1395°)cos 1110°＋cos (－1020°)sin 750°. (2)已知f(α)＝(sin α≠0且1＋2sin α≠0)，则f(－)＝________. 解析：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)·cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)·sin (2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝×＋× ＝＋＝. (2)　因为 f(α)＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 所以f(－)＝ ＝＝＝. (1)应用诱导公式时，需要准确记忆和运用诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是关键． (2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其一般步骤是“去负—脱周—化锐”． 变式探究 3．(多选)已知sin (＋α)＝，则下列结论正确的是(　　) A．cos (＋α)＝ B．cos (－α)＝ C．sin (＋α)＝ D．cos (－α)＝－ 解析：BD　由sin (＋α)＝， 可得cos (＋α)＝±， cos (－α)＝cos [－(＋α)]＝sin (＋α)＝， sin (＋α)＝sin (π＋＋α)＝－sin (＋α)＝－， cos (－α)＝cos (π＋－α)＝－cos (－α)＝－.故选BD. 4．已知角x的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角x的终边经过点P(3，4).则tan (－6π＋α)＝__________；·sin (α－2π)·cos (2π＋α)＝__________． 解析：　 由已知得tan α＝，所以tan (－6π＋α)＝tan α＝. 因为r＝＝5，则sin α＝，cos α＝， 故·sin (α－2π)·cos (2π＋α)＝·sin α·cos α＝sin2α＝()2＝. 考点3　诱导公式与同角关系的综合应用 【例3】(1)已知cos (＋α)＝，则cos (－α)＝________. (2)若sin 10°＝a sin 100°，则sin 20°＝(　　) A． B．－ C． D．－ (3)(多选)已知锐角三角形ABC，则下列说法正确的是(　　) A．sin A＋sin B＋sin C<cos A＋cos B＋cos C B．tan A＋tan B＋tan C>0 C．sin A＝，tan B＝3，则A<B D．cos A＋cos B< 解析：(1)－　因为cos (＋α)＝， 所以cos (－α)＝cos [π－(＋α)]＝－cos (＋α)＝－. (2)C　由题意可知a>0，sin 10°＝a sin 100°＝a sin (90°＋10°)＝a cos 10°， sin210°＋cos210°＝1， 解得sin10°＝，cos 10°＝. sin 20°＝2sin 10°cos 10° ＝2××＝.故选C. (3)BCD　对于A，取A＝B＝C＝，则sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C，A错误； 对于B，由于△ABC是锐角三角形，故tan A>0，tan B>0，tan C>0，故tan A＋tan B＋tan C>0，B正确； 对于C，锐角三角形ABC中，由sin A＝知cos A＝，故tan A＝，则tan A<tan B，即A<B，C正确； 对于D，△ABC是锐角三角形，故A＋B>，所以B>－A，故cos A＋cos B<cos A＋cos (－A)＝cos A＋sin A＝sin (A＋)≤，即cos A＋cos B<，D正确．故选BCD. 1．利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． 2．注意角的范围对三角函数值符号的影响． 变式探究 5．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos (＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 解析：C　由已知得 消去sin β，得tan α＝3， 所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1， 化简得sin2α＝，又α为锐角，则sin α＝.故选C. 6．(2025·江苏南通期末)已知x∈[0，]，sin x＋cos x＝，则tan (x－)＝(　　) A．3 B．－3 C．－ D．2 解析：A　因为sin x＋cos x＝， 所以sin (x＋)＝，所以sin (x＋)＝， 又x∈[0，]，所以x＋∈[，]， 所以cos (x＋)＝＝， 所以tan(x＋)＝3， 故tan (x－)＝tan [(x＋)－π]＝tan (x＋)＝3.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 同角三角函数的基本关系与诱导公式 课前必备知识 课标要求 1.理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式．2.借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式.3.能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值． 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系式 平方关系：__sin2α＋cos2α＝1__． 商数关系：__tan α＝__． 2．诱导公式 公式一：(其中k∈Z) sin (2kπ＋α)＝__sin_α__，cos (2kπ＋α)＝__cos_α__，tan (2kπ＋α)＝__tan_α__． 公式二： sin (π＋α)＝__－sin_α__，cos (π＋α)＝__－cos_α__，tan (π＋α)＝__tan_α__． 公式三： sin (－α)＝__－sin_α__，cos (－α)＝__cos_α__，tan (－α)＝__－tan_α__． 公式四： sin (π－α)＝__sin_α__，cos (π－α)＝__－cos_α__，tan (π－α)＝__－tan_α__． 公式五： sin (－α)＝__cos_α__，cos (－α)＝__sin_α__． 公式六： sin (＋α)＝__cos_α__，cos (＋α)＝__－sin_α__． 常用结论 1．同角三角函数关系的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2. (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α＝2sin 2α. 2．诱导公式的记忆 (1)2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． (2)±α，±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 可利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆． 课前训练 1．(教材母题必修习题5.2T6)已知角α∈(－，0)，cos α＝，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C． D．－ 2．若cos (＋x)＝，则sin (－x)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 3．sin 300°cos 600°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 4．(2025·辽宁三模)已知tan α＝，则＝________． 5．(教材母题必修习题5.2T17)若＝，则＝________． 课堂核心考点 考点1　同角三角关系的应用 【例1】 (1)(教材母题必修习题5.2T15改编)已知tan α＝2，则＝________；＋＝________. (2)已知A为三角形的内角，且sin A＋cos A＝，则tan A＝(　　) A．－ B．－ C． D． 利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．所求式是关于sin α，cos α的齐次式时，分子分母同除以cos α，可化成tan α的函数式求值． 变式探究 1．已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________． 2．若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α＝(　　) A． B． C． D． 考点2　诱导公式的应用 【例2】(1)计算：sin (－1395°)cos 1110°＋cos (－1020°)sin 750°. (2)已知f(α)＝(sin α≠0且1＋2sin α≠0)，则f(－)＝________. (1)应用诱导公式时，需要准确记忆和运用诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是关键． (2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其一般步骤是“去负—脱周—化锐”． 变式探究 3．(多选)已知sin (＋α)＝，则下列结论正确的是(　　) A．cos (＋α)＝ B．cos (－α)＝ C．sin (＋α)＝ D．cos (－α)＝－ 4．已知角x的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角x的终边经过点P(3，4).则tan (－6π＋α)＝__________；·sin (α－2π)·cos (2π＋α)＝__________． 考点3　诱导公式与同角关系的综合应用 【例3】(1)已知cos (＋α)＝，则cos (－α)＝________. (2)若sin 10°＝a sin 100°，则sin 20°＝(　　) A． B．－ C． D．－ (3)(多选)已知锐角三角形ABC，则下列说法正确的是(　　) A．sin A＋sin B＋sin C<cos A＋cos B＋cos C B．tan A＋tan B＋tan C>0 C．sin A＝，tan B＝3，则A<B D．cos A＋cos B< 1．利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． 2．注意角的范围对三角函数值符号的影响． 变式探究 5．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos (＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 6．(2025·江苏南通期末)已知x∈[0，]，sin x＋cos x＝，则tan (x－)＝(　　) A．3 B．－3 C．－ D．2 学科网（北京）股份有限公司 $