两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式 讲义-2026届高三数学一轮复习

两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式 课前必备知识 课标要求 1.经历推导两角差的余弦公式，知道两角差的余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用三角函数公式进行简单的恒等变换． 知识梳理 1．两角和与差的余弦C(α±β) cos (α＋β)＝__cos_αcos_β－sin_αsin_β__． cos (α－β)＝__cos_αcos_β＋sin_αsin_β__． 2．两角和与差的正弦S(α±β) sin (α＋β)＝__sin_αcos_β＋cos_αsin_β__． sin (α－β)＝__sin_αcos_β－cos_αsin_β__． 3．两角和与差的正切T(α±β) tan (α＋β)＝____． tan (α－β)＝____． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝__2sin_αcos_α__； cos 2α＝__cos2α－sin2α__ ＝1－__2sin2α__ ＝__2cos2α__－1； tan2α＝____． 常用结论 1．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝. 2．T(α±β)的常用变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β). tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β). 课前训练 1．(教材母题必修5.5.1练习T3改编)已知sin (α－)＝2sin α，则tan 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 2．(2025·广东肇庆阶段练习)cos50°cos 70°＋sin 50°cos 160°＝(　　) A．－ B． C．－ D． 3．(教材母题必修5.5.1练习T2改编)若sin (＋θ)＝－，则sin 2θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 5．(教材母题必修复习参考题5T12)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________. 课堂核心考点 考点1　两角和与差公式及应用 【例1】 (1)＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)已知α，β均为锐角，cos (α＋β)＝－，sin (β＋)＝，则cos (α－)＝(　　) A． B．－ C． D．或 (3)(2024·河南三模)若sin (α－β)＝，且tan α＝2tan β，则sin (α＋β)＝(　　) A． B． C． D． 在三角函数的求值、化简时，注意观察函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变换．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是在角的范围内根据函数值，确定角的值，避免增解．在进行简单的三角恒等变换时，既要注意公式“正用”，又要注意公式“逆用”． 变式探究 1．(教材母题必修复习参考题5T15)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α－β)＝________. 2．(2024·江西九江三模)若2sin (α＋)＝cos (α－)，则tan (α－)＝(　　) A．－4－ B．－4＋ C．4－ D．4＋ 3．若0<α<，0<β<，sin (－)＝，cos (－)＝，则cos ＝(　　) A． B． C． D． 考点2　二倍角公式及应用 【例2】 (1)已知α∈(－，)，cos (α＋)＝，则sin (2α＋)＝(　　) A． B． C． D．－ (2)(2024·辽宁一模)若tan 2α＝，则＝(　　) A．－或2 B．－2或 C．2 D．－ (3)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________． 三角函数式的恒等变换要注意以下三点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”． 变式探究 4．已知α∈(，)，且sin (α＋)＝，则cos (2α－)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 5．已知tan α＝－3，则sin 2α－2cos 2α＝(　　) A．－ B．－1 C．1 D．2 6．已知α，β为锐角，tan(α＋)＝，tan (－β)＝，则tan (α＋2β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 考点3　三角公式的综合运用 【例3】 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)(2024·辽宁丹东二模)已知sin α＋sin (α＋)＝，则cos (2α＋)＝(　　) A． B．－ C． D．－ (3)已知3cos 2α－4sin2β＝1，3sin2α－2sin 2β＝0，且α为锐角，则sin α＝(　　) A． B． C． D． (1)三角函数式的变形要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 变式探究 7．(2025·四川绵阳阶段练习)已知x∈[0，]，sin x＋cos x＝，则tan (x－)＝________． 8．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式 课前必备知识 课标要求 1.经历推导两角差的余弦公式，知道两角差的余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用三角函数公式进行简单的恒等变换． 知识梳理 1．两角和与差的余弦C(α±β) cos (α＋β)＝__cos_αcos_β－sin_αsin_β__． cos (α－β)＝__cos_αcos_β＋sin_αsin_β__． 2．两角和与差的正弦S(α±β) sin (α＋β)＝__sin_αcos_β＋cos_αsin_β__． sin (α－β)＝__sin_αcos_β－cos_αsin_β__． 3．两角和与差的正切T(α±β) tan (α＋β)＝____． tan (α－β)＝____． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝__2sin_αcos_α__； cos 2α＝__cos2α－sin2α__ ＝1－__2sin2α__ ＝__2cos2α__－1； tan2α＝____． 常用结论 1．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝. 2．T(α±β)的常用变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β). tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β). 课前训练 1．(教材母题必修5.5.1练习T3改编)已知sin (α－)＝2sin α，则tan 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：A　由sin (α－)＝－cos α＝2sin α， 可得tan α＝－，故tan 2α＝＝－.故选A. 2．(2025·广东肇庆阶段练习)cos50°cos 70°＋sin 50°cos 160°＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：C　原式 ＝cos 50°cos 70°＋sin 50°cos (90°＋70°) ＝cos 50°cos 70°－sin 50°sin 70° ＝cos (50°＋70°)＝cos 120°＝－.故选C. 3．(教材母题必修5.5.1练习T2改编)若sin (＋θ)＝－，则sin 2θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：D　由sin (＋θ)＝－，可得sin (＋θ)＝， 所以sin 2θ＝－cos (2θ＋)＝2sin2(θ＋)－1＝－1＝－.故选D. 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 解析：A　因为cos (α＋β)＝m， 所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2， 所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m，故选A. 5．(教材母题必修复习参考题5T12)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________. 解析：　因为tan 60°＝tan (10°＋50°)＝， 所以tan 10°＋tan 50° ＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°) ＝－tan 10°tan 50°， 所以原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝. 课堂核心考点 考点1　两角和与差公式及应用 【例1】 (1)＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)已知α，β均为锐角，cos (α＋β)＝－，sin (β＋)＝，则cos (α－)＝(　　) A． B．－ C． D．或 (3)(2024·河南三模)若sin (α－β)＝，且tan α＝2tan β，则sin (α＋β)＝(　　) A． B． C． D． 解析：(1)B　原式＝＝＝tan (45°＋15°)＝，故选B. (2)C　因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，β＋∈(，)， 所以sin (α＋β)>0，cos (β＋)∈(－，)， 因为cos (α＋β)＝－， 所以sin (α＋β)＝， 又因为sin (β＋)＝， 所以cos (β＋)＝－(舍去)， 所以cos (α－)＝cos [(α＋β)－(β＋)] ＝cos (α＋β)cos (β＋)＋sin (α＋β)sin (β＋) ＝－×(－)＋×＝.故选C. (3)D　因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝， 又tan α＝2tan β，即＝， 则sin αcos β＝2cos αsin β， 所以sin αcos β＝，cos αsin β＝， 故sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝.故选D. 在三角函数的求值、化简时，注意观察函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变换．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是在角的范围内根据函数值，确定角的值，避免增解．在进行简单的三角恒等变换时，既要注意公式“正用”，又要注意公式“逆用”． 变式探究 1．(教材母题必修复习参考题5T15)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α－β)＝________. 解析：　由cos α－cos β＝，sin α－sin β＝， 得(cos α－cos β)2＝，(sin α－sin β)2＝， 所以cos2α＋cos2β＋sin2α＋sin2β－2(cosαcos β＋sin α·sin β)＝， 即2－2cos (α－β)＝⇒cos (α－β)＝. 2．(2024·江西九江三模)若2sin (α＋)＝cos (α－)，则tan (α－)＝(　　) A．－4－ B．－4＋ C．4－ D．4＋ 解析：C　令β＝α－，则α＝β＋， 所以由2sin (α＋)＝cos (α－)， 得2sin (β＋)＝cos (β－)， 即2cos β＝cos β＋sin β， 即sin β＝(4－)cos β，得tan β＝4－， 所以tan (α－)＝tan β＝4－，故选C. 3．若0<α<，0<β<，sin (－)＝，cos (－)＝，则cos ＝(　　) A． B． C． D． 解析：B　因为0<α<，0<β<， 所以<－<，－<－<－. 因为sin (－)＝， 所以cos (－)＝. 因为cos (－)＝， 所以sin (－)＝－. 所以cos ＝cos [(－)＋(－)] ＝cos (－)cos (－)－sin (－)·sin (－) ＝×－(－)×＝.故选B. 考点2　二倍角公式及应用 【例2】 (1)已知α∈(－，)，cos (α＋)＝，则sin (2α＋)＝(　　) A． B． C． D．－ (2)(2024·辽宁一模)若tan 2α＝，则＝(　　) A．－或2 B．－2或 C．2 D．－ (3)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________． 解析：(1)C　由α∈(－，)， 可得α＋∈(－，)， 又cos (α＋)＝<＝cos ， 所以α＋∈(，)， 所以sin (α＋)＝＝， 所以sin (2α＋)＝2sin (α＋)cos (α＋)＝.故选C. (2)C　tan 2α＝⇒＝⇒tan α＝或－2， ＝ ＝＝， 代入tan α求得值均为2.故选C. (3)　 因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sin β＝， 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<， 又β为锐角，所以－<2α－β<， 又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝. 三角函数式的恒等变换要注意以下三点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”． 变式探究 4．已知α∈(，)，且sin (α＋)＝，则cos (2α－)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：B　因为α∈(，)， 所以α＋∈(，π)， 则cos (α＋)＝－＝， 因为2(α＋)－(2α－)＝， 所以cos(2α－)＝cos [2(α＋)－] ＝sin [2(α＋)]＝2sin (α＋)cos (α＋) ＝2××(－)＝－，故选B. 5．已知tan α＝－3，则sin 2α－2cos 2α＝(　　) A．－ B．－1 C．1 D．2 解析：C　因为tan α＝－3， 所以sin 2α－2cos 2α＝2sin αcos α－2cos2α＋2sin2α ＝ ＝ ＝＝1.故选C. 6．已知α，β为锐角，tan(α＋)＝，tan (－β)＝，则tan (α＋2β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：A　因为tan (－2β)＝tan [2(－β)]＝＝＝， 所以tan(α＋2β)＝tan [(α＋)－(－2β)]＝＝＝－.故选A. 考点3　三角公式的综合运用 【例3】 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)(2024·辽宁丹东二模)已知sin α＋sin (α＋)＝，则cos (2α＋)＝(　　) A． B．－ C． D．－ (3)已知3cos 2α－4sin2β＝1，3sin2α－2sin 2β＝0，且α为锐角，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 解析：(1)B　因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝， 则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos (2α＋2β)＝cos [2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×()2＝.故选B. (2)A　(方法1)由sin α＋sin (α＋)＝， 得sin [(α＋)－]＋sin [(α＋)＋]＝， 得sin (α＋)cos －cos (α＋)sin ＋sin (α＋)·cos ＋cos (α＋)sin ＝， 得sin (α＋)＝，所以sin (α＋)＝， 所以cos (2α＋)＝1－2sin2(α＋)＝.故选A. (方法2)将sin α＋sin (α＋)＝展开得 sin α＋sin αcos ＋cos αsin ＝， 整理得sin α＋cos α＝， 即sin (α＋)＝， 所以cos (2α＋)＝1－2sin2(α＋)＝.故选A. (3)A　由3cos2α－4sin2β＝1，及sin2β＝得 3cos 2α＋2cos 2β＝3，① 由3sin 2α－2sin 2β＝0， 得(3sin 2α－2sin 2β)(3sin 2α＋2sin 2β)＝0， 则9sin22α－4sin22β＝0， 从而有9cos22α－4cos22β＝5， 得(3cos2α－2cos 2β)(3cos 2α＋2cos 2β)＝5， 得3cos 2α－2cos 2β＝.② 由①②解得cos 2α＝，则1－2sin2α＝， 因为α为锐角，所以sin α＝.故选A. (1)三角函数式的变形要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 变式探究 7．(2025·四川绵阳阶段练习)已知x∈[0，]，sin x＋cos x＝，则tan (x－)＝________． 解析：3　sin x＋cos x＝sin (x＋)＝， 故sin (x＋)＝， 由x∈[0，]，则x＋∈[，]， 故cos (x＋)＝＝， tan (x－)＝tan (x－＋π)＝tan (x＋)＝＝＝3. 8．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 解析：－　(方法1)由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2， 因为α∈(2kπ，2kπ＋)，β∈(2mπ＋π，2mπ＋)，k，m∈Z， 则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z， 又因为tan (α＋β)＝－2<0， 则α＋β∈((2m＋2k)π＋，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0， 则＝－2， 联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1， 解得sin(α＋β)＝－. (方法2)因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0， cos α＝＝， cos β＝＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝cos αcos β(tan α＋tan β) ＝4cos αcos β＝ ＝ ＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $