两角和与差的正弦、余弦和正切公式 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换核心考点，以两角差余弦公式为起点，系统梳理和差倍角公式、辅助角公式的内在联系，通过课标解读、知识深化、考点分层突破（简单应用、逆用变形、角的变换）及真题训练，构建“推导-理解-应用”的复习体系，助力学生突破公式灵活运用难点。 资料创新采用“公式溯源+技巧提炼”教学策略，如通过拆角拼角（α=(α+β)-β）培养数学思维，结合辅助角公式变形训练数学语言表达。设置基础自测、高考真题、对点训练分层练习，配合即时解析，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课前学习任务 一、课标解读 1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,能运用这些公式解决相关的求值与化简问题. 二、必备知识 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [教材知识深化] 1.在两角和与差的正切公式中,tan α,tan β,tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用. 2.公式中的α,β都是任意角,也可以是几个角的组合. 2.辅助角公式 asin x+bcos x(a,b为常数)可以化为　　　　　　　　　　的形式,其中sin φ=,cos φ=.  3.二倍角公式的正弦、余弦、正切公式 名称 公式 二倍角的正弦 sin 2α=　　　　　  二倍角的余弦 cos 2α=　　　　　　　　　　=　　　　=　　　　  二倍角的正切 tan 2α=　　　　  [教材知识深化] 1.二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α=β的特殊情况. 2.对二倍角余弦公式进行变形可得降幂公式:sin2α=,cos2α=,其实质是用倍角的余弦值表示单角正弦值和余弦值的平方,从降幂公式可以看出,在降幂的同时,角扩大为原来的2倍,因此又称“降幂扩角公式”. 2.升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α. 3.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;β==(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);+α=--α等. 4.在非直角三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 5.若α+β=kπ+(k∈Z),则(1+tan α)(1+tan β)=2,反之也成立. 三、自主诊断 一、基础自测 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式中的角α,β是任意的. (　　) (2)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关. (　　) (3)cos θ=2cos2-1=1-2sin2. (　　) (4)=tan+θ. (　　) 2.(人教A版必修第一册5.5.1节例6改编)在△ABC中,cos A=,tan B=2,则tan(2A+2B)=　　　　.  3.(人教A版必修第一册5.5.1节练习第5题改编)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sinβ+=　　　　.  二、连线高考 4.(2024·全国甲,理8)已知,则tanα+=(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.2+1 B.2-1 C. D.1- 5.(2024·新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　.  课堂核心考点 考点一 和、差、倍角公式的简单应用 1.(1)(2024·新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.-3m B.- C. D.3m (2)(2024·福建泉州模拟)已知cos-α=2cosα+,则sin2α+=(　　) A.- B.- C. D. [对点训练1](1)(2023·新高考Ⅰ,8)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- (2)已知cosα+=,则sin2α-=(　　) A.- B.- C.- D. 考点二 和、差、倍角公式的逆用与变形 考向1　公式的逆用与辅助角公式 2.(1)(多选题)(2024·湖南长沙模拟)计算下列各式,结果为的是(　　) A.sin 15°+cos 15° B.cos215°-sin 15°cos 75° C. D. (2)(2020·北京,14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　.  [对点训练2](1)(多选题)(2024·广东佛山期中)下列选项中,值为的是(　　) A.2cos215° B.sin 27°cos 3°+cos 27°sin 3° C.2sin 15°sin 75° D. (2)(2025·安徽开学考试)若λsin 140°-tan 40°=,则实数λ的值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.2 C.3 D.4 考向2　公式的变形 3.(1)(2024·广东湛江高一月考)tan 20°+tan 20°tan 40°=(　　) A.1 B. C. D.2 (2)(2024·山东德州模拟)若α,β为锐角,且α+β=,则(1+tan α)(1+tan β)=　　　　.  [对点训练3](1)(2024·黑龙江齐齐哈尔期末)tan 13°+tan 32°+tan 13°tan 32°=(　　) A.tan 19° B.1 C.-tan 19° D.-1 (2)(2022·新高考Ⅱ,6)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则(　　) A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1 考点三 角的变换 4.(1)(2024·河北唐山模拟)若0<α<,-<β<0,cos+α=,cos=,则sinα+=(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.- B.- C. D. (2)(2024·山东济南模拟)已知cos+α=-,则cos2α-=　　　　.  [对点训练4](2024·四川成都期末)已知角α,β满足cos α=,cos(α+β)cos β=,则cos(α+2β)的值为(　　) A. B. C. D. 答案解析 [知识梳理] 1.cos αcos β+sin αsin β　cos αcos β-sin αsin β　sin αcos β-cos αsin β　sin αcos β+cos αsin β　 2sin(x+φ) 3.2sin αcos α　cos2α-sin2α　1-2sin2α　2cos2α-1　 [自主诊断]　1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2　解析 (方法一)在△ABC中,由cos A=,0<A<π,得sin A=,所以tan A=,tan 2A=又tan B=2,所以tan 2B==-于是tan(2A+2B)= (方法二)在△ABC中,由cos A=,0<A<π,得sin A=,所以tan A=又tan B=2,所以tan(A+B)==-,所以tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]= 3　解析 由已知得sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,即sin[(α-β)-α]=,所以sin(-β)=,则sin β=-,又β是第三象限角,所以cos β=-,故sinβ+=sin βcos+cos βsin=-(sin β+cos β)= 4.B　解析 由,得,则tan α=1-,所以tanα+==2-1.故选B. 5.-　解析 (方法一)tan(α+β)==-2又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z,所以α+β为第四象限角. 由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+sin2(α+β)=1, 所以sin2(α+β)= 又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=- (方法二)设tan α=m,tan β=n,m>0,n>0,则sin α=,cos α=,sin β=,cos β=,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==- 研考点·精准突破 考点一 例1　(1)A　(2)D　解析 (1)∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β.∵cos(α+β)=m,即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m,∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m.∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m. (2)∵cos-α=cos-α+=sinα+=2cosα+,∴tanα+=2,sin2α+=2sinα+cosα+== 对点训练1　(1)B　(2)D　解析 (1)由题意,∵sin(α-β)=,cos αsin β=,∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β-,解得sin αcos β=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,∴cos(2α+2β)=cos [2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×2=故选B. (2)sin2α-=-cos2α-+=-cos 2α+=1-2cos2α+=1-2故选D. 考点二 例2　(1)AD　(2)答案不唯一,只要φ符合2kπ+,k∈Z均可　解析 (1)对于选项A,由辅助角公式得sin 15°+cos 15°=2sin(15°+45°)=2sin 60°=,故A正确;对于选项B,cos215°-sin 15°cos 75°=sin 75°cos 15°-sin 15°cos 75°=sin(75°-15°)=sin 60°=,故B错误;对于选项C,,故C错误;对于选项D,=tan(45°+15°)=tan 60°=,故D正确.故选AD. (2)因为f(x)=cos φsin x+(sin φ+1)cos x=sin(x+θ),其中tan θ=,所以=2,解得sin φ=1,故可取φ= 对点训练2　(1)BCD　(2)D 解析 (1)2cos215°=1+cos 30°=1+,故A错误;sin 27°cos 3°+cos 27°sin 3°=sin 30°=,故B正确;2sin 15°sin 75°=2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故C正确;tan 45°=,故D正确.故选BCD. (2)由λsin 140°-tan 40°=化简得,λsin 40°-,即λsin 40°cos 40°=sin 40°+cos 40°,即sin 80°=2sin(40°+60°)=2sin 80°,因为sin 80°>0,解得λ=4.故选D. 例3　(1)C　(2)2　解析 (1)因为=tan(45°-5°)=tan 40°,且tan 60°=tan(20°+40°)=,可得tan 20°+tan 40°=(1-tan 20°tan 40°),所以tan 20°+tan 20°tan 40°=tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=(1-tan 20°tan 40°)+tan 20°tan 40°=故选C. (2)因为tan(α+β)=,所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+tan(α+β)(1-tan αtan β)+tan αtan β=1+tan(1-tan αtan β)+tan αtan β=2. 对点训练3　(1)B　(2)C　解析 (1)因为tan 45°=tan(13°+32°)==1,所以tan 13°+tan 32°+tan 13°tan 32°=1,故选B. (2)sin(α+β)+cos(α+β)=sinα+β+=sinα++β=sinα+cos β+cosα+sin β.又sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,故sinα+cos β=cosα+sin β,故sinα+cos β-cosα+sin β=0,即sinα+-β=0.故sinα-β+=sin(α-β)+cos(α-β)=0. 故sin(α-β)=-cos(α-β). 故tan(α-β)=-1.故选C. 考点三 例4　(1)D　(2)　解析 (1)因为0<α<,所以+α<,因为cos+α=,所以sin+α=因为-<β<0,所以,因为cos=,所以sin=所以sinα+=sin+α-=sin+αcos-cos+αsin= (2)因为cos+α=-,所以cos+α=-,所以sinα-=,所以cos2α-=cos2α-=1-2sin2α-=1-2 对点训练4　C　解析 由cos α=cos(α+β-β)=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=,因为cos(α+β)cos β=,代入可得,sin(α+β)sin β=,则cos(α+2β)=cos(α+β+β)=cos(α+β)cos β-sin(α+β)sin β=故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $