函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质 课前必备知识 课标要求 1.结合具体实例，了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，了解A，ω，φ的物理意义.2.会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，了解A，ω，φ的变化对函数图象的影响．3.掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)与y＝sin x图象间的变换关系.4.会由函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象或图象性质特征求函数的解析式． 知识梳理 1．y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))的物理意义 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A叫做__振幅__，T＝叫做__周期__，f＝叫做__频率__，ωx＋φ叫做__相位__，φ叫做__初相__． 2．用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象 (1)列表． x － ωx＋φ 0 π 2π y 0 A 0 －A 0 (2)描点作图． 3．用“变换法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象 用“变换法”作y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，有如下两种方案： 常用结论 1．由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象变换：向左平移个单位长度(而非φ个单位长度). 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． 课前训练 1．(教材母题必修复习参考题5T10改编)函数y＝2sin (2x－)的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，，－ B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－ 解析：A　因为函数解析式y＝2sin (2x－)中，A＝2，ω＝2，φ＝－， 所以函数y＝2sin (2x－)的振幅为2，周期为T＝＝π，所以频率为，初相为－.故选A. 2．(教材母题必修5.6练习T2改编)将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图象对应的函数为(　　) A．y＝3sin x B．y＝sin x C．y＝sin 3x D．y＝sin x 解析：B　由题设，将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，即得到y＝sin x，故选B. 3．(2025·浙江金华高三阶段考)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝cos (2x＋) B．g(x)＝cos (2x－) C．g(x)＝cos (2x＋) D．g(x)＝cos (2x－) 解析：B　将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到g(x)＝cos 2(x－)＝cos (2x－).故选B. 4．(教材母题必修习题5.6T4)函数y＝A sin (ωx－φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则其解析式为(　　) A.y＝2sin (2x－) B．y＝2sin (2x－) C．y＝2sin (x－) D．y＝sin (2x－) 解析：B　由图可得，函数的最大值为2，最小值为－2，故A＝2， ＝－(－)＝， 故T＝＝π，解得ω＝2，故y＝2sin (2x－φ). 将(，2)代入可得2sin (2×－φ)＝2， 则－φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝－2kπ＋(k∈Z). 因为0<φ<π，所以φ＝， 所以y＝2sin (2x－).故选B. 5．如图，一根长l(单位：cm)的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系可近似地表示为s＝3cos (t＋)，t∈[0，＋∞)，其中g＝1000 cm/s2，π＝3.14.当t＝0时，小钢球离开平衡位置的位移s是______cm；要使小钢球摆动的周期是1 s，则线的长度l应该为________cm(精确到0.1 cm). 解析：1.5　25.4 在函数s＝3cos (t＋)，t∈[0，＋∞)中， 当t＝0时，s＝3cos ＝1.5， 所以当t＝0时，小钢球离开平衡位置的位移s是1.5 cm. 依题意，ω＝，而周期T＝， 又T＝1，则ω＝2π，即＝2π， 解得l＝≈≈25.4(cm)， 所以线的长度l应该为25.4 cm. 课堂核心考点 考点1　三角函数的图象及性质 【例1】 已知函数f(x)＝2sin (2x＋). (1)利用“五点法”完成下面表格，并画出f(x)在区间[0，π]上的图象； 2x＋ π 2π x 0 π f(x) (2)解不等式f(x)≥. 解析：(1)由题意，列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 2 0 －2 0 　　画出f(x)在区间[0，π]上的图象如图： (2)不等式f(x)≥，即2sin (2x＋)≥， 所以sin (2x＋)≥， 所以＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故f(x)≥的解集为{x|＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}． (1)三角函数的作图的三个主要步骤是列表、描点、连线，关键是五个点的选取． (2)y＝A sin (ωx＋φ)有无数条对称轴，它们垂直于x轴且分别过图象的最高点或最低点；有无数个对称中心，它们是图象与x轴的交点． (3)由图象求解析式，要注意数形结合，要注意它和“五点法”作图的联系． 根据图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π)的解析式的方法与步骤： ①求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝. ②求ω，确定函数的最小正周期T，则ω＝. ③求φ，常用方法如下： (ⅰ)五点法：注意找准“五点法”中相应的点，如图象中离原点最近的右侧上升(或下降)部分与x轴相应交点的横坐标为x0，则可令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π). (ⅱ)代入法：将已知点的坐标代入解析式，再结合图象和φ的取值范围解出φ. 变式探究 1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝____________． 解析：－　设A(x1，)，B(x2，)， 由|AB|＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z， 由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4. 因为f()＝sin (＋φ)＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z. 所以f(x)＝sin (4x－＋kπ)＝sin (4x－＋kπ)， 所以f(x)＝sin (4x－)或f(x)＝－sin (4x－)， 又因为f(0)<0，所以f(x)＝sin (4x－)， 所以f(π)＝sin (4π－)＝－. 2．(2024·吉林长春模拟预测)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示． 则f(x)的解析式为____________________________；设g(x)＝f(2x)，若函数g(x)在区间[0，m]上单调递增，则实数m的最大值为________． 解析：f(x)＝sin (2x＋)　 由图象得A＝1，＝－＝， 所以T＝π， 因为T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ)， 由f(x)的图象经过点(，1)，得sin (2×＋φ)＝1，φ＋＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z. 由|φ|<得φ＝， 所以f(x)＝sin (2x＋). 由题意g(x)＝f(2x)＝sin (4x＋)， 因为函数g(x)在区间[0，m]上单调递增，且≤4x＋≤4m＋， 所以4m＋≤，解得m≤，所以m的最大值为. 考点2　三角函数图象的变换 【例2】 (1)(2025·辽宁抚顺期末)先将函数f(x)＝sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，g(x)图象的一条对称轴的方程为____________________． (2)(2024·安康模拟预测)将函数f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若函数φ(x)＝在(－∞，3π]上有5个零点，则ω的取值范围是(　　) A．[，) B．(，] C．[，) D．(，] 解析：(1)x＝(答案不唯一，满足x＝＋，k∈Z均可) 先将函数f(x)＝sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x，向左平移个单位长度得到g(x)＝sin (2x＋)， 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，可取k＝0，则x＝. (2)A　将函数f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (x＋)，再将函数y＝sin (x＋)的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝sin (ωx＋). φ(x)＝ 因为当x≤0时，φ(x)＝x2＋2x有2个零点，所以要使φ(x)在(－∞，3π]上有5个零点，则需g(x)在(0，3π]上有3个零点． (方法1)令sin (ωx＋)＝0，则ωx＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，当k＝1，2，3时，分别对应3个零点，则解得≤ω<.故选A. (方法2)因为x∈(0，3π]，所以ωx＋∈(，3ωπ＋]，所以3π≤3ωπ＋<4π，则≤ω<.故选A. 参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 ①φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响 ②ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响 ③A(A>0)对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 变式探究 3.为了得到函数f(x)＝sin (2x－)的图象，只需要把函数y＝sin x图象(　　) A．先将橫坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 C．先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) D．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) 解析：B　为了得到函数f(x)＝sin (2x－)的图象，只需要把函数y＝sin x图象先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，C、D错误；也可以先将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，A错误，B正确．故选B. 4.(2024·榆林三模)将函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于x＝对称，则实数ω的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：C　由函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)＝cos [ω(x＋)＋]＝cos (ωx＋＋)， 因为g(x)的图象关于x＝对称， 所以ω×＋＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－，k∈Z，因为ω>0，所以当k＝1时，ω取得最小值，最小值为.故选C. 5.(多选)(2024·天津红桥一模)将函数f(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<)的部分图象(如图所示).对于∀x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若g(x1)＝g(x2)，都有g(x1＋x2)＝成立，则下列结论中正确的是(　　)　　 A．g(x)＝sin (2x＋) B．f(x)＝sin (4x－) C．g(x)在[π，]上单调递增 D．函数f(x)在[0，]的零点为x1，x2，…，xn，则x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn＝ 解析：ABD　对于A，由题意可知函数g(x)的图象在区间[a，b]上的对称轴为x＝， 则x＝0与x＝x1＋x2关于x＝对称，又g(x1＋x2)＝，结合图象可得g(0)＝g(x1＋x2)＝，所以sin φ＝，又0<φ<，所以φ＝， 所以g(x)＝sin (2x＋)，A正确； 对于B，g(x)＝sin (2x＋)向右平移个单位长度得到函数y＝sin (2x－)的图象， 再将其横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到f(x)＝sin (4x－)的图象，B正确； 对于C，由x∈[π，]，得2x＋∈[，]，所以g(x)在[π，]上不单调，C错误； 对于D，令t＝4x－，则t∈[－，5π]， 函数y＝sin t在[－，5π]上有t1，t2，t3，t4，t5，t6(t1<t2<t3<t4<t5<t6)6个零点， 则t1＋t2＝π，t2＋t3＝3π，t3＋t4＝5π，t4＋t5＝7π，t5＋t6＝9π， 故t1＋2t2＋2t3＋2t4＋2t5＋t6＝4(x1＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6)－10×＝25π， 所以x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn＝π，D正确．故选ABD. 考点3　三角函数图象与性质的实际应用 【例3】 (1)将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．如图所示，已知一根长为l cm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝2cos 2t，其中g≈980 cm/s2，π≈3，则估计线的长度应当是(精确到0.1 cm)(　　) A．15.4 cm B．16.4 cm C．17.4 cm D．18.4 cm (2)《欢乐颂》是音乐家贝多芬谱曲的重要作品之一．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y＝4sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象上，且图象过点(，2)，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则下列选项中是函数的单调递增区间的是(　　) A．[－，－] B．[，] C．[，] D．[，] 解析：(1)C　由s＝2cos 2t，得T＝＝.由函数的图象可知函数的周期为0.4，所以＝0.4，即l＝≈≈17.4(cm).故选C. (2)B　因为相邻最大值与最小值之间的水平距离为，所以T＝，则T＝π，所以ω＝＝2，即y＝4sin (2x＋φ)， 又图象过点(，2)，则sin (2×＋φ)＝， 因为|φ|<，所以φ＋＝， 所以φ＝，即y＝4sin (2x＋). 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. 因为[，]⊆[－＋kπ，＋kπ]， 所以[，]是函数的单调递增区间．故选B. 三角函数模型在实际应用中体现在两个方面 (1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则； (2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模． 变式探究 6.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝2sin (ωt＋φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(－2<s0<2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3－t1＝2，则ω＝(　　) A． B．π C． D．2π 解析：B　由正弦型函数的性质，得函数示意图如下： 所以T＝t3－t1＝2，则＝2，可得ω＝π.故选B. 7.如图，某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[－，])来刻画． t 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 y －20.0 －10.1 10.3 20.0 10.3 －10.1 －20.0 则位移y关于时间t的函数关系式为　　　　　　　　　　　　　；在理想状态下，经过10 s，该弹簧振子的位移是　　　　　，路程是　　　　　　(精确到0.1). 解析：y＝20sin (t－)　10 mm　1333.3 mm 由数据表可知，A＝20，振子的周期为0.60 s， 所以T＝＝0.6，解得ω＝. 所以y＝20sin (t＋φ)， 因为t＝0时，y＝－20.0， 所以sin φ＝－1，φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为φ∈[－，]，所以φ＝－. 所以位移y关于时间t的函数解析式为 y＝20sin (t－). 当t＝10时，y＝20sin (－) ＝－20cos ＝－20cos (33π＋) ＝20cos ＝10， 所以该弹簧振子的位移是10 mm. 因为10 s内，该弹簧振子经过了＝个周期， 所以该弹簧振子经过的路程为 20×4×＝≈1333.3(mm). 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质 课前必备知识 课标要求 1.结合具体实例，了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，了解A，ω，φ的物理意义.2.会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，了解A，ω，φ的变化对函数图象的影响．3.掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)与y＝sin x图象间的变换关系.4.会由函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象或图象性质特征求函数的解析式． 知识梳理 1．y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))的物理意义 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A叫做__振幅__，T＝叫做__周期__，f＝叫做__频率__，ωx＋φ叫做__相位__，φ叫做__初相__． 2．用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象 (1)列表． x － ωx＋φ 0 π 2π y 0 A 0 －A 0 (2)描点作图． 3．用“变换法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象 用“变换法”作y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，有如下两种方案： 常用结论 1．由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象变换：向左平移个单位长度(而非φ个单位长度). 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． 课前训练 1．(教材母题必修复习参考题5T10改编)函数y＝2sin (2x－)的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，，－ B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－ 2．(教材母题必修5.6练习T2改编)将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图象对应的函数为(　　) A．y＝3sin x B．y＝sin x C．y＝sin 3x D．y＝sin x 3．(2025·浙江金华高三阶段考)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝cos (2x＋) B．g(x)＝cos (2x－) C．g(x)＝cos (2x＋) D．g(x)＝cos (2x－) 4．(教材母题必修习题5.6T4)函数y＝A sin (ωx－φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则其解析式为(　　) A.y＝2sin (2x－) B．y＝2sin (2x－) C．y＝2sin (x－) D．y＝sin (2x－) 5．如图，一根长l(单位：cm)的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系可近似地表示为s＝3cos (t＋)，t∈[0，＋∞)，其中g＝1000 cm/s2，π＝3.14.当t＝0时，小钢球离开平衡位置的位移s是______cm；要使小钢球摆动的周期是1 s，则线的长度l应该为________cm(精确到0.1 cm) 课堂核心考点 考点1　三角函数的图象及性质 【例1】 已知函数f(x)＝2sin (2x＋). (1)利用“五点法”完成下面表格，并画出f(x)在区间[0，π]上的图象； 2x＋ π 2π x 0 π f(x) (2)解不等式f(x)≥. (1)三角函数的作图的三个主要步骤是列表、描点、连线，关键是五个点的选取． (2)y＝A sin (ωx＋φ)有无数条对称轴，它们垂直于x轴且分别过图象的最高点或最低点；有无数个对称中心，它们是图象与x轴的交点． (3)由图象求解析式，要注意数形结合，要注意它和“五点法”作图的联系． 根据图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π)的解析式的方法与步骤： ①求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝. ②求ω，确定函数的最小正周期T，则ω＝. ③求φ，常用方法如下： (ⅰ)五点法：注意找准“五点法”中相应的点，如图象中离原点最近的右侧上升(或下降)部分与x轴相应交点的横坐标为x0，则可令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π). (ⅱ)代入法：将已知点的坐标代入解析式，再结合图象和φ的取值范围解出φ. 变式探究 1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝____________． 2．(2024·吉林长春模拟预测)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示． 则f(x)的解析式为____________________________；设g(x)＝f(2x)，若函数g(x)在区间[0，m]上单调递增，则实数m的最大值为________． 考点2　三角函数图象的变换 【例2】 (1)(2025·辽宁抚顺期末)先将函数f(x)＝sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，g(x)图象的一条对称轴的方程为____________________． (2)(2024·安康模拟预测)将函数f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若函数φ(x)＝在(－∞，3π]上有5个零点，则ω的取值范围是(　　) A．[，) B．(，] C．[，) D．(，] 变式探究 3.为了得到函数f(x)＝sin (2x－)的图象，只需要把函数y＝sin x图象(　　) A．先将橫坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 C．先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) D．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) 4.(2024·榆林三模)将函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于x＝对称，则实数ω的最小值为(　　) A． B． C． D． 5.(多选)(2024·天津红桥一模)将函数f(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<)的部分图象(如图所示).对于∀x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若g(x1)＝g(x2)，都有g(x1＋x2)＝成立，则下列结论中正确的是(　　)　　 A．g(x)＝sin (2x＋) B．f(x)＝sin (4x－) C．g(x)在[π，]上单调递增 D．函数f(x)在[0，]的零点为x1，x2，…，xn，则x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn＝ 考点3　三角函数图象与性质的实际应用 【例3】 (1)将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．如图所示，已知一根长为l cm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝2cos 2t，其中g≈980 cm/s2，π≈3，则估计线的长度应当是(精确到0.1 cm)(　　) A．15.4 cm B．16.4 cm C．17.4 cm D．18.4 cm (2)《欢乐颂》是音乐家贝多芬谱曲的重要作品之一．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y＝4sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象上，且图象过点(，2)，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则下列选项中是函数的单调递增区间的是(　　) A．[－，－] B．[，] C．[，] D．[，] 三角函数模型在实际应用中体现在两个方面 (1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则； (2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模． 变式探究 6.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝2sin (ωt＋φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(－2<s0<2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3－t1＝2，则ω＝(　　) A． B．π C． D．2π 7.如图，某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[－，])来刻画． t 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 y －20.0 －10.1 10.3 20.0 10.3 －10.1 －20.0 则位移y关于时间t的函数关系式为　　　　　　　　　　　　　；在理想状态下，经过10 s，该弹簧振子的位移是　　　　　，路程是　　　　　　(精确到0.1). 学科网（北京）股份有限公司 $