任意角的三角函数讲义-2026届高三数学一轮复习

任意角的三角函数 课前必备知识 课标要求 　1.了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化．2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的象限符号规律及三角函数的定义域.3.掌握扇形的弧长公式及面积公式． 知识梳理 1．角的概念 (1)任意角：角可以看成一条射线绕它的端点旋转所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的__始边__，射线的端点O叫做角的__顶点__．一条射线绕其端点按__逆__时针方向旋转形成的角叫做正角，按__顺__时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个__零__角． (2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与__原点__重合，角的始边与__x轴的非负半轴__重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}__或__S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}__，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于__半径__长的圆弧所对的__圆心角__叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__弧度制__． 正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度数是__0__． (2)角度与弧度的换算：180°＝__π__rad， 1°＝____rad，1 rad＝__()°__． (3)扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝__αR__，S＝__lR__． 3．任意角的三角函数 设α是任意一个角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么，sin α＝__y__；cos α＝__x__；tan α＝____(x≠0). 常用结论 1．任意角的三角函数(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么，sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 2．三角函数值的符号规律 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ tan α ＋ － ＋ － 　　可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 课前训练 1．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z，α∈[0°，360°))的形式是(　　) A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360° C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360° 解析：B　由α∈[0°，360°]知－885°＝195°－1080°＝195°＋(－3)×360°.故选B. 2．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：D　依题意，得P(－，)，根据三角函数的定义，得cos α＝－.故选D. 3．(教材母题必修5.2.1练习T4)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α的终边在第三象限．故选C. 4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________． 解析：{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z} 观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}． 5．(教材母题必修习题5.1T9)已知扇形的圆心角为，圆心角所对的弧长为，则该扇形的面积为________． 解析：　设扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，面积为S. 由弧长公式l＝αr，可知＝r，解得r＝4， 所以扇形的面积S＝××4＝. 课堂核心考点 考点1　任意角及其表示 【例1】 (1)(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　) A．α＋β＝180° B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z) (2)设角α是第三象限角，且|sin |＝－sin ，则角是第________象限角． 解析：(1)AD　假设α，β为0°～180°内的角，如图所示． 因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件； 结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°(k∈Z)，所以D满足条件，B、C都不满足条件．故选AD. (2)四　由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋<<kπ＋(k∈Z)， 所以是第二或第四象限角． 再由|sin |＝－sin 知sin <0， 所以只能是第四象限角． (1)正确理解任意角的概念，既要考虑大小，还要考虑方向． (2)正确理解象限角的概念，特别注意当终边落在坐标轴上时，这样的角是非象限角． (3)α所在象限与所在象限的关系： 当α属于第一、第二象限时，属于第一或第三象限； 当α属于第三、第四象限时，属于第二或第四象限． 变式探究 1．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 解析：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z} 30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}， 180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为 S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}， 因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为 {α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 2．(2025·广东佛山一模)若点A(cos θ，sin θ)关于原点对称的点为B(cos (－θ)，sin (－θ))，则θ的一个取值为__________． 解析：(答案不唯一，θ＝＋kπ，k∈Z均可) 因为A(cos θ，sin θ)和B(cos (－θ)，sin (－θ))关于原点对称． 所以θ与－θ的终边在一条直线上． 即θ＝－θ＋(2k＋1)π，k∈Z，所以θ＝＋kπ，k∈Z. 令k＝0得θ＝. 考点2　弧度制的应用 【例2】 (1)(2024·湖南一模)出土于鲁国故城遗址的“战国出廓双龙勾云纹玉璜”(图1)的璜身雕刻勾云纹，体扁平，呈扇面状．出廓透身外耧雕“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm.若sin 37°≈，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为(　　) A．6.8 cm2 B．9.8 cm2 C．14.8 cm2 D．22.4 cm2 (2)(2025·上海宝山模拟)如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点P(x，y)(y>0).设A(1，0)，点B是P关于原点O的对称点，分别连接PA，PB，AB，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：(1)C　显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB＝5 cm，AB＝8 cm， 则cos ∠OAB＝＝， sin ∠OAB＝，又sin 37°≈， 所以∠OAB≈37°， 于是∠AOB＝180°－2×37°＝106°＝， 所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2－OD2)＝××(52－32)≈14.8(cm2).故选C. (2)C　设射线OP对应的角为θ且θ∈(0，π)， 故区域Ⅰ的面积为2××1×1×sin θ＝sin θ， 区域Ⅱ的面积为×θ×12－×1×1×sin θ＝－sin θ， 区域Ⅲ的面积为×(π－θ)×12－×1×1×sin (π－θ)＝－sin θ. 由题设有sin θ＝－sin θ＋－sin θ， 整理得sin θ＝，因为θ∈(0，π)， 故此时θ仅有两解，故选C. 在解决扇形问题时要注意： (1)扇形的圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：|α|＝. (2)扇形的面积S与圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：S＝πr2＝lr. (3)扇形的周长为C＝2r＋l. 变式探究 3．已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R.若α＝60°，R＝10 cm，则扇形的弧长l为________cm.若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为________弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是________cm2. 解析：　2　25 因为α＝60°＝rad， 所以l＝αR＝×10＝(cm). 由已知得，l＋2R＝20(cm)， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2. 4．设圆O的半径为2，点P为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD(实线所示，正方形的顶点A与点P重合，点B在圆周上).现将正方形ABCD沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A首次回到点P的位置时，点A所走过的路径的长度为(　　)　　 A．(1－2)π B．(2＋)π C．4π D．(3＋)π 解析：B　由图可知，圆O的半径为r＝2，正方形ABCD的边长为a＝2， 以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序如图所示， 当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈，共12次． 设第i次滚动时，点A的路程为mi， 则m1＝×|AB|＝，m2＝×|AC|＝π， m3＝×|AD|＝，m4＝0， 因此，点A所走过的路程为3(m1＋m2＋m3＋m4)＝(2＋)π.故选B. 考点3　任意角的三角函数 【例3】 (1)已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，则tan α＝_____________. (2)(2025·河南一模)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有(　　) A．sin α＝－ B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝± D．tan α＝±1 解析：(1)±　因为P(x，－)(x≠0)， 所以点P到原点的距离r＝. 又cos α＝x，所以cos α＝＝x. 因为x≠0，所以x＝±， 所以r＝2. 当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数的定义，有sin α＝－，tan α＝＝－； 当x＝－时，同理可求得tan α＝. (2)C　因为角α的终边落在直线y＝x上，故α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z. 对于A，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＝，A错误； 对于B，当α＝＋2kπ，k∈Z时，cos α＝－，B错误； 对于C，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＝，cos α＝，则sin α＋cos α＝，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＝－，cos α＝－，则sin α＋cos α＝－，C正确； 对于D，当α＝＋2kπ，k∈Z时，tan α＝1；当α＝＋2kπ，k∈Z时，tan α＝1.D错误．故选C. (1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用单位圆进行定义，其二是利用角的终边上一点的坐标进行定义． (2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论． (3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方向． 变式探究 5．已知角α的终边上一点P的坐标为(sin ，cos )，则角α的最小正值为(　　) A． B． C． D． 解析：D　因为sin >0，cos <0， 所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知sin α＝cos ＝－， 故角α的最小正值为α＝2π－＝.故选D. 6．已知角θ的终边经过点P(sin 84°，cos 84°)，则cos (θ＋24°)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：B　r＝＝1，sinθ＝cos 84°，cos θ＝sin 84°，cos (θ＋24°)＝sin 84°cos 24°－cos 84°sin 24°＝sin 60°＝.故选B. 7．在平面直角坐标系中，点P在射线y＝x(x>0)上，点Q在过原点且倾斜角为θ(θ为锐角)的直线上．若∠POQ＝，则tan θ＝________. 解析：　设射线y＝x(x>0)的倾斜角为θ1，且<θ1<，tan θ1＝， 由题意可得θ＝θ1－， 所以tan θ＝tan (θ1－)＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 任意角的三角函数 课前必备知识 课标要求 　1.了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化．2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的象限符号规律及三角函数的定义域.3.掌握扇形的弧长公式及面积公式． 知识梳理 1．角的概念 (1)任意角：角可以看成一条射线绕它的端点旋转所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的__始边__，射线的端点O叫做角的__顶点__．一条射线绕其端点按__逆__时针方向旋转形成的角叫做正角，按__顺__时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个__零__角． (2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与__原点__重合，角的始边与__x轴的非负半轴__重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}__或__S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}__，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于__半径__长的圆弧所对的__圆心角__叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__弧度制__． 正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度数是__0__． (2)角度与弧度的换算：180°＝__π__rad， 1°＝____rad，1 rad＝__()°__． (3)扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝__αR__，S＝__lR__． 3．任意角的三角函数 设α是任意一个角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么，sin α＝__y__；cos α＝__x__；tan α＝____(x≠0). 常用结论 1．任意角的三角函数(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么，sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 2．三角函数值的符号规律 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ tan α ＋ － ＋ － 　　可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 课前训练 1．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z，α∈[0°，360°))的形式是(　　) A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360° C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360° 2．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 3．(教材母题必修5.2.1练习T4)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________． 观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}． 5．(教材母题必修习题5.1T9)已知扇形的圆心角为，圆心角所对的弧长为，则该扇形的面积为________． 课堂核心考点 考点1　任意角及其表示 【例1】 (1)(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　) A．α＋β＝180° B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z) (2)设角α是第三象限角，且|sin |＝－sin ，则角是第________象限角． (1)正确理解任意角的概念，既要考虑大小，还要考虑方向． (2)正确理解象限角的概念，特别注意当终边落在坐标轴上时，这样的角是非象限角． (3)α所在象限与所在象限的关系： 当α属于第一、第二象限时，属于第一或第三象限； 当α属于第三、第四象限时，属于第二或第四象限． 变式探究 1．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 2．(2025·广东佛山一模)若点A(cos θ，sin θ)关于原点对称的点为B(cos (－θ)，sin (－θ))，则θ的一个取值为__________． 考点2　弧度制的应用 【例2】 (1)(2024·湖南一模)出土于鲁国故城遗址的“战国出廓双龙勾云纹玉璜”(图1)的璜身雕刻勾云纹，体扁平，呈扇面状．出廓透身外耧雕“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm.若sin 37°≈，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为(　　) A．6.8 cm2 B．9.8 cm2 C．14.8 cm2 D．22.4 cm2 (2)(2025上海宝山模拟)如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点P(x，y)(y>0).设A(1，0)，点B是P关于原点O的对称点，分别连接PA，PB，AB，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 在解决扇形问题时要注意： (1)扇形的圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：|α|＝. (2)扇形的面积S与圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：S＝πr2＝lr. (3)扇形的周长为C＝2r＋l. 变式探究 3．已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R.若α＝60°，R＝10 cm，则扇形的弧长l为________cm.若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为________弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是________cm2. 4．设圆O的半径为2，点P为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD(实线所示，正方形的顶点A与点P重合，点B在圆周上).现将正方形ABCD沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A首次回到点P的位置时，点A所走过的路径的长度为(　　)　　 A．(1－2)π B．(2＋)π C．4π D．(3＋)π 考点3　任意角的三角函数 【例3】 (1)已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，则tan α＝_____________. (2)(2025·河南一模)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有(　　) A．sin α＝－ B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝± D．tan α＝±1 (1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用单位圆进行定义，其二是利用角的终边上一点的坐标进行定义． (2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论． (3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方向． 变式探究 5．已知角α的终边上一点P的坐标为(sin ，cos )，则角α的最小正值为(　　) A． B． C． D． 6．已知角θ的终边经过点P(sin 84°，cos 84°)，则cos (θ＋24°)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 7．在平面直角坐标系中，点P在射线y＝x(x>0)上，点Q在过原点且倾斜角为θ(θ为锐角)的直线上．若∠POQ＝，则tan θ＝________. 学科网（北京）股份有限公司 $