精品解析：陕西省西安市铁一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

数学学科试题 一、选择题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 6 3. 在一个不透明的袋子里有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复这一过程．小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球的个数大约是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，点E是边上的一点，，连接，于点M，于点N，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 若，则的值为 ________． 10. 同一时刻，高为的小明的影长为，烟囱的影长为，则这座烟囱的高为___________ 11. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段的黄金分割点（）则有 已知 厘米， 那么________厘米． 12. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为________． 13. 如图，在正方形中，，点为边上一点，连接，过点在的下方作，且，连接线段、，若，则的长为___________ 三、解答题 14. 计算：． 15. 化简：． 16. 解方程： （1） （2）． 17. 已知，与位似（点分别对应点），原点为位似中心；位似比为，点的坐标分别为． （1）若位似比，请你在轴右侧画出． （2）若位似比，则___________． 18. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）证明四边形是菱形． 19. 2025年10月底，我国将执行神舟二十一号载人飞行任务，在此期间“80后”、“90后”、“00后”科研人员共同协作，为航天事业添砖加瓦，为了普及航天科学的相关知识，某校在全校范围内开展了“探索宇宙，放飞梦想”知识竞赛活动，张敏和李华两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学了解航天知识，学校打算邀请这两名同学分别从太空望远镜、宇航员、人造卫星、航天飞船（依次用表示）四个方面任选一个整理自己对其了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个方面的可能性均相同） （1）李华同学选择“宇航员”的概率为_________； （2）请用列表或画树状图的方法，求张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率． 20. 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？ 21. 如图所示，在平行四边形中，过点向边作垂线，垂足为点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0， （1）当k为何值时，方程有实数根； （2）设x1，x2是方程的两个实数根，且x12+x22＝4，求k的值． 23. 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计） 24. 在中，，，，点在线段上，且．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． 初步感知： （1）如图1，当点，分别在，上时，则________； 深入探究： （2）如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由： ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 附加题： 25. 如图，、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，连接，分别交、、于点、、．则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 26. 如图，在矩形中，，点、、、分别是边、、、的中点，分别连接、、、得到新的四边形，则四边形的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 27. 如图，在菱形中，、分别为边、所在直线上的动点，且，若，，则的最小值为___________． 28. 如图，正方形中，、分别在、上，，连接、，分别交于点，若，，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科试题 一、选择题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．不是一元二次方程，不符合题意； D．化简后为，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由，可得，结合已知，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 3. 在一个不透明的袋子里有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复这一过程．小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球的个数大约是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法；根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，可得摸到红球的概率约为 ，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数． 【详解】解：∵小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右， ∴从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率约为 ， ∴袋子里红球的个数估计是（个）． 故选：C． 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加，不能判断平行四边形为矩形，不符合题意； 添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； 添加则，可判断平行四边形为矩形，符合题意； 添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； 故选：． 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式大于 0 ，即可求解本题． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得： ， 综上，且， 故选：B． 6. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得． 【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 7. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 8. 如图，在正方形中，，点E是边上的一点，，连接，于点M，于点N，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，证明，求出的长，进而求出的长，再用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题 9. 若，则的值为 ________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据题意设，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∴． 故答案为：2.5． 10. 同一时刻，高为的小明的影长为，烟囱的影长为，则这座烟囱的高为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据在同一时刻，物体的高度和影长成正比，设出烟囱高度即可列方程解答． 【详解】解：设烟囱高度为， 列方程得：， 解得： ， 故烟囱的高度为． 故答案为：． 11. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段的黄金分割点（）则有 已知 厘米， 那么________厘米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，根据五角星是正五角星得到，再代入式子中计算即可． 【详解】解：∵五角星是正五角星 ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：2． 12. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长，即可得到． 【详解】解：， ， 四边形是菱形， ，，， （直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ，， 由得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是先求得的长． 13. 如图，在正方形中，，点为边上一点，连接，过点在的下方作，且，连接线段、，若，则的长为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】过点F分别作交的延长线于点 交的延长线于点H，则四边形为矩形，故，证明 ，得出 ，设，则，， ，根据 ，得出 ，解方程即可求出． 【详解】解：过点F分别作交的延长线于点 交的延长线于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 设，则， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， 解得（负值舍去）， 即． 故答案为：． 【点睛】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 三、解答题 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、负整数指数幂与零指数幂． 先化简绝对值，计算负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 15. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简． 先通分，再计算括号里的减法，进而根据平方差公式和完全平方公式化简，最后计算即可． 【详解】解： 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）移项，用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴，． 17. 已知，与位似（点分别对应点），原点为位似中心；位似比为，点的坐标分别为． （1）若位似比，请你在轴右侧画出． （2）若位似比，则___________． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质解题的关键． （1）将点的横纵坐标都乘以得到的坐标，再顺次连接即可． （2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∵位似比， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）证明四边形是菱形． 【答案】（1）证明：， 是的中点， 在与中， （2）证明：由（1）可知，， 是的中点， 四边形是平行四边形， 又为直角三角形，D是的中点， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可； （2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 2025年10月底，我国将执行神舟二十一号载人飞行任务，在此期间“80后”、“90后”、“00后”科研人员共同协作，为航天事业添砖加瓦，为了普及航天科学的相关知识，某校在全校范围内开展了“探索宇宙，放飞梦想”知识竞赛活动，张敏和李华两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学了解航天知识，学校打算邀请这两名同学分别从太空望远镜、宇航员、人造卫星、航天飞船（依次用表示）四个方面任选一个整理自己对其了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个方面的可能性均相同） （1）李华同学选择“宇航员”的概率为_________； （2）请用列表或画树状图的方法，求张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率． 【答案】（1） （2）张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中李华同学选择“宇航员”的结果有种，结合概率公式，即可得李华同学选择“宇航员”的概率； （2）列表可得出所有等可能的结果，以及张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的结果，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中李华同学选择“宇航员”的结果有种， ∴李华同学选择“宇航员”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有种等可能得结果，其中张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的结果有：、、、、、、，共种， ∴张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率为． 20. 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？ 【答案】每张贺年卡应降价0.1元 【解析】 【分析】由题意可知：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=180，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出200x÷0.05＝4000x张． （0.3﹣x）（500+4000x）＝180， 整理得400x2﹣70x+3＝0， （40x﹣3）（10x﹣1）＝0， 解得x1＝，x2＝0.1， ∵为了尽快减少库存， ∴x＝0.1． 答：每张贺年卡应降价0.1元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键． 21. 如图所示，在平行四边形中，过点向边作垂线，垂足为点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）由平行线的性质可得，，由平角的性质可证，即可求证； （）由勾股定理求出，由相似三角形的性质得到，代入已知条件即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，补角性质，勾股定理，灵活运用这些性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0， （1）当k为何值时，方程有实数根； （2）设x1，x2是方程的两个实数根，且x12+x22＝4，求k的值． 【答案】（1）当k≤时，方程有实数根；（2）k＝0． 【解析】 【分析】（1）要使方程有实数根，必须△≥0，即4（k﹣1）2﹣4k2≥0；（2）由韦达定理得，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2，故x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2. 【详解】解：（1）要使方程有实数根，必须△≥0 即4（k﹣1）2﹣4k2≥0 解得k≤，∴当k≤时，方程有实数根． （2）由韦达定理得，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2 ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝4（k﹣1）2﹣2k2 ＝2k2﹣8k+4， ∵x12+x22＝4， ∴2k2﹣8k+4＝4 解得k1＝0，k2＝4， 由（1）知k≤，∴k＝4不合题意， ∴k＝0． 【点睛】熟记一元二次方程根判别式和根与系数的关系. 23. 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计） 【答案】这棵古树的高AB为18m． 【解析】 【分析】如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5，继而可得AB＝BD＋0.5，再证明△EFG∽△ABC，根据相似三角形的性质得，即，由此求得BD长，即可求得AB长. 【详解】如图，过点C作CH⊥AB于点H， 则CH＝BD，BH＝CD＝0.5， 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴AH＝CH＝BD， ∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5， ∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG＝∠ABG＝90°， 由题意，易知∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG， ∴，即， 解得：BD＝17.5， ∴AB=17.5＋0.5＝18(m)， ∴这棵古树的高AB为18m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 24. 在中，，，，点在线段上，且．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． 初步感知： （1）如图1，当点，分别在，上时，则________； 深入探究： （2）如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由： ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1） （2）解：（1）中的结论仍然成立， 证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 当四边形的面积最小时，线段的长为． 【解析】 【分析】（1）由已知结合对顶角相等，可证明，可得，由线段之间的关系，可得，，即可得； （2）由已知结合旋转的性质，可证明，可得，证明，可得，从而可得；设，可得，，，可得，由勾股定理可得，，作于点，于点，，由两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的面积最小，根据勾股定理可得，结合相似比，即可得线段的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）略 设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， 作于点，于点， ， ∵， ∴， 当点、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的面积最小， ∵，，，于点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当四边形的面积最小时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，图形的面积，旋转的性质． 附加题： 25. 如图，、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，连接，分别交、、于点、、．则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点 作 于点 ，如图，根据 是三个全等的等腰三角形，得出，，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，，则，，证明，得出，根据，得出，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：过点 作 于点 ，如图， ∵ 是三个全等的等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】该题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识点，解题的关键是利用平行线分线段成比例解答． 26. 如图，在矩形中，，点、、、分别是边、、、的中点，分别连接、、、得到新的四边形，则四边形的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，采取割补法，将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形，并找到矩形的面积与个小平行四边形面积的关系，即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 同理可得，四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的中点，， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， 同理可得，，，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，解决本题的关键是要利用矩形的性质，作出图形中的辅助线构造全等三角形，并找出矩形和平行四边形的面积之间的关系． 27. 如图，在菱形中，、分别为边、所在直线上的动点，且，若，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先构造，再说明，可得，然后根据菱形的性质可得是等边三角形，接下来根据勾股定理得，即可得，再根据三角形三边关系可知的最小值为，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】解：作，使，连接，交于点O， ∴， ∴， ∴， 即. ∵四边形是菱形， ∴， ∴. ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴. 根据勾股定理，得，则. 根据三角形三边关系，可得， ∴的最小值为. 在中，. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的三边关系，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键. 28. 如图，正方形中，、分别在、上，，连接、，分别交于点，若，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，过点作，根据，求出，根据四边形是正方形，得出，从而得 ，勾股定理求出，结合，求出，证明，得出，求出，，证明，得出，得出，即可求出，解答即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，二次根式的混合运算等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $