精品解析：湖北省十堰市东风高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

东风高中2025级高一上学期十月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3. 武当山是我国著名的道教圣地、世界文化遗产，有不少令人向往的景点.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过金顶、紫霄宫、太子坡三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过金顶：乙说：我没去过紫霄宫：丙说：我们三个人去过同一个景点、则乙一定去过的景点是（ ） A. 金顶 B. 紫霄宫 C. 太子坡 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析结合集合的交集思想即可求解. 【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过金顶或太子坡， 再由甲说的，可以推出甲去过紫霄宫和太子坡，则乙只能去过金顶和太子坡中的一个， 再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过太子坡. 故选：C 4. 下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （ ） A. ， B. 有的矩形不是平行四边形 C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 6. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案 【详解】解：因为，， 所以， ∴， 故选：A 7. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质直接可得取值范围. 【详解】由已知， 又，， 则，， 所以， 即， 故选：D. 8. 已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆 ①A1∩A2=0 ②A1A2=U ③的元素个数不是中的元素. 则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】由真分拆的定义及规定即可求解. 【详解】解：由题意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有； ；；；，共5种， 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 当时，， B. ，， C. 若，则 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】A、C选项可以举反例排除，B选项配方可以求解，D选项根据充分必要条件的概念判断即可. 【详解】A选项，由二次函数性质可知，当时不成立，故A选项错误； B选项，，由于完全平方非负，则，故B选项正确； C选项，时不成立，故C选项错误； D选项，“”可以推出“”，“”推不出“”，故“”是“”的必要不充分条件,故D选项正确； 故选：BD. 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值4 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A的正误，利用A的结果可判断BC的正误，利用反例可判断D是错误的，故可得正确的选项. 【详解】因为正实数a，b满足，所以， 所以，故当且仅当时等号成立， 故有最大值，A正确； 由A可得， 当且仅当时等号成立，故有最大值，B正确； ，当且仅当时等号成立， 故有最小值4，C正确； 取，此时，所以的最小值不是， 故D错误， 故选：ABC.. 11. 设集合X是实数集R的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合X的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（ ） A. B. C. D. 整数集Z 【答案】AC 【解析】 【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断. 【详解】A.因为集合中的元素是极限为0的数列，所以对于任意，都存在，使得成立，所以0为集合的聚点，故正确； B. 因为集合中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项都至少比0大，所以对于时，不存在满足的x，所以0不为集合的聚点，故错误； C. 对任意，都存在，使得成立，那所以0为集合的聚点，故正确； D. 对任意，如，对任意的整数，都有或成立，不可能有成立，所以0不是集合整数集Z 的聚点，故错误； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可. 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. 13. 设集合，则集合的子集个数为________ 【答案】16 【解析】 【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解. 【详解】解：， 故A的子集个数为， 故答案为：16 14. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式恒成立， 所以， 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号是成立的， 所以，所以，即， 解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）由得，然后分类和求解． 【详解】（1）当时，中不等式为，即， ∴或，则 （2）∵，∴， ①当时，，即，此时； ②当时，，即，此时. 综上的取值范围为. 16. 设函数 （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，求以下两个问题： ①若，，求的最小值： ②若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①9；② 【解析】 【分析】（1）利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可； （2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把转化为在R上恒成立，利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 若不等式的解集为， 则， 所以. 解得. 【小问2详解】 若， ①，，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为9. ②在R上恒成立， 即在R上恒成立， 若 ，则z在上不恒成立，舍， 故， 解得： 故a的取值范围为. 17. 设. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，解关于的不等式； （3）若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） ，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案. （3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，由整理得，解得； 当时，由整理得， 即，解得； 当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 综上，，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 18. 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元 【解析】 【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可； （2）根据（1）中结论，再结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意知，当时，（万件）， 则，解得，∴， 所以每件产品的销售价格为（元）， ∴2020年的利润； 【小问2详解】 ∵当时，， ∴， 当且仅当即时等号成立． ∴， 即万元时，（万元）， 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 19. 集合，． （1）若，，求实数的值； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． （3）阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 【答案】（1）， （2） （3）因为是三角形的三边，所以，，， 由结论①可得， ， ， 由结论②可得，又， 所以， 故. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，列关系式，求， （2）由条件结合必要条件的定义可得，列不等式求的取值范围， （3）由三角形性质可得，，，结合结论①证明， ，，再利用结论②完成证明. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以， 【小问2详解】 因为是的必要条件， 所以，又，， 所以，， 所以， 所以的取值范围为， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东风高中2025级高一上学期十月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 3. 武当山是我国著名的道教圣地、世界文化遗产，有不少令人向往的景点.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过金顶、紫霄宫、太子坡三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过金顶：乙说：我没去过紫霄宫：丙说：我们三个人去过同一个景点、则乙一定去过的景点是（ ） A. 金顶 B. 紫霄宫 C. 太子坡 D. 不能确定 4. 下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （ ） A. ， B. 有的矩形不是平行四边形 C. ， D. ， 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆 ①A1∩A2=0 ②A1A2=U ③的元素个数不是中的元素. 则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 当时，， B. ，， C. 若，则 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值4 D. 有最小值 11. 设集合X是实数集R的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合X的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（ ） A. B. C. D. 整数集Z 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是______． 13. 设集合，则集合的子集个数为________ 14. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设函数 （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，求以下两个问题： ①若，，求的最小值： ②若在上恒成立，求实数的取值范围. 17. 设. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，解关于的不等式； （3）若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 18. 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 19. 集合，． （1）若，，求实数的值； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． （3）阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $