精品解析：江苏省扬州市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

初三素养体验活动 数学学科 （时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 9，5， B. 9，4， C. 9，，4 D. 9，，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【详解】解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程 的根的情况是 （ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先确定方程中、、的值，再计算根的判别式，根据与的大小关系来判断即可．本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式 及根据其值判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：方程中，，， ， 方程有两个不相等的实数根 故选：D ． 4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（　　） A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长． 【详解】x2-4x+3=0 (x−3)(x−1)=0， x−3=0或x−1=0， 所以x ₁=3,x ₂=1， 当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7， 当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为7． 故答案选B 5. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 6. 如图，，直线a，b与、、分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，，则的长是（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 7. 一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案． 【详解】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得： ， 即：， 故选：B． 8. 满足方程的整数对有（ ） A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对 【答案】C 【解析】 【分析】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解．利用一元二次方程有解判断出的范围，根据是整数求出的值，进而求出的值，利用也是整数判断即可得出结论． 【详解】解：原方程可化为， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，，0，1，2，3， 当时，原方程可化为， ∴； 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）； 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）； 当时，原方程可化为， ∴或； 当时，原方程可化为， ∴或； 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）； 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）； ∴原方程的整数解为：或或或或或， 即：方程的整数对为、、、、，共6对， 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 当m______时，关于x的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把方程转变为一般式：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 一元二次方程的两根是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的根据，根据可得，，即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故答案为：，． 11. 五边形五边形，相似比为，若，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵五边形五边形，相似比为， ∴， 又， ∴， 故答案为：8． 12. 一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不为，再由方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于． 【详解】解：因为是一元二次方程， 所以． 因为方程有两个不相等的实数根， 所以方程根的判别式，即 解得. 所以的取值范围为且． 13. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，所列方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1-x），第二次降价后的价格是560（1-x）2，据此列方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 由题意得：560（1-x）2=315， 故答案为560（1-x）2=315． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 14. 若是一元二次方程的解，则的值为____． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后利用整体代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为2028． 15. 若线段，且点C是的黄金分割点，且，则的长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵点C是的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置． 【详解】解：如图所示， 位似中心点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键． 17. 如图，中，在上，且，为的中点，的延长线交于F，那么的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．作平行于交于G，．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得；然后根据为的中点，可得，所以由等量代换证得结论． 【详解】解：如图，作交于G，则 ， ∵， ∴， 根据比例的性质得：， 又E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知是的中线，过点作交于点，连接交于点；过点作交于点，连接交于点；过点作交于点，…，如此继续，可以依次得到点，，…，和点，，…，．则______．（用含n的代数式表示） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的性质和判定，熟练掌握平行相似的判定是本题的关键．先根据平行相似证明，列比例式得：，再根据中点的定义得：，所以，同理可得：． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得： … ． 故答案是：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ， 或， ∴，． 20. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，则，代入计算即可得； （2）设，则，代入计算可求出k的值，从而可得a，b，c的值，代入计算即可得． 【小问1详解】 解：设，则， ． 【小问2详解】 设，则， ， ， 解得， ，， ． 21. 关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+1）=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知方程的判别式△>0，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范围； （2）在（1）中m的范围内可得m的最小整数，代入后再解方程即可. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+1）=0有两个不相等的实数根， ∴△=（﹣1）2+4（m+1）=5+4m＞0， ∴m＞﹣； （2）∵m为符合条件的最小整数，∴m=﹣1． ∴原方程变为x2﹣x=0， ∴x（x﹣1）=0， ∴x1=0，x2=1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元一次不等式的解法和一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键. 22. 如图，在四边形中，点E，F在边上，连接，. （1）求证； （2）若，，，则 . 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 即： ∵， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据得，结合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可证； （2）证即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，则 故答案为： 23. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出绕原点顺时针旋转得到的，点的坐标是___________； （2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是___________； （3）的面积是___________平方单位． 【答案】（1）如图，即为所求；点的坐标是， （2） 如图，即为所求；点的坐标是， （3）10 【解析】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键． （1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可； （3）利用等腰直角三角形的性质得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴的面积是：（平方单位）． 故答案为：10． 24. 某红色研学基地在网上进行宣传英雄人物的事迹，吸引了大批师生和社会爱国人士的关注．今年3月份新增10万人来此基地研学，今年5月份新增万人． （1）求3月份到5月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率； （2）如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该红色研学基地新增人数能达到20万人？ 【答案】（1） （2）7月 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—与增长率有关的问题，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据关系式：3月新增人数（增长率）=5月新增人数 ，表示出今年5月份新增人数，由此列出方程即可求解； （2）依次计算出6月、7月新增人数，即可作出判断． 【小问1详解】 解：设3月份到5月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去） 答：3月份到5月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：6月新增人数：（万人）， 7月新增人数：（万人）， 而， 答：7月该红色研学基地新增人数能达到20万人． 25. 某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）． （1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）； （2）求小明原来的速度． 【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s． 【解析】 【分析】（1）利用中心投影的定义作图； （2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=（4x﹣1.2）m，EG=3xm，BM=13.2﹣4x，由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，得到，即代入解方程即可． 【详解】解：（1）如图， （2）设小明原来的速度为xm/s， 则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x， ∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB， ∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB， ∴，， ∴，即， 解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解， ∴小明原来的速度为1.5m/s． 答：小明原来的速度为1.5m/s． 【点睛】本题考查相似三角形的应用以及中心投影，掌握中心投影的定义以及相似三角形的判定与性质是解题关键． 26. 在长方形中，，， 点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P， Q分别从A，B同时出发，当点 Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒（）． （1）用含t的代数式表示的长． ， ； （2）当t为何值时，的长度等于？ 【答案】（1）， （2）0或2 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由勾股定理得，，即， 解得，或， ∴当t为0或2时，的长度等于． 【点睛】本题考查了列代数式，勾股定理，解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 27. 把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：． 我们规定：一个整数能表示成（，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①13；②21；③29． 探究问题： （2）若（m，n为常数），求的值． （3）已知（a，b是整数，k是常数），当______时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． 拓展应用： （4）已知实数a，b满足，求的最小值 【答案】（1）①③；（2）；（3）36；（4）3 【解析】 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式子的平方和的形式即可求解； （4）根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）① ∴是“完美数”， ②， ∴不是“完美数”， ③， ∴是“完美数”； （2）∵， ∴， ∴； （3） ∴当时，， 则 ∴当时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的一个动点，是线段的中点．把线段进行以为旋转中心、向顺时针方向旋转的旋转得到．过作轴的垂线、过点作轴的垂线，两直线交于点，直线交轴于一点．设点的横坐标为， （1）求证：； （2）若，则点的坐标为___________，若，则点的坐标为___________； （3）若的面积为，则为何值时，？ （4）是否存在，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）或 （3）为2或4或10时， （4）的值为或或或 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到； （2）首先由勾股定理求得线段的长，然后利用求得线段、的长，从而求得点的坐标； （3）分时和时，利用，根据相似比表示出点的坐标后，利用面积为6求得值即可； （4）分、、、，根据和两种情况得到比例式即可求得值． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：∵把线段进行以为旋转中心、向顺时针方向旋转的旋转得到，是线段的中点， ∴， ∵的坐标为，则， ∵或，则 ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 当时，， 当时， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①当时，如图： ∵是线段的中点． ∴． ∵，． ∴， ∴，． ∴； ∵． ∴, 解得：或， ②当时，如图， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，为2或4或10时，； 【小问4详解】 解：①当时，如图： 若， 则即， ∴无解； 若， 则，即， 解得：或(舍去)； ②当时，如图： 若， 则即， 解得：或(舍去)； 若， 则，即， 无解； ③当时，如图： 若， 则即， 解得：或(舍去)； 若， 则， 即， 无解； ④当时，如图， 若， 则即， 无解； 若， 则， 即， 解得：或(舍去)． 综上所述，的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三素养体验活动 数学学科 （时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 9，5， B. 9，4， C. 9，，4 D. 9，，5 3. 关于x的一元二次方程 的根的情况是 （ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（　　） A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 5. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 6. 如图，，直线a，b与、、分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，，则的长是（ ） A. B. C. 6 D. 10 7. 一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 满足方程的整数对有（ ） A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 当m______时，关于x的方程是一元二次方程． 10. 一元二次方程的两根是___________． 11. 五边形五边形，相似比为，若，则______． 12. 一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______． 13. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，所列方程是______． 14. 若是一元二次方程的解，则的值为____． 15. 若线段，且点C是的黄金分割点，且，则的长为____________. 16. 如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为______． 17. 如图，中，在上，且，为的中点，的延长线交于F，那么的值为______． 18. 如图，已知是的中线，过点作交于点，连接交于点；过点作交于点，连接交于点；过点作交于点，…，如此继续，可以依次得到点，，…，和点，，…，．则______．（用含n的代数式表示） 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2） 20. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 21. 关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+1）=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根． 22. 如图，在四边形中，点E，F在边上，连接，. （1）求证； （2）若，，，则 . 23. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出绕原点顺时针旋转得到的，点的坐标是___________； （2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是___________； （3）的面积是___________平方单位． 24. 某红色研学基地在网上进行宣传英雄人物的事迹，吸引了大批师生和社会爱国人士的关注．今年3月份新增10万人来此基地研学，今年5月份新增万人． （1）求3月份到5月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率； （2）如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该红色研学基地新增人数能达到20万人？ 25. 某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）． （1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）； （2）求小明原来的速度． 26. 在长方形中，，， 点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P， Q分别从A，B同时出发，当点 Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒（）． （1）用含t的代数式表示的长． ， ； （2）当t为何值时，的长度等于？ 27. 把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：． 我们规定：一个整数能表示成（，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①13；②21；③29． 探究问题： （2）若（m，n为常数），求的值． （3）已知（a，b是整数，k是常数），当______时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． 拓展应用： （4）已知实数a，b满足，求的最小值 28. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的一个动点，是线段的中点．把线段进行以为旋转中心、向顺时针方向旋转的旋转得到．过作轴的垂线、过点作轴的垂线，两直线交于点，直线交轴于一点．设点的横坐标为， （1）求证：； （2）若，则点的坐标为___________，若，则点的坐标为___________； （3）若的面积为，则为何值时，？ （4）是否存在，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $