精品解析：江西省上饶市横峰县横峰中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

横峰中学2025-2026学年度高一第一学期第一次月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈婷 审题人：元希婧 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的4个选项中只有一项符合题目要求． 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的结果求解并验证即得. 【详解】,则,解得. 当满足题意； 当,不满足集合元素互异性； 故. 故选：A. 2. 已知实数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作差比较法可得排除A，通过举反例排除C,D两项即得. 【详解】对于A，B，由可得， 则由可得，即A错误，B正确； 对于C, D,不妨取，满足，但，故 C, D均错误. 故选：B． 3. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由可知或. 故选：A 4. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定求得结果. 【详解】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反， 则命题的否定为“，”. 故选：C. 5. 已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值不可能为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件得到两个范围的包含关系，求出参数范围判断即可. 【详解】因等价于， 因“”是“”的充分不必要条件， 则可得是的真子集，故有，从而a的值不可能为1. 故选：D. 6. 设实数、满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由已知得，，，故， 故选：B. 7. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 8. 设，，则三个数（ ） A. 都小于4 B. 至少有一个不大于4 C. 都大于4 D. 至少有一个不小于4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案． 【详解】假设三个数且且，相加得： ，由基本不等式得： ；；； 相加得：，与假设矛盾； 所以假设不成立， 三个数、、至少有一个不小于4． 故选． 【点睛】本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选题错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由集合的概念与关系逐一判断 【详解】对于选项A，两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，A正确； 对于选项B，空集是任意集合的子集，故，B正确； 对于选项C，两个集合所研究的对象不同，故，为不同集合，C错误； 对于选项D，元素与集合之间只有属于、不属于关系，故D错误． 故选AB． 10. 已知下列四组陈述句： ①p：集合；q：集合． ②p：集合；q：集合． ③p：；q：． ④p：某中学高一全体学生中的一员；q：某中学全体学生中的一员． 其中p是q的必要而不充分条件的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的相关性质，逐一判断四组陈述句中命题是否是的必要不充分条件，即判断是否符合不能推出，但． 【详解】对于①：集合， ，但不能推出， 是的必要不充分条件； 对于②：若集合，则, ， 是的充分必要条件； 对于③：表示所有奇数的集合，表示部分奇数的集合，， ，但不能推出， 是的必要不充分条件； 对于④：“某中学高一全体学生中的一员”限定范围为某中学高一全体学生；q：“某中学全体学生中的一员”限定范围为某中学全体学生， ，但不能推出，满足充分不必要条件； 满足必要不充分条件的是①③． 故选：． 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最大值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断A；变形式子并利用基本不等式求解判断B；利用基本不等式“1”的妙用求解判断C；配方变形并利用基本不等式建立关系，再解不等式判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，当时，，， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，正数为实数，由，得， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，由，得， 则，解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有92%的学生喜欢足球或游泳，54%的学生喜欢足球，74%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是______. 【答案】36%##0.36 【解析】 【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可． 【详解】由题可得如下所示韦恩图： 既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是. 故答案为：36%. 13. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】移项通分化简，等价转化为，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得. 【详解】原不等式等价于，化简得，又等价于， 解得：， 故答案为：. 14. 若正实数满足，则的最大值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】将用的表达式表示，结合，利用均值不等式求出，从而确定的范围. 【详解】因为， 所以， 又且， 所以， 解得， = 结合知，有最大值4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据并集的概念运算可得结果； （2）分类讨论集合是否为空集，根据交集结果列式可得答案. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为， （i）当，即时，，符合题意； （ii）当时，，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】易错点点睛：容易漏掉集合为空集的情况. 16. （1）已知a，b为正数且，求证： （2）已知a，b，c为不全相等的正数，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用“1”的妙用和基本不等式即可证明； （2）拆项后，分组运用基本不等式即可证明，同时由条件可得等号不成立. 【详解】（1）且 ， 当且仅当即时，等号成立． （2）为不全相等的正数， 即：且不全相等， 由基本不等式得： ，（因为此不等式当且仅当等号才成立）. 17. 设命题实数x满足；命题实数x满足. （1）若，且都为真，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，求得p为真的取值，再求得得出q为真时，进而求得实数x的取值范围； （2）先求得不等式的解集，结合题意，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 当时，不等式化为，解得， 由不等式，可得，所以， 因为都为真，所以，解得，即的取值范围为. 【小问2详解】 由方程，可得，， 所以，不等式的解集为， 因为是的充分不必要条件，则，解得， 所以实数的取值范围. 18. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）若求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【小问1详解】 若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. 【小问2详解】 因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 横峰中学2025-2026学年度高一第一学期第一次月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈婷 审题人：元希婧 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的4个选项中只有一项符合题目要求． 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值不可能为（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 设实数、满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，则三个数（ ） A. 都小于4 B. 至少有一个不大于4 C. 都大于4 D. 至少有一个不小于4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选题错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知下列四组陈述句： ①p：集合；q：集合． ②p：集合；q：集合． ③p：；q：． ④p：某中学高一全体学生中的一员；q：某中学全体学生中的一员． 其中p是q的必要而不充分条件的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最大值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有92%的学生喜欢足球或游泳，54%的学生喜欢足球，74%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是______. 13. 不等式的解集是___________． 14. 若正实数满足，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知a，b为正数且，求证： （2）已知a，b，c为不全相等的正数，求证： 17. 设命题实数x满足；命题实数x满足. （1）若，且都为真，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）若求关于x的不等式的解集． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $