专题01 空间向量与立体几何（高效培优期中专项训练）数学人教B版2019高二选择性必修第一册

专题01 空间向量与立体几何 考点01空间直角坐标系 考点02空间向量及其计算 考点03空间角的向量求解 考点04空间距离的向量求解 考点01 空间直角坐标系 1．在空间直角坐标系中，给出以下结论： ①点关于原点的对称点的坐标为； ②点关于平面对称的点的坐标是； ③已知点与点，则的中点坐标是； ④两点间的距离为5.其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性即可判断①②；根据中点坐标即可判断③；根据空间中两点间的距离公式即可判断④. 【详解】对于①，点关于原点的对称点的坐标为，故①错误； 对于②，点关于平面对称的点的坐标是，故②正确； 对于③，点与点中点坐标是，即， 故③正确； 对于④，间的距离为，故④错误. 故选：C. 2．在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到，从而得到，利用模长公式得到答案. 【详解】若点与点关于平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等． 又，则，又，所以， . 故选：A 3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可. 【详解】点关于平面的对称点为， 故选：C 4．下列说法错误的是（　　） A．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 B．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 C．若直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 D．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点在平面外，，则点到平面的距离为 【答案】C 【分析】A假设其共面，根据平面向量基本定理即可求出；B根据点关于面的对称点定义即可；C根据方向向量、法向量夹角和线面角之间的关系即可；D利用点到面的距离公式求解. 【详解】对于A，假定向量共面，则存在实数使得， 即， 而不共面，则，此方程组无解，即不共面， 故可构成空间的另一个基底，故A正确； 对于B，点关于平面对称点为，故B正确； 对于C，直线与平面所成的角等于，故C错误； 对于D，点到平面的距离为，故D正确． 故选：C． 5．如图所示，在空间四边形中，，，，点是的中点，且平面平面．若以为原点建立空间直角坐标系，点的坐标是，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助面面垂直建立坐标系，过点作交于点，求出后可确定点的坐标，即可求解向量的坐标． 【详解】如图，易知点在平面上， 已知点是坐标原点，由平面平面知平面为坐标平面， 平面为坐标平面，则点的横坐标为0． 在平面内，过点作的垂线即为轴，过点作交于点， 在中，因为，，，所以，． 在中，， 所以．所以点的坐标为， 所以． 故选：B 6．若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【分析】确定点关于平面以及关于x轴对称的点的坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得点关于平面对称的点为，关于x轴对称的点为， 则，，所以． 故选：C 7．在空间直角坐标系中，点在，，平面上的投影分别为点，则三棱锥的表面积为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由题可得点的坐标，进而得到，，，求出，，，再利用，，求出，相加得到三棱锥的表面积 【详解】由题意知，，， ，，， ，，两两垂直， ，，， 又，，， ， 所以，三棱锥的表面积为． 故选：A. 8．从点沿向量的方向取线段，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由模长关系可知，再根据坐标运算求解即可. 【详解】设点，又， 则， 所以， 所以点的坐标为， 故选：B. 9．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列叙述正确的是（    ） A．点A关于x轴的对称点坐标是 B．点A关于平面的对称点坐标是 C．点A关于原点O的对称点坐标是 D．点A到平面的距离是3 【答案】CD 【分析】根据已知点坐标，及其对应的对称点判断各项的正误. 【详解】由，关于轴的对称点为，A错， 关于平面的对称点为，且到该平面的距离为3，B错，D对， 关于原点的对称点为，C对. 故选：CD 10．点到平面的距离 . 【答案】5 【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案. 【详解】由点在平面上的射影是， 则点到平面距离为. 故答案为：5 11．在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】先根据对称关系得到点的坐标，再应用两点距离公式即可求出，两点间的距离． 【详解】又，则 点关于y轴对称的点为， 又，则， 所以，两点间的距离为． 故答案为：． 12．（1）一般用中点坐标公式解决点关于点对称的问题. 设点关于点的对称点为，则有所以即点的坐标为 . （2）特别地，点关于坐标原点的对称点为 . 【答案】 【分析】由中点坐标公式易得结果. 【详解】设点关于点的对称点为，则有所以即点的坐标为， 特别地，点关于坐标原点的对称点为. 故答案为：；. 13．已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据点关于轴对称分别得出的坐标即可求解. 【详解】点与点关于轴对称，则； 点与点关于轴对称，则； 点与点关于直线对称，则． 故答案为：. 14．如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向.    (1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. (2)求向量的坐标. (3)求向量与的夹角. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】根据题意，由空间直角坐标系的定义以及向量的坐标运算，夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）    因为正方体的棱长为，为坐标原点， 则的坐标为， 点在轴上，则， 点的坐标为. （2）由（1）可知，，，则. （3）因为，，则， 且，则， ，， 则， 且，所以， 即向量与的夹角为. 考点02 空间向量及其计算 1．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由有， 所以， 故选：A. 2．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以向量为基底向量，表示出，由向量模的公式求解即可. 【详解】 ， ，， . 故选：A. 3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．18 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】利用投影向量公式先求出投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量，，所以，， 则向量在向量上的投影向量为， 得到，由模长公式得到，故D正确. 故选：D 4．已知空间两点，向量满足，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 【答案】A 【分析】根据空间向量平行的坐标关系即可求解． 【详解】已知，，则， 因为，所以， 解得． 故选：A． 5．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】若，则．因为，， 所以，解得． 故选：C． 6．在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 7．在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求的值. 【详解】设正四面体的棱长为. 由正四面体结构性质可知， 而 故， 故选：B. 8．在三棱柱中，是侧面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，由平行四边形及三角形法则即可求解. 【详解】 如图，由题意与相交于点， 取的中点，连接，则， 则， 故选：C 9．（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．若平面的法向量，则四点共面 B．若平面的法向量，则与平面所成的角为 C．若平面的法向量，则点到平面的距离是2 D．若，且是钝角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【分析】对于A，根据空间向量共面性质判断即可；对于B，利用向量数量积为零判断垂直即可；对于C，利用点到平面距离公式求解即可；对于D，利用向量数量积小于零判断后，再排除掉反向共线的情况即可． 【详解】对于A，，故，、、、四点共面，故A正确； 对于B，，故，平面ABC，PA与平面ABC所成角为，故B正确； 对于C，点到平面ABC的距离，故C错误； 对于D，因为是钝角，所以，解得，但时与反向共线，为平角，不满足钝角，故D错误． 故选：AB． 10．（多选）已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 11．（多选）已知向量，则下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D．的单位向量是 【答案】ABC 【分析】由空间向量的坐标运算代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】由可得，，故AB正确， ，故C正确， 的单位向量是，故D错误； 故选：ABC 12．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 13．如图，在三棱柱中，，且平面，又平面，为垂足，若（其中），则的值为 . 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再结合体积法求出，两者结合，可求的值. 【详解】因为平面，平面，所以，. 又，所以两两垂直. 故可以为原点，建立如图空间直角坐标系： 因为，， 所以，，，. ，. 设平面的法向量为， 则，令，可得. 又，，所以. ， 所以点到平面的距离为：. 所以. 即， 即，，所以. 故答案为： 14．已知，则 . 【答案】 【分析】由空间向量模长公式计算可得. 【详解】由空间向量模长计算公式得：. 故答案为： 15．已知向量，，若，则 . 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得：， 故答案为： 16．如图，在平行六面体中，设分别是，的中点.    (1)用向量表示； (2)化简：. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理即可得解； （2）根据空间向量的线性运算化简即可. 【详解】（1）， 因为分别是，的中点， 所以 ； （2） . 17．已知，，计算： (1)，，，； (2). 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】（1）利用空间向量模长公式，及空间向量的坐标运算法则进行计算； （2）利用空间向量的坐标夹角公式进行求解. 【详解】（1），，，，所以 （2） 考点03 空间角的向量求解 1．（多选）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足.则下列结论正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若点在以为球心，2为半径的球面上，则点的轨迹长度是 C．若且为的中点，则异面直线与所成的角为 D．若且，则存在点在线段上，使得的最小值为 【答案】ABD 【分析】对A：借助向量线性运算及四面体体积公式计算即可得；对B：结合球面性质可得点轨迹，即可得解；对C：借助等角定理找到分别与、平行的直线后计算即可得；对D：将平面沿展开后，结合向量线性运算、勾股定理与余弦定理计算即可得解. 【详解】对于A，如图，取靠近的三等分点为靠近的三等分点为， 连接，因为，所以， 令，而， 则，得到， 因为靠近的三等分点为靠近的三等分点为，所以， 而由直四棱柱性质得， 而，由勾股定理得， 在直四棱柱中，， 得到四边形是平行四边形，故， 则，由题意得为的中点，则的面积是定值， 而面面，所以面， 结合，由线面平行性质得到面的距离为定值， 即四面体的体积为定值，故A正确， 对于B，点在以为球心，半径的球面上， 且满足， 则点的轨迹是圆（的一部分），圆心为在面上的射影， 即为的中点，半径， 因此点的轨迹是以为圆心，半径的半圆，因此轨迹长度为，故B正确； 对于C，若且，则与重合，为的中点， 异面直线与所成的角即为异面直线和所成的角，即为， 在三角形中，易知，因此不等于，故C错误； 对于D，若且，此时， 因为P为的中点，所以， 由向量加法法则得，故， 则点与点重合，此时把沿着翻折， 如图，使得四点共面，此时有最小值， 此时的点均为翻折过的点，因为P为的中点，所以， 由勾股定理得，如图，连接， 由已知得，则， 由余弦定理得，解得， 由直四棱柱性质得面，则， 则由勾股定理得， 则，故， 而，则，得到， 由余弦定理得，解得，故D正确. 故选：ABD. 2．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．的最小值为 B．若，则平面截正方体所得截面的面积为 C．与底面所成的角的取值范围为 D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得的坐标，利用向量的数量积公式，结合二次函数的性质，可判定A正确；由，得到点是上的三等分点，取上的三等分点，证得平面，过作，证得,得到截面为等腰梯形，可判定B正确；过点作的垂线，设，求得的长，得到，可判定C不正确；求得和，得到是平面的一个法向量，得到是正方体的外接球的直径，进而可判定D正确. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方体的棱长为， 且为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点， 可得， 对于A，因为，设， 所以，可得， 则， 所以当时，取得最小值为，所以A正确； 对于B，由，可得点是上靠近点的三等分点，所以， 取上靠近的三等分点，则，所以， 又由平面的法向量为，则，所以， 因为平面，所以平面， 过作交于点， 设，可得，由，可得，解得， 则于重合，所以取的中点，可得, 因为，所以，所以 截面为，且为等腰梯形， 又因为， 可得梯形的高为， 所以截面的面积为，所以B正确； 对于C，过点作的垂线，垂足为，连接，则即为所求角， 设，则， 由余弦定理可得， 则， 因为点是上的动点，所以，可得， 所以，故，所以C不正确； 对于D，由， 可得，则，所以， 同理可得，所以是平面的一个法向量，即平面， 设垂足为，则， 所以是正方体的外接球的直径， 所以正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转，所以D正确. 故选：ABD.    3．（多选）在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（   ） A．直线与所成角可能是 B．当时，点到平面的距离 C．三棱锥的体积不变 D．若，则二面角的正弦值为 【答案】AD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解A，利用空间中的距离公式计算后可判断B，利用等体积法可判断C，利用向量法可求面面角的余弦值，再结合同角的三角函数基本关系计算后可判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．    对于A：，，设， 故，． 若直线与所成的角是，则， 整理得，即，解得， 故直线与所成的角不可能是．故A错误； 对于B：当时，结合A中分析可得， 故，故，而， 设平面的法向量为，则，即， 取，得为平面的一个法向量， 又，故到平面的距离为．故B正确； 对于C：因为，平面，平面，所以平面，所以为定值．故C正确； 对于D：当时，结合A的分析可得，此时， 故，而， 设平面的法向量为， 则即 取，得为平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为， 则即 取，得为平面的一个法向量， 故， 故二面角的平面角的正弦值为．故D错误. 故选：AD 4．已知正方体的棱长为2．    (1)证明：平面； (2)动点满足，且点，，，在同一球面上．设该球面的球心为，半径为． ①求的取值范围； ②当最大时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；②0 【分析】（1）解法一：在正方体中，连结，由平面，得到，同理，再利用线面垂直的判定定理证明；解法二：以为原点，的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，由证明； （2）解法一：①取中点，取中点，球心在直线上，根据，得到，延长至，使得，连结，易得，，从而，设，由求解；②当最大时，，得到点与点重合，由为二面角的平面角求解；解法二：①以为原点，的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，取中点，中点，球心在直线上，设，由，求解；②当最大时，点坐标为．，易得平面的一个法向量是，求得平面的一个法向量，再由求解. 【详解】（1）解法一：如图所示：    在正方体中，连结，则， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 同理可得， 又因为，，平面，所以平面． 解法二：以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系：    则，，，，， ，，． 因为，所以． 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）解法一：①如图所示：   ， 取中点，取中点，依题意得：球心在直线上． 因为，所以， 即， 延长至，使得，连结． 因为，，所以四边形是平行四边形，所以，． 同理得：，，所以，，故， 所以点在线段上． 设，则， 则． 易得，则有，所以，故有． 所以，整理得：， 由，得：． 所以，所以的取值范围是． ②当最大时，，，此时点与点重合． 因为，，，，平面， 所以平面． 因为，平面，所以，， 所以即为二面角的平面角． 在中，，，，， 所以，所以二面角的余弦值为0． 解法二：①以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系：    取中点，中点，依题意得：球心在直线上． 设， 因为， ， 则，即， 化简得：． 因为，所以． 所以， 故该球半径的取值范围是． ②当最大时，点坐标为．． 由（1）得平面的一个法向量是． 设平面的一个法向量是，，， ，取得：， 因为， 所以二面角的余弦值为0． 5．如图，在圆锥中，为底面的圆心，，，点是底面圆周上一点，是的中点，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，取靠近点的四等分点，连接，，，易证四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判断求解即可. （2）以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）如图1，取的中点，取靠近点的四等分点，连接，，. 因为是的中点，所以是的中位线，所以，. 因为，所以，所以根据相似的性质可得，， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）根据圆锥的性质可得平面，因为平面，平面，所以，. 因为，所以以点为坐标原点， ，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图2所示， 则，，，，. 设平面的法向量为，则，取. 易得平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 因为平面与平面的夹角为为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为. 6．已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助余弦定理与勾股定理的逆定理可得，再利用等边三角形性质及线面垂直判定定理可得平面，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系后求出直线方向向量与平面的法向量，再借助空间向量夹角余弦公式计算即可得. 【详解】（1）取的中点，连接，由， 所以， 所以，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 以所在直线为轴，以所在直线为轴， 以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以， ， ， 设平面的法向量为， 则即, 取，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则. 7．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，M为的中点，N为的中点，解答以下问题：    (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合，即可证得直线平面； （2）由（1）知：平面，得到直线与平面的距离即为点N到平面的距离，结合向量的距离公式，即可求解； （3）设直线与平面所成角为，利用向量的夹角公式，求得的值，进而得到直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）证明：如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立坐标系， 则，，，，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 因为，且平面，所以直线平面. （2）解：由（1）知：平面，且平面的法向量为， 所以直线与平面的距离即为点N到平面的距离， 设点到平面的距离为， 又由，可得， 所以直线与平面的距离为. （3）解：设直线与平面所成角为，且， 因为，则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 8．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，，.    (1)用，，表示和. (2)求直线与夹角的余弦值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用平行六面体的性质及空间向量基本定理求解. （2）利用空间向量数量积及空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）在平行六面体中，， 由M为与的交点，得是的中点， 则， . （2）依题意，，，则， 于是， ， 因此， 所以直线AB与的夹角的余弦值为. 9．如图，已知四棱锥是正四棱锥，为底面的中心，为的中点．用空间向量法求解下列问题．    (1)若，求直线与平面所成角的大小； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】分析条件中的垂直关系，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，分别根据（1）（2）的条件，写出各问中点的坐标，根据线面角的向量求法可得直线与平面所成角的大小，根据面面角的向量求法可得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）由题可知四边形是正方形，且底面. 因为平面，所以. 分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.    设底面边长为，则，， 所以则. 所以. 设平面的一个法向量为， 则，所以. 令，则. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以，即直线与平面所成角为. （2）由（1）分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.    因为，所以. 因为，所以， 所以 则. 所以. 设平面的一个法向量为， 则，所以. 令，则，. 设平面的一个法向量为， 则，所以. 令，则，， 故. 故平面与平面夹角的余弦值为. 10．如图，在棱长为3的正方体中，为棱的中点，为棱所在直线上一点，且. (1)若，求直线与所成角的正弦值； (2)若直线与平面所成角正弦值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，再根据向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，进而得到异面直线与所成角的正弦值； （2）求出相关向量坐标，再求出平面的法向量，最后根据直线与平面所成角的向量公式列出方程，求解得到的值. 【详解】（1）如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，，. 因为为棱的中点，所以点坐标为； 当时，，因为所以， 所以，. ，， ， 设与所成角为，则 所以. （2）由（1）得   ，，所以， 设平面的法向量为，有，即  ， 令  得，所以 设直线与平面所成角为，因为 即   解得或. 11．如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2）依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 考点04 空间距离的向量求解 1．在正三棱柱中，所有棱长都为2，P是侧棱上一动点，则，C到平面的距离之和的最大值为（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式表示距离，最后结合换元法和基本不等式求解最大值即可. 【详解】如图，取的中点，连接， 以，的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为，. 因为，， 所以，令， 解得，得到. 设，C到平面的距离分别为，. 因为，， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确. 故选：B 2．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】求出在方向上的投影的长度即得． 【详解】由已知， 点到平面的距离为， 故选：C． 3．（多选）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．点C到平面的距离为 D．三棱锥外接球体积为 【答案】BD 【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及空间中点线面位置关系的向量表示方法，空间中点到面的距离的向量方法，三棱锥的外接球半径的计算方法，依据半径求出球的体积，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】如图所示，连接，   是中点，是的中位线，， 平面，平面， 与平面相交， ，与平面相交，所以A错误； 如图所示，以正方体顶点为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设平面的法向量为， 则，即， 当时，解得，则平面的一个法向量， 此时，即，可得平面，所以B正确； 如图所示，    可知，平面的一个法向量， 可得点C到平面的距离，所以C错误； 如图所示：作中点，作上下底面中心，作四棱柱，    可知三棱锥的外接球，也是四棱柱的外接球， 可知， 则外接球半径，外接球体积为，所以D正确. 故选：BD. 4．已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】由题设，结合平面的法向量，应用点到平面距离的向量求法即得. 【详解】由题设，又向量是平面的法向量， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 5．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱的中点，．用空间向量法求解下列问题．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以， 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为.    （2）因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 6．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． (1)求证：． (2)求线段的中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，再计算出，后相乘即可得； （2）求出平面的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【详解】（1）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则,，，，， 则，， 有，故； （2）由，，则，又， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时． 7．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用菱形性质和线面平行判定定理证明平面，然后结合线面平行的性质定理可证； （2）取的中点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到平面的距离的向量公式计算即可； （3）利用线面角的向量公式列方程求解可得. 【详解】（1）∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面和平面的交线为，∴ （2）取的中点，连接， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为， ∴点到平面的距离. （3）假设在线段（不含端点）上存在一点， 使得直线与平面所成角的正弦值为． 设，由（2）知， 则， 由（2）知平面的一个法向量， 因为直线与平面所成角的正弦值为， ∴. 整理得，解得或， 所以在线段 （不含端点）上存在点， 当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 8．如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）． (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为． （ⅰ）求； （ⅱ）求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据已知得是等边三角形，取的中点，连接，进而得，再由线面、面面平行的判定定理证明平面平面，再由线面平行的性质证明结论； （2）（i）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，进而得，求直线与平面的方向向量和法向量，应用向量法求线面角及已知列方程求出参数值；（ii）应用点面距离的向量求法求点面距离. 【详解】（1）因为，所以， 因为为的中点，则，所以是等边三角形， 取的中点，连接，则， 又为棱的中点，且，即，则． 因为平面平面平面平面， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）（ⅰ）因为，所以． 所以，因为，所以， 又平面，所以平面， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 则， 设，则， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，则． 设直线与平面所成的角为，所以， 整理得，解得（舍），所以． （ⅱ）由（ⅰ）知， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，则， 所以点到平面的距离为． 9．已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离即可. 【详解】（1）（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； （3）因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 10．在空间直角坐标系中，点，已知直线l经过点，且l的方向向量． (1)求； (2)求点M到直线l的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间中两点间的距离公式求解即可. （2）根据向量和直线的方向向量的关系可求出点M到直线l的距离． 【详解】（1）因为点，点， 所以. （2）因为点，点，所以，   过点M作直线l的垂线，垂足为Q，，   点M到直线l的距离．    11．如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求点到面的距离； (2)求点到面的距离． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用长方体性质得到平面，再结合题意求出即可. （2）法一先计算关键三角形的面积，再利用等体积法建立方程，求解点面距离即可，法二建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再利用点到平面距离公式计算即可. 【详解】（1）由长方体性质得平面， 因为，为的中点，所以， 则点到面的距离为. （2）法一：设点到面的距离为， 在中，由勾股定理得，， 如图，连接，因为是的中点，所以，， 由勾股定理得， 故，而． ，，． 法二：如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，可得， 则点到平面的距离. 51 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 考点01空间直角坐标系 考点02空间向量及其计算 考点03空间角的向量求解 考点04空间距离的向量求解 考点01 空间直角坐标系 1．在空间直角坐标系中，给出以下结论： ①点关于原点的对称点的坐标为； ②点关于平面对称的点的坐标是； ③已知点与点，则的中点坐标是； ④两点间的距离为5.其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（　　） A．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 B．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 C．若直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 D．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点在平面外，，则点到平面的距离为 5．如图所示，在空间四边形中，，，，点是的中点，且平面平面．若以为原点建立空间直角坐标系，点的坐标是，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 7．在空间直角坐标系中，点在，，平面上的投影分别为点，则三棱锥的表面积为（    ） A．4 B． C．6 D． 8．从点沿向量的方向取线段，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列叙述正确的是（    ） A．点A关于x轴的对称点坐标是 B．点A关于平面的对称点坐标是 C．点A关于原点O的对称点坐标是 D．点A到平面的距离是3 10．点到平面的距离 . 11．在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为 ． 12．（1）一般用中点坐标公式解决点关于点对称的问题. 设点关于点的对称点为，则有所以即点的坐标为 . （2）特别地，点关于坐标原点的对称点为 . 13．已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 14．如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向.    (1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. (2)求向量的坐标. (3)求向量与的夹角. 考点02 空间向量及其计算 1．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．18 B． C．12 D． 4．已知空间两点，向量满足，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 5．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 6．在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 8．在三棱柱中，是侧面的中心，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．若平面的法向量，则四点共面 B．若平面的法向量，则与平面所成的角为 C．若平面的法向量，则点到平面的距离是2 D．若，且是钝角，则实数的取值范围是 10．（多选）已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选）已知向量，则下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D．的单位向量是 12．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 13．如图，在三棱柱中，，且平面，又平面，为垂足，若（其中），则的值为 . 14．已知，则 . 15．已知向量，，若，则 . 16．如图，在平行六面体中，设分别是，的中点.    (1)用向量表示； (2)化简：. 17．已知，，计算： (1)，，，； (2). 考点03 空间角的向量求解 1．（多选）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足.则下列结论正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若点在以为球心，2为半径的球面上，则点的轨迹长度是 C．若且为的中点，则异面直线与所成的角为 D．若且，则存在点在线段上，使得的最小值为 2．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．的最小值为 B．若，则平面截正方体所得截面的面积为 C．与底面所成的角的取值范围为 D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的最小值是 3．（多选）在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（   ） A．直线与所成角可能是 B．当时，点到平面的距离 C．三棱锥的体积不变 D．若，则二面角的正弦值为 4．已知正方体的棱长为2．    (1)证明：平面； (2)动点满足，且点，，，在同一球面上．设该球面的球心为，半径为． ①求的取值范围； ②当最大时，求二面角的余弦值． 5．如图，在圆锥中，为底面的圆心，，，点是底面圆周上一点，是的中点，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 6．已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 7．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，M为的中点，N为的中点，解答以下问题：    (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 8．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，，.    (1)用，，表示和. (2)求直线与夹角的余弦值. 9．如图，已知四棱锥是正四棱锥，为底面的中心，为的中点．用空间向量法求解下列问题．    (1)若，求直线与平面所成角的大小； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 10．如图，在棱长为3的正方体中，为棱的中点，为棱所在直线上一点，且. (1)若，求直线与所成角的正弦值； (2)若直线与平面所成角正弦值为，求实数的值. 11．如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值. 考点04 空间距离的向量求解 1．在正三棱柱中，所有棱长都为2，P是侧棱上一动点，则，C到平面的距离之和的最大值为（    ） A． B． C．3 D．7 2．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（　　） A． B． C．5 D．10 3．（多选）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．点C到平面的距离为 D．三棱锥外接球体积为 4．已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为 . 5．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱的中点，．用空间向量法求解下列问题．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 6．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． (1)求证：． (2)求线段的中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由． 8．如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）． (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为． （ⅰ）求； （ⅱ）求点到平面的距离． 9．已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 10．在空间直角坐标系中，点，已知直线l经过点，且l的方向向量． (1)求； (2)求点M到直线l的距离． 11．如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求点到面的距离； (2)求点到面的距离． 11 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $