专题13 利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、圆柱中的最短路径模型 类型二、长方体中的最短路径模型 类型三、阶梯中的最短路径模型 类型四、将军饮马与最短路径模型 压轴专练 理 典例详解 类型一、圆柱中的最短路径模型 【方法总结】圆柱体中最短路径基本模型如下： B 展开 圆柱 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股 定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面 圆周长的一半进行计算. 注意：(1)运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算： (2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数， 【最值原理】两点之间线段最短 例1.(25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段练习)如图，一圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到 点B处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程.（π=3） 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(25-26八年级上·全国·课前预习)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈， 周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体， 因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好 到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺. 【变式1-2】(24-25八年级上·广东深圳阶段练习)如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆 柱的侧面上，过点A,C嵌有一圈长度最短的金属丝. B 图1 图2 图3 (①)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 】 (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长， (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A,则所需金属丝最短长度是多少？ 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴峰蜜，此时一 只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则妈蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最 短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【变式1-3】(24-25八年级上广东梅州期中)如图，己知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的 侧面上，过点A,C嵌有一圈长度最短的金属丝. 图① 图② (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 A B B B (②)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A,则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱（如图3，AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm).现 在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动.请你为蜘蛛设计一种捕虫方 案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫，（木板的厚度忽略不计） H G E B 图3 类型二、长方体中的最短路径模型 【方法总结】长方体中最短路径基本模型如下： 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B C 丙 长方体 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定 理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论 注意：1)长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2)两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同 【最值原理】两点之间线段最短 例2.(25-26八年级上河南郑州阶段练习)如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分 别为4cm,4cm,6cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的侧面爬到盒顶的点B,蚂蚊要爬行的最短行程是 多少？ 4cm 4cm B 6cm 【变式2-1】(2025八年级上陕西·专题练习)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的 距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少？ C 20 A 10 15 【变式2-2】(24-25八年级下·山东德州阶段练习)叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了 以下问题.请你根据下面所给的条件分别求出妈蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）. 4/13 6学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ② ③ (1)如图①，正方体的棱长为5cm,一只蚂蚊欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点C处： (2)如图②，长方体的长和宽都为5cm,高为6cm,一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到 点C处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm和3cm,一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬 到长方体上和A相对的顶点B处. 【变式2-3】(24-25八年级上·山西太原阶段练习)综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面.例如，如图1，一 个正方体的棱长为1，有一只蚂蚊从点A出发，沿着正方体的表面爬行到点G.沿怎样的路线爬行路程最短？ 要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点A,G之间的最短 路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题.根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段AG爬行的 路程最短，利用勾股定理易证最短路程为√5 H D 外 B B D 图1 图2 图3 图4 问题解决： H E B C 12cm 20cm D C 8cm 15cm 8cm B A 10cm 图5 图6 (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的 表面爬到盒顶的点G,你能帮妈蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图6，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B在棱CD上，CB=5cm,一只蚂蚁要沿长方 体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少？ 类型三、阶梯中的最短路径模型 【方法总结】阶梯中最短路径基本模型如下： 阶梯问题 注意：展开一定点一连线一勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短 例3.(25-26八年级上山西晋中阶段练习)如图所示，四边形ABCD是长方形地面，长AB=20m,宽 AD=10m.中间竖有一堵墙，高MN=2m.一只蚂蚱从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙，求它至少 要走多长的路程。 【变式3-1】(25-26八年级上全国单元测试)如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中 AE=1,DE=3,BC=6.若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ y E B 【变式3-2】(25-26八年级上陕西西安阶段练习)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图， 该U型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱，中间可供滑行部分的截面是直径为8m的半圆，其边缘 AC=BD=15m,小诚是一名滑板爱好者，若他从点A处滑到点D处，他滑行的最短距离是多少米？（边 缘部分的厚度忽略不计) 6/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 18 【变式3-3】(23-24八年级下·广西南宁阶段练习)问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm,宽为 50©m的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽AD,木块从正面 看是一个边长为20cm的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直铺平”，“化曲为直”，连接AC. 图① 图② (①)线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是： (②)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程. 类型四、将军饮马与最短路径模型 【方法总结】将军饮马与最短路径基本模型如下： A 蚂蚁 B蜂蜜 将军饮马问题 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股 定理求解 【最值原理】两点之间线段最短 例4.(23-24八年级下江西新余期中)如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为24cm，底 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 面周长为20cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器 上沿3cm的点A处，求蚂蚊吃到饭粒器爬行的最短路径的长 蚂蚁A 【变式4-1】(2025八年级上·全国.专题练习)如图，A,B两个小镇在河岸CD同侧，到河岸的距离分别为 AC=10km,BD=30km,且CD=30km.现在要在河边修建一个自来水厂，向A,B两个小镇供水.铺设水 管的费用为每千米3万元，请你在河岸CD上确定自来水厂的位置P,使铺设水管的费用最低，并求出最低 费用 B 【变式4-2】(24-25八年级上辽宁沈阳·单元测试)有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高AB=6dm, 水深AE=4dm,在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG=6dm,一只小虫想从水缸外的A处沿水 缸壁爬到水缸内的G处吃掉食物. D ()小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注， (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度） 【变式4-3】(24-25八年级上·河南郑州阶段练习)勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来， 人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新 的证法.证法如下： 把两个全等的直角三角形Rt△ABC≌Rt△DAE(如图1放置，∠DAB=LB=90°，AC⊥DE点E在边AC上， 现设Rt△ACB两直角边长分别为CB=b、AB=a,斜边长为AC=c,请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、 四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a a-b Bb C 图2 图1 (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理： (2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距16千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点）， AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=12千米，BC=8千米，则两个村庄的距离为千米 (3)在(2)的背景下，若AB=16千米，AD=12千米，BC=8千米，要在AB上建造一个供应站P,使得 PC=PD,请在图2中作出P点的位置并求出AP的距离. (4)借助上面的思考过程，当1<x<11时，直接写出代数式Vx2-2x+5+√x2-22x+130的最小值. 压轴专练 一、单选题 1.如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路 程是() B A.V45 B.3√5 C.29 D.V53 2.如图，圆柱的底面周长是5πcm,圆柱高为12cm,一只蜜峰如果要从圆柱内部点A飞到与之相对的点B, 那么它飞行的最短路程为() 9/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.10πcm B.13cm C.13πcm D.15cm 3.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱 而成，中间可供滑行部分的截面是直径为8m的半圆，其边缘AB=CD=20m,点E在CD上，CE=5m, 一名滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为()m(边缘部分的厚度可以忽略不计，取3 B 20 A.17 B.3√41 C.4V34 D.25 4.农民麦子大丰收，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为15cm,高为10cm的圆柱粮仓模型（如图所示）. 现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到 点C,B为AC的中点)，则装饰带的长度最短为() A.10v5cm B.510cm C.20/5cm D.10v10cm 二、填空题 5.如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD,因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆 柱的底面半径为6m,已知AE+BF=7m,BC=m,一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起， 则它至少要走」 m的路程. 10/13 专题13 利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、圆柱中的最短路径模型 类型二、长方体中的最短路径模型 类型三、阶梯中的最短路径模型 类型四、将军饮马与最短路径模型 压轴专练 类型一、圆柱中的最短路径模型 【方法总结】圆柱体中最短路径基本模型如下： 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算. 注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； （2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数. 【最值原理】两点之间线段最短. 例1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（） 【答案】蚂蚁要爬行的最短距离是厘米 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，圆柱展开为长方形，根据题意可知道点和在平面上的位置，根据两点之间线段最短可求出解． 【详解】解：将圆柱的侧面展开，为的中点，如图所示： 就是蚂蚁爬的最短路径． 底面半径为， （厘米）， （厘米）， 厘米， （厘米）． 故蚂蚁要爬行的最短距离是厘米． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课前预习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】25尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先将葛藤缠绕的状态展开（见解析），再根据题意可得尺，尺，，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：将葛藤缠绕的状态展开如图所示： 则一条直角边（即枯木的高）尺，另一条直角边（尺）． 由勾股定理，得， 所以， 所以尺（负值已舍）． 答：葛藤的最短长度为25尺． 【变式1-2】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1)A (2)20 (3) (4)10 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍； （4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为； （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 类型二、长方体中的最短路径模型 【方法总结】长方体中最短路径基本模型如下： 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论. 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同. 【最值原理】两点之间线段最短. 例2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【答案】最短行程是 【分析】此题考查了勾股定理—最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意分两种情况，分别作图，利用勾股定理列式计算，进行求解，然后比较即可． 【详解】解：如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：，， ∵在中， ∴根据勾股定理，， 如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：，， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∵ ∴ ∴最短行程是． 【变式2-1】（2025八年级上·陕西·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 【变式2-2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 【变式2-3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 类型三、阶梯中的最短路径模型 【方法总结】阶梯中最短路径基本模型如下： 注意：展开—定点—连线—勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短. 例3．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程． 【答案】至少要走的路程 【分析】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．将图展开，连接，利用勾股定理求出的长，即可得出蚂蚱从点爬到点需要走的最短路程． 【详解】解：如图所示，将图展开，连接， 图形长度增加，原图长度增加，则， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴，负值舍去， 即蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程． 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 【答案】10 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，把长方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为10． 【变式3-2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．小诚是一名滑板爱好者，若他从点处滑到点处，他滑行的最短距离是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】他滑行的最短距离是米 【分析】本题考查最短路径，勾股定理．根据题意可知，型池的展开图为长方形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，长方形是型池的展开图， 根据题意可得， 连接，则的长为滑行的最短距离， 在中，，，， ∴ ∴他滑行的最短距离是米． 【变式3-3】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． (1)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是______； (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力． （1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，结合两点之间线段最短即可求解； （2）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （2）解：根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 类型四、将军饮马与最短路径模型 【方法总结】将军饮马与最短路径基本模型如下： 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决. 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解. 【最值原理】两点之间线段最短. 例4．（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开－最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．将容器侧面展开，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是． 【变式4-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，A，B两个小镇在河岸同侧，到河岸的距离分别为，且．现在要在河边修建一个自来水厂，向A，B两个小镇供水．铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上确定自来水厂的位置P，使铺设水管的费用最低，并求出最低费用． 【答案】150万元 【分析】本题主要是运用轴对称求最短距离问题，作点A关于直线的对称点，连接与CD交于点P，则点P为所求的自来水厂的位置，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接与CD交于点P， 则点P为所求的自来水厂的位置．过点作，交的延长线于点E， 则为直角三角形，． 在中， 由题意，得． 由勾股定理，得， 所以，所以（万元）． 故铺设水管的最低费用为150万元． 【变式4-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 【答案】(1)见解析 (2)小虫爬行的最短路线长为． 【分析】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． （1）作关于的对称点，连接，与交于点，此时最短； （2）为的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 作点关于所在直线的对称点， 连接，与交于点， 则为最短路线； （2）解：因为，， 所以． 在中，，，， 所以． 由对称性可知， 所以：． 所以：小虫爬行的最短路线长为． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上两点（看作直线上的两点）相距千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离． (4)借助上面的思考过程，当时，直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，勾股定理与最短路径的计算方法， （1）根据全等三角形的性质可得，则，分别用含的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解； （3）如图所示，设，则，运用勾股定理可得，，再根据，代入计算即可求解； （4）将代数式变形得，，结合（3）中的计算方法，令，则，可得，即为两直角三角形斜边的和，由此作图分析，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时的值最小，在中，运用勾股定理即可求解的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴，则， ∴，，， ∵， ∴，整理得，； （2）解：如图所示，连接，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （3）解：如图所示，设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 两边同时平方得，， 解得，， ∴； （4）解：，， 根据上述计算方法，令， ∴，即两条直角三角形斜边的和， 令，则， ∴， ∴， 如图所示，，，，，则，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时的值最小，即代数式的值最小， 过点作，交延长线于点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， ∴代数式的最小值为． 一、单选题 1．如图，正方体的棱长长为，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 展开后直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由题知，，根据两点之间线段最短可知蚂蚁爬行最短路程是， ； 故选：B． 2．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点A飞到与之相对的点B，那么它飞行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径．根据题意，长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，根据底面圆的周长可得底面圆的直径，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，蜜蜂沿如图所示方向飞行路程最短， ∴长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程， ∵圆柱的底面周长是，圆柱高为， ∴底面圆的直径为，， 根据勾股定理得， ∴蜜蜂飞行的最短路程为， 故选：B． 3．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（   ）（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D．25 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，将该U型池的侧面展开，再根据“两点之间，线段最短”，并结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 则，， 在中，由勾股定理可得：， 故他滑行的最短距离为， 故选：B． 4．农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 故选：D． 二、填空题 5．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，勾股定理. 将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长，连接， ∴，则， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 6．如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：向正表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向左表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向上表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是， 故答案为：． 7．如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米． 【答案】39 【分析】本题考查的是最短线路问题的应用，需要用到勾股定理内容，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 依据题意结合图示可得：图形侧面展开找最短路线，从外侧到内侧，需要上翻，然后两点之间，线段最短，根据勾股定理计算出最短路程．（勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．） 【详解】解：过B作于E点，如图： 则厘米，厘米，（厘米） 在直角三角形中， 因为 所以厘米 所以蚂蚁爬行是最短路程是39厘米． 8．如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线最短需 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．根据绕两圈到B，则展开后相当于求出直角三角形的斜边长，并且，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕1圈到达点B， ∴展开后，， 由勾股定理得：AB＝． 故答案为5． 三、解答题 9．如图，长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，点到点的距离是厘米，自至在长方体表面的连线距离最短是多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查平面展开图的最短距离，注意长方体展开图的不同情况，正确利用勾股定理解决问题．求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 自至在长方体表面的连线距离最短是． 10．如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家． (1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说明作图方法或步骤； (2)求出小智走过的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)小智走过的最短路程为1.7千米 【分析】（1）根据两点之间线段最短即轴对称的性质作图； （2）根据勾股定理求解． 本题考查了作图的应用与设计，掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）如图： 步骤：①作A关于的对称点， ②连接交于点， 点即为所求； （2）过作交其延长线于，则四边形为矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即小智走过的最短路程为1.7千米． 11．追本溯源 题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 12．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $