专题16 平面直角坐标系中面积问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16平面直角坐标系中面积问题的四类综合题型 月录 典例详解 类型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 类型二、直接利用面积公式求图形的面积 类型三、利用补形法或分割法求图形的面积 类型四、与图形面积相关的点的存在性问题 压轴专练 典例详解 类型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 1.固定一个，分析另一个：先确定一个点的位置，把它看作固定点。 然后思考另一个点可以在哪些位置移动，通常是在线段上或其延长线上。 2.利用面积公式列方程：无论点怎么动，三角形的面积公式是不变的。 把底和高用未知数表示出来，根据面积相等的条件列出方程求解。 3,检验结果是否符合题意：解出来的结果可能有两个，要判断这两个点 是否都在题目规定的范围内。如果超出了线段范围，那个解就要舍去。 例1.如果A(0,4),B(-3,0),点C在y轴上且三角形的面积是15，C点坐标是 ；若点D在x轴 上，且△ABD为直角三角形，D点坐标是 【变式1-1】已知A(-1,0),B(0,2),点P在x轴上，且三角形PAB的面积是2，则点P的坐标是 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，0为原点，Aa,-4),C(0,c),且满足(a+4)2+√c-4=0,过 点A作AB⊥y轴于点B.若x轴上存在点P,满足三角形PAO和三角形ABC的面积相等，则点P的坐标 为 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点为A(-1,3),B(0,-1,C(1,1点D是x轴上一个 动点，当△BCD的面积等于ABC的面积时，点D的坐标为 y S A 4 3 -5:-4-3-2-1712345x -1B 类型二、直接利用面积公式求图形的面积 1.”套公式”是基础：牢记三角形、平行四边形、梯形等基本图形的面积公式。 解题时，先观察图形，确定它属于哪一种基本图形，然后找到对应的”底”和”高”。 2.”找关系”是关键：题目中给出的已知条件，往往不是直接的底和高，而是其他边长或角度。 这时需要利用学过的几何知识，如勾股定理、全等三角形、平行线间的距离处处相等等， 来推导出我们需要的底和高的长度。 3."割补法”是利器：对于一些不规则的复杂图形，可以用”割”或”补”的方法。 把它变成几个我们熟悉的基本图形，再分别计算面积，最后相加或相减。 例2.如图，己知点A(2,3),B(-3,0),C(4,0)是平面直角坐标系内的三点，求三角形ABC的面积. 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为Aa,0),B(0,b),且a,b满足a+2+Vb+1=0 ,已知点C的坐标为0,4 B (1)求a,b的值； (②)求三角形ABC的面积. 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中已知A(-2,3),B(4,3,C(-1,-3). 4 3 2 1 5-4-3-292345 3 (1)求点C到x轴的距离； (2)求ABC的面积： (3)点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请求出点P的坐标 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，已知Aa,0),B(b,0)其中a,b满足a+1+(b-3)2=0. 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)填空：a=-,b=_ (②)如果在第三象限内有一点M(-2,m),请用含m的式子表示△ABM的面积 (3)在(2)条件下，当m=-2时，在y轴上有一点P,使得△ABP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P 的坐标. 类型三、利用补形法或分割法求图形的面积 1.分割法：化整为零 把一个复杂图形分割成几个简单图形，如三角形、矩形 分别计算这些简单图形的面积 将所有面积相加，得到原图形的面积 2.补形法：化零为整 把不规则图形补成一个完整的大图形，如矩形、梯形 计算出这个大图形的面积 减去补上的多余部分的面积，得到原图形的面积 3.关键在于"怎么分"和"怎么补“ 分割时，尽量让分割线沿着已知边长或垂直于已知边 补形时，观察图形缺了哪个角或哪条边，试着把它补成最接近的规则图形 例3.如图，己知点A-3,1,B(1,-3),C(3,4,求三角形ABC的面积. B 【变式3-1】(24-25八年级上四川绵阳开学考试)己知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O,坐标系内 两点A(-2,3)、B(3,2)如图所示，连接AO、B0、AB,求三角形AOB的面积 4/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-2】如图，已知A(-4,0),B(4,0),C(3,2),D(-2,4) D (I)求四边形ABCD的面积； (2)在y轴上存在一点P,使三角形APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，求P点的坐标. 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系内有四个点：A-2,0),B(0,3,C(2,4),D(3,0). A D (1)求三角形A0B的面积： (2)求四边形OBCD的面积： (3)若点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD的面积分成1：2两部分，求点P的坐标. 类型四、与图形面积相关的点的存在性问题 1.先假设，后求解 先假设满足条件的点是存在的 把这个点的坐标或位置设为未知数 目标是通过计算验证假设是否成立 2.用面积列方程 这是解题的核心步骤 用未知数表示出所求图形的底和高 根据题目给出的面积关系列出方程 5/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.求解并检验 - 解出方程，得到未知数的值 检验这些解是否符合题目的实际情况 比如点是否在线段上，或者在指定的范围内 例4.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,a),B(b,0),b满足a-2+(b-3)2=0. A M B (1)求a,b的值； (2)如果在第二象限内有一点M(m,l),请用含m的式子表示四边形ABOM的面积； ③在(2)条件下，当m=时，在坐标轴的负半轴上是杏存在点N,使待四边形ABOM的面积与△ABN的 面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由， 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，已知A0,a,B(b,0),C(3,c)三点，且a,b满足关系式 a-2+Vb-3=0,BC=20A. B (1）a= b= ，C= (2)四边形AOBC的面积为； 1 3)是否存在点Pm,3m使得aA0P的面积为四边形A08C面积的2倍？若存在，求出点P的坐标：若 不存在，请说明理由。 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,a),B(3a,b),其中a,b满足a-1+√2a+b=0· 6/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)填空：a=-,b=- (2)若存在一点M(m,5)(m>0),点M到x轴的距离是-，到y轴的距离是-，求三角形ABM的面积；（用含 m的式子表示) (3)在(2)条件下，当m=2时，在x轴上存在一点P,使得三角形MOP的面积与三角形ABM的面积相等， 请求出点P的坐标. 【变式4-3】如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A0,a,B(b,n,且a,b满足关系式： Va-3+(b-2)2=0,其中n>0,连接AB,OB B 图1 图2 (1)填空：a= ，b= 一，三角形AOB的面积是 (2)点C是x轴上一点，连接AC,延长AB与x轴相交于点D. ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形AOC的面积与三角形AOB的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形08D的面积等于三角形408面积的一半，三角形4CD的面积等于引，求点B,C,D的坐标. 压轴专练 一、单选题 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨阶段练习)已知A(10,0)和B(0,a+2)两点，且AB与坐标轴围成的三角 形的面积等于20，则a的值为() A.2 B.2或-6 C.0或2 D.-6 2.(23-24七年级下新疆喀什期末)已知点42,0)，B0,1,点P在卫轴上，且三角形PAB的面积是3， 则点P的坐标是() A.(0,-2) B.(4,0 C.(0,4)或(0，-2 D.（4,0)或-2,0 3.(24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔期中)如图，在平面直角坐标系中，已知Aa,0),B(b,0),其中a,b 满足a+1+(b-32=0.点M的坐标(-2，-1)，在y轴的正半轴上有一点P,使得△BMP的面积与△ABM的 面积相等，则点P的坐标为() B M A.(2,0 B 0, 2 D. 二、填空题 4.(25-26七年级上·全国课后作业)已知点Aa,0)和点B(0,6)两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的 面积等于30，则a的值是： 5.(24-25九年级上北京·开学考试)七个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系x0y中， 直线1经过点A(8,8)且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线1与x轴的交点B的横坐标为 8/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上·湖南湘西·开学考试)已知点0(0,0)，B(2,4),点A在坐标轴上，且三角形A0B的面积 等于4，则满足条件的点A的坐标为一 三、解答题 7.(24-25八年级上·全国·课后作业)ABC沿x轴正方向平移10个单位长度得到△DEF,ABC的顶点坐 标如图所示. A(0,9) B-6.0) C(0,0) (1)点D的坐标是 点E的坐标是 (2)求四边形ACED的面积. 8.(24-25七年级下·河北邯郸期中)在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的位置如图所示，将ABC水 平向左平移3个单位，再竖直向下平移2个单位. 5 3 -5.-4-3-2-19 12345x 2外 4 5 (1)请画出平移后的△A'B'C',并写出△A'B'C'各点的坐标；B；C 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求ABC的面积： (3)在x轴上存在点Q,使得△ACQ的面积与ABC的面积相等，直接写出点Q的坐标 9.(23-24八年级上广东佛山阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B在x轴的 负半轴上，OB=3,点C在第二象限，CB⊥x轴，且CB=4,点P(m,1)在第一象限. B (1)求B,C两点的坐标； (②)是否存在m,使以A,B,O,P为顶点的四边形的面积等于2S。4op？若存在，求出点P的坐标，若不存在， 请说明理由 10.(25-26八年级上·全国·随堂练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A0,a,Bb,0),C(3,c)三点， 且a,b满足关系式a-2+Vb-3=0,BC=20A. N (1)a= b= ,C= (②)四边形A0BC的面积为 1 (3)是否存在点Pm,-，m,使得△AOP的面积为四边形A0BC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若 3 不存在，请说明理由 11.(24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为 Aa,0),B(b,0),且a,b满足a=√6-b+√b-6-2,现同时将点A,B分别向上平移4个单位，再向右平移2 个单位，分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD 10/12 专题16 平面直角坐标系中面积问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 类型二、直接利用面积公式求图形的面积 类型三、利用补形法或分割法求图形的面积 类型四、与图形面积相关的点的存在性问题 压轴专练 类型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 1.固定一个，分析另一个：先确定一个点的位置，把它看作固定点。 然后思考另一个点可以在哪些位置移动，通常是在线段上或其延长线上。 2.利用面积公式列方程：无论点怎么动，三角形的面积公式是不变的。 把底和高用未知数表示出来，根据面积相等的条件列出方程求解。 3.检验结果是否符合题意：解出来的结果可能有两个，要判断这两个点 是否都在题目规定的范围内。如果超出了线段范围，那个解就要舍去。 例1．如果，，点在轴上且三角形的面积是，点坐标是 ；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是 【答案】 或 或 【分析】对于求点坐标，根据三角形面积公式，以为底，到轴距离为高计算；求点坐标，分和两种直角情况，利用直角三角形性质或勾股定理求解．本题主要考查了坐标与图形性质以及直角三角形的性质，熟练掌握三角形面积公式和直角三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解： 设， ， ， 点到轴距离为， ， ， ， 或， 或， 或； 设， 情况一：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， 或（舍去）， ； 情况二：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ； 情况三：， 根据勾股定理，，即， 解得， 此时点与点重合，无法构成三角形，故舍去， 故答案为：或；或． 【变式1-1】已知，，点在轴上，且三角形的面积是2，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，则，根据三角形的面积是2，得到，解之即可得到答案． 【详解】解：设点P的坐标为，则， ∵三角形的面积是2， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，且满足，过点A作轴于点．若轴上存在点，满足三角形和三角形的面积相等，则点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题考查算术平方根、平方数的非负性及坐标与图形，直角坐标系内求三角形面积；利用坐标确定线段的长度是解题的关键．先求得出点A、B坐标，进而求出，根据题意求出结论即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论． 求出的面积，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到，因此，当D在x轴负半轴上时，同理求出，于是得到，，即可得到D的坐标． 【详解】解：根据题意可得：的面积， 设交x轴于M， 当D在x轴正半轴上时， ∵的面积的面积的面积的面积， ， ， 当D在x轴负半轴上时， 同理求出， 根据图象可得， ，， ∴的坐标是或， 故答案为：或． 类型二、直接利用面积公式求图形的面积 1."套公式"是基础：牢记三角形、平行四边形、梯形等基本图形的面积公式。 解题时，先观察图形，确定它属于哪一种基本图形，然后找到对应的"底"和"高"。 2."找关系"是关键：题目中给出的已知条件，往往不是直接的底和高，而是其他边长或角度。 这时需要利用学过的几何知识，如勾股定理、全等三角形、平行线间的距离处处相等等， 来推导出我们需要的底和高的长度。 3."割补法"是利器：对于一些不规则的复杂图形，可以用"割"或"补"的方法。 把它变成几个我们熟悉的基本图形，再分别计算面积，最后相加或相减。 例2．如图，已知点是平面直角坐标系内的三点，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查直角坐标系中三角形的面积求法，以为底并求出点A到的距离从而求面积是解题的关键．过点A作轴，交x轴于点D，求出和，再用面积公式求解即可． 【详解】解：过点A作轴，交x轴于点D． ， ． ， ， ． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，已知点C的坐标为． (1)求a，b的值； (2)求三角形ABC的面积． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握绝对值、算术平方根的非负性． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值； （2）根据，的值可以确定点A、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：，， 点，点， 又点， ，， ． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中已知，，． (1)求点到轴的距离； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 【答案】(1)3 (2)18 (3)或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，几何图形面积的计算，掌握平面直角坐标系的知识是关键． （1）根据点到坐标轴的距离的计算求解即可； （2）根据两点之间距离的计算得到，点到直线的距离为，根据三角形面积的计算公式求解即可； （3）设点的坐标为，根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为， 点到轴的距离； （2）解：点，点， ， 又点到直线的距离， （平方单位）； （3）解：设点的坐标为， ， ， 解得：，或， 点的坐标为或． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． (1)填空： ， (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积 (3)在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的和为零的性质，三角形的面积等； （1）由非负数的和为零的性质得，，即可求解； （2）由三角形面积得，即可求解； （3）由三角形面积得，即可求解； 理解非负数的和为零的性质，会在平面直角坐标系中求三角形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：由（1）得 ，， ， ； （3）解：当时， ， ， ， 解得：， 点P的坐标为或． 类型三、利用补形法或分割法求图形的面积 1. 分割法：化整为零 - 把一个复杂图形分割成几个简单图形，如三角形、矩形 - 分别计算这些简单图形的面积 - 将所有面积相加，得到原图形的面积 2. 补形法：化零为整 - 把不规则图形补成一个完整的大图形，如矩形、梯形 - 计算出这个大图形的面积 - 减去补上的多余部分的面积，得到原图形的面积 3. 关键在于"怎么分"和"怎么补" - 分割时，尽量让分割线沿着已知边长或垂直于已知边 - 补形时，观察图形缺了哪个角或哪条边，试着把它补成最接近的规则图形 例3．如图，已知点，，，求三角形的面积． 【答案】18 【分析】方法一：如图，作长方形，由可得答案； 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F，由可得答案； 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E，由可得答案． 【详解】解：方法一：如图，作长方形， 则 ． 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F． ∴，，，，， ∴ ． 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E． ∴，，，，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，坐标与图形，熟练的构建与网格三角形面积相关的长方形与梯形是解本题的关键． 【变式3-1】（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 【答案】 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系的特点，图形结合分析，是解题的关键． 如图所示，作轴，作轴，由此可得的值，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 【变式3-2】如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 【答案】(1)20 (2)P点的坐标或． 【知识点】坐标与图形 【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． （1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： ∵，，，， ∴，，，，， 则 ； （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴P点的坐标或． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． （1）根据，，得出，，利用三角形面积公式求出结果即可； （2）作轴于点E，利用割补法求出四边形的面积即可； （3）先求出的面积，分两种情况：当时，，当，，求出的值，进而可得的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：作轴于点E，如图所示： ∵，． ∴，，，， ∴， ， ∴； （3）解：， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 类型四、与图形面积相关的点的存在性问题 1.先假设，后求解 - 先假设满足条件的点是存在的 - 把这个点的坐标或位置设为未知数 - 目标是通过计算验证假设是否成立 2.用面积列方程 - 这是解题的核心步骤 - 用未知数表示出所求图形的底和高 - 根据题目给出的面积关系列出方程 3.求解并检验 - 解出方程，得到未知数的值 - 检验这些解是否符合题目的实际情况 - 比如点是否在线段上，或者在指定的范围内 例4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 【答案】(1)a的值是2，b的值是3 (2) (3)或 【分析】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得a，b的值，其中（3）中注意分类思想和数形结合思想的应用． （1）根据非负数的性质得到，解方程即可得到a，b的值； （2）过点M作轴于点D．根据四边形面积求解即可； （3）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当N在x轴负半轴上时，②当N在y轴负半轴上时，进行讨论得到点N的坐标． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴， 解得． 故a的值是2，b的值是3； （2）解：过点M作轴于点D． 四边形面积 ； （3）解：当时，四边形的面积． ∴， ①当N在x轴的负半轴上时， 设，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当N在y轴负半轴上时， 设，则， ∴， 解得． ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，3，4 (2)9 (3)存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积． （1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由这一条件可求解c的值； （2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可； （3）先表示出的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9； （3）解：存在， ∵，， ∴以为底，点P的横坐标的绝对值为， ∴， ∵的面积为四边形面积的2倍， ∴， 即，解得， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 【变式4-2】如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，其中a，b满足 (1)填空： ， ； (2)若存在一点，点M到x轴的距离是 ， 到y轴的距离是 ，求三角形的面积；  (用含m的式子表示)． (3)在（2）条件下，当时，在x轴上存在一点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)1， (2)5，m， (3)点P的坐标是或 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，则，即可作答． （2）因为点，则点M到x轴的距离是5，到y轴的距离是，则，，再把数值代入进行计算，即可作答． （3）先得，依题意，设点P的坐标是，根据三角形的面积与三角形的面积相等，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵a，b满足 ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵点， ∴点M到x轴的距离是5，到y轴的距离是， 如图，分别过点M，B向y轴作垂线，，垂足分别是N，C， ∵，且，， ∴，， ； （3）解：当时，， 即， ∵点P在x轴上 ∴设点P的坐标是， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得． ∴点P的坐标是 或． 【变式4-3】如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【知识点】乘方的应用、利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积结合列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．根据点A、B的坐标可找出、的长度，再根据三角形的面积公式结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵和， ∴在轴上，在轴上，且，， ∴， 即， 解得：或． 故选：B． 2．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了图形与坐标，先设点的坐标为，结合点，，列式三角形的面积是，因为三角形的面积是，得出，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上 ∴设点的坐标为 依题意， 解得 ∴点的坐标是或 故选：C 3．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据点的坐标求出的长，进而根据三角形的面积列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点和点， ∴，， ∵直线与坐标轴围成的三角形的面积等于， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·北京·开学考试）七个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线l与x轴的交点B的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分列方程求解是解本题的关键．作轴于D，轴于E， 设，则，根据题意有，代入相关数据即可求解． 【详解】解：作轴于D，轴于E ∵， ∴， 设，则， 则根据题意有： ∴， ∴， 解得： ∴直线l与x轴的交点B的横坐标为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 三、解答题 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)   (2)四边形ACED的面积为63 【分析】本题主要考查了图形的平移，点的坐标，四边形的面积等知识点，掌握平移的性质，是解答本题的关键． （1）平移前后两个三角形全等，对应边相等，由此可得点的坐标； （2）根据即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴，， ∵沿轴正方向平移个单位长度得到， ∴，，， ∴点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形可看作是一个长方形和一个三角形的面积之差， ． 8．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，将水平向左平移3个单位，再竖直向下平移2个单位． (1)请画出平移后的，并写出各点的坐标______；______；______； (2)求的面积； (3)在x轴上存在点Q，使得的面积与的面积相等，直接写出点Q的坐标______． 【答案】(1)图见解析，，，， (2) (3) 【分析】（1）根据平移的方向与距离作出平移后的图形，再写出相应点的坐标； （2）利用长方形面积减去周围3个直角三角形面积求解； （3）先交平移到，再利用面积法求得，然后求得即可得到点Q的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形， ，，， 故答案为：，，； （2）的面积=； （3）如图，将向下平移3个单位，再向左平移1个单位，到，则点， 则， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． (1)求两点的坐标； (2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为 【分析】本题主要考查了点坐标与图形、点所在的象限，熟练掌握点坐标的应用是解题关键． （1）先根据点在轴的负半轴上，可得；再根据点在第二象限，轴，且，可得； （2）先求出的面积和的面积，再根据使以为顶点的四边形的面积等于可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵点在轴的负半轴上，， ∴； ∵点在第二象限，轴，且，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴的边上的高为， ∴， ∵以为顶点的四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴存在，使以为顶点的四边形的面积等于，此时点的坐标为． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，3，4 (2)9 (3)存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积． （1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由这一条件可求解c的值； （2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可； （3）先表示出的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9； （3）解：存在， ∵，， ∴以为底，点P的横坐标的绝对值为， ∴， ∵的面积为四边形面积的2倍， ∴， 即，解得， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 11．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足，现同时将点分别向上平移4个单位，再向右平移2个单位，分别得到点的对应点，连接． (1)求点C，D的坐标． (2)求四边形的面积． (3)在y轴上是否存在一点P，连接，，使，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)32 (3)存在，或 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、平移的性质、不等式组的解法，坐标与图形等知识点．掌握相关结论是解题关键． （1）由算术平方根的非负性即可求出点的坐标，根据平移规则可求出点的坐标， （2）结合（1）中点的坐标进一步可求出； （3）确定与点P坐标的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∵A，B分别向上平移4个单位，再向右平移2个单位，分别得到对应点C，D， ∴，． （2）解：∵，，， ∴，， ∴． （3）解：设的纵坐标为m， 则， ∴，即或， ∴P点坐标是或． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，连结． (1)直接写出图中相等的线段、平行的线段； (2)已知，点在轴的正半轴上．点在第一象限内，且，求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点，请你探索是否存在以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段．若存在，求由点为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，面积为1或3 【分析】本题考查平移，直角坐标系中点的坐标； （1）根据平移的性质求解即可； （2）设，则依题意有，连接，根据列方程求解即可； （3）根据平移和，得到在轴上，轴，则，求得或，求出和的坐标，再求由点为顶点的四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段平移至线段， ∴； （2）解：连结， ∵， ∴向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度得到， ∵将线段平移至线段， ∴， ∴向右平移1和单位长度再向下平移2个单位长度得到， 设， ∴向右平移1和单位长度再向下平移2个单位长度得到， ∴ ， 解得； ∴，； （3）解：存在， ∵以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段． ∴， ∵， ∴在轴上，轴， ∵ ∴， ∴，或． ∴或， 如图， 当时，轴，； 当时，轴，； 或． 13．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知点，满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上平移运动，设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)存在， (3)不变，定值为3 【分析】本题考查非负性，坐标与图形，坐标与平移，正确的求出点的坐标，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）非负性求出的值，进而得到的坐标，平移求出坐标即可； （2）过D作的延长线，垂足为H，设M点坐标为，连接，根据，列出方程进行求解即可； （3）分当点N在线段上和点N运动到线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平移， ∴，，即：，； （2）解：存在 过D作的延长线，垂足为H，如图所示： ∵点C和点D的坐标分别为和， ， 设M点坐标为，连接， ， ， ，即，解得， 存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变 理由如下： 当点N在线段上时，如图所示，设运动时间为t秒，， 过D作的延长线，垂足为H，连接， ， ， 当点N运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为t秒，，连接， ； 为定值3，故其值不会变化． 14．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． (1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______； (2)若点P在x轴上，且使得三角形的面积是三角形面积的倍，求点P坐标； (3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求m，n之间满足的关系式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质，平移的性质即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）根据三角形的面积公式列方程即可得到m，n之间满足的关系． 【详解】（1）解：， ，， ，, ，， 将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段， ，； 故答案为：，； （2）由（1）可知，，，， ， ， ， ，且点P在x轴上，， ， ， ， 点P的坐标为或； （3）已知，如图所示，连接， ，，， ， ， ∵三角形与三角形面积之比为， ， 化简得：． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，平移的性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $