专题04 平面直角坐标系（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学期末复习讲义以平面直角坐标系为核心，通过表格系统梳理“点的坐标特征”“图形变换”“几何图形判定”“面积计算”四大核心考点，明确复习目标与考情规律，再分知识点细化坐标系构成、坐标变换等基础内容，用示例标注易错点，构建“考点-知识-应用”的递进脉络。 讲义亮点在于分层题型设计与方法建模，题型一“坐标变换与规律探究”通过典例引导学生用抽象能力分析复合变换，题型二“几何图形判定与面积计算”提供“算边长-判形状-割补法”答题模板，培养几何直观与推理意识。配套基础、重难、综合三级练习，助力分层提升，教师可据此实施精准教学，学生能自主梳理知识漏洞。

专题04 平面直角坐标系（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 点的坐标特征与位置确定 能根据点的坐标判断其所在象限或坐标轴，能根据点到坐标轴的距离写出其坐标。 基础送分题，常以填空、选择形式出现。易错点在于：①各象限内坐标符号特征记混；②坐标轴上的点（x，0）、（0，y）特征不清。 坐标方法下的图形变换（对称、平移） 能熟练写出点关于x轴、y轴、原点对称的坐标，以及点按规则平移后的坐标。 期末高频考点，常与函数图象、几何图形结合考查。核心在于掌握变换规律（“关于谁对称谁不变，另一个变号”等），并能在复杂图形中应用。 坐标系中几何图形性质与判定 能在坐标系中利用勾股定理求两点间距离，并能根据顶点坐标判断三角形的形状（等腰、直角等）或四边形的类型。 期末解答题的核心题型，综合性强。难点在于将几何条件（如两边相等、垂直）转化为坐标或距离的等量关系，涉及方程思想。 坐标系中的面积计算（割补法） 能利用“水平宽×铅垂高”等方法，计算由已知坐标点围成的多边形（特别是三角形）的面积。 期末填空或解答的压轴题型，考查转化与建模能力。关键在于将不规则图形转化为规则图形的和差，避免随意分割导致计算复杂。 知识点01 平面直角坐标系与点的坐标 1.坐标系构成：由两条互相垂直、原点重合的数轴组成。水平的数轴称为x轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴（纵轴），取向上为正方向。 2.点的坐标：对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a， b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a, b)叫做点P的坐标。记作P(a, b)。 3.点的位置特征： （1）各象限内：第一象限(+, +)；第二象限(-, +)；第三象限(-, -)；第四象限(+, -)。 （2）坐标轴上：x轴上的点纵坐标为0，即(x, 0)；y轴上的点横坐标为0，即(0, y)；原点坐标为(0, 0)。 ·示例：点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，且在第二象限，则其坐标为(-2, 3)。若只说“距离”，坐标应取绝对值，再根据象限确定符号。 ·易错点：①写坐标时顺序错误，必须是(横坐标，纵坐标)。②点到x轴的距离等于|纵坐标|，到y轴的距离等于|横坐标|，两者容易记反。 知识点02 坐标与图形变换（对称与平移） 1.对称变换： （1）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 (x, y) → (x, -y) （2）关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 (x, y) → (-x, y) （3）关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数。 (x, y) → (-x, -y) 2.平移变换： （1）左右平移：向左平移a个单位，横坐标减a；向右平移a个单位，横坐标加a。纵坐标不变。 （2）上下平移：向下平移b个单位，纵坐标减b；向上平移b个单位，纵坐标加b。横坐标不变。 口诀：“左减右加，下减上加”。 3.核心思想：图形上所有点都进行相同的坐标变换，图形的形状和大小不变。 ·易错点：平移时，坐标加减的方向容易弄反。牢记：平移是坐标系不动，点移动。点向右（x轴正方向）移动，横坐标才增加。 题型一 坐标变换与规律探究的综合应用 解｜题｜技｜巧 当题目涉及点的连续多次对称或平移，或图形整体变换时，按步骤操作。 1.单点变换：严格应用坐标变换规则，逐步推导。 2.图形变换：通常只需变换关键点（如顶点）的坐标，然后连接新点即得新图形。 3.规律探究：对于循环变换（如“先关于x轴对称，再向右平移2个单位”为一个周期），先计算1-2个周期，观察坐标变化规律，再利用规律快速求解。 易｜错｜点｜拨 进行复合变换时，顺序不同结果可能不同。务必按题目描述的先后顺序依次执行变换。变换过程中，建议将每步结果写在旁边，避免混乱。 【典例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（a，b），对于点P和正实数m给出如下定义：若|a|≤|b|，点P向右平移m个单位长度，再关于x轴对称，得到点P′；若|a|＞|b|，点P向上平移m个单位长度，再关于y轴对称，得到点P′，称点P′为点P的“m﹣变换”点，点P为点P′的“反m﹣变换”点．例如，已知A（5，2），B（﹣2，﹣3），当m＝2时，点A的“2﹣变换”点为A′（﹣5，4），点B的“2﹣变换”点为B′（0，3）． （1）当m＝3时，①已知点P（﹣1，0），则点P的“3﹣变换”点P′的坐标为 　 　 ； ②点M′（1，3）的“反3﹣变换”点M坐标为 　 　 ，点N′（﹣2，3）的“反3﹣变换”点N坐标为 　 　 ． （2）已知C（8，0），D（8，6），E（0，6），记长方形OCDE上及内部所有点的“反m﹣变换”点组成的图形面积为S． ①当m＝4时，S＝ 　 　 ； ②当0＜m＜6时，S＝ 　 　 ．（用含m的式子表示） 【典例2】在平面直角坐标系中，若点M与x轴的距离为m个单位长度（m≥0），将点M向右平移m个单位长度得到点N，则我们将点N叫作点M的“距移点”．例如：点A（1，2）与x轴的距离为2为个单位长度，将点A（1，2）向右平移2个单位长度得到点B（3，2），则我们将点B（3，2）叫作点A（1，2）的“距移点”．再如，点M（﹣1，﹣3）与x轴的距离为3为个单位长度，将点M（﹣1，﹣3）向右平移3个单位长度得到点N（2，﹣3），则我们将点N（2，﹣3）叫作点M（﹣1，﹣3）的“距移点”． 请根据“距移点”的定义回答下列问题． （1）点（﹣1，3）的“距移点”坐标为 　 　 ； （2）点（2，e）的“距移点”是其本身，e＝　 　 ； （3）位于第二象限的点（﹣2，d）的“距移点”在y轴上，d＝　 　 ； （4）若点（﹣3，f）与其“距移点”关于y轴对称，则f＝　 　 ； （5）如图，点K（﹣3，3），L（﹣3，﹣3）与原点O构成△OKL，动点P从点K出发，沿着K→O→L→K最终回到点K并停止运动，在点P的运动过程中，其“距移点”P也随之运动，请在如图中画出P'的完整运动路线图，并在路线图顶点处用M，N，E，F…等大写英文字母标记出来．（注意线条清晰流畅，有勾抹扣分）． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（4，﹣1），B（3，4），C（﹣3，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）若点P（a+1，a﹣b）与点B关于x轴对称，求a，b的值； （3）连接AA1，A1P，PA，求△AA1P的面积． 【变式2】在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（4，3），将点A向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点C． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC； （2）判断△ABC的形状并说明理由． 题型二 坐标系中几何图形的判定与面积计算 答｜题｜模｜板 1.已知顶点坐标，判定图形形状： （1）步骤1（算边长）：利用距离公式计算各边长度。 （2）步骤2（判等腰/等边）：若有两边相等，则为等腰三角形；若三边相等，则为等边三角形。 （3）步骤3（判直角）：利用勾股定理逆定理，检查是否有两边的平方和等于第三边的平方。 2.求多边形（特别是三角形）面积： （1）万能策略（割补法）：将图形放入一个矩形中，用矩形面积减去周围几个直角三角形的面积。 （2）三角形面积公式法： 水平宽×铅垂高法：S△ = × |水平宽| × |铅垂高|。即过三角形三个顶点中横坐标最大和最小的点作y轴的平行线，其距离为水平宽；过第三个顶点作水平宽的垂线，其长度为铅垂高。 直接坐标公式（选学）：若A(x₁，y₁)， B(x₂，y₂)， C(x₃，y₃)，则S△ =|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)| （3）步骤：先画出草图并标出坐标，选择最简便的方法列出算式，最后计算。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2）． （1）将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）直接写出点A1，B1，C1的坐标； （3）求△ABC的面积． 【典例2】在直角坐标系中，已知四边形ABCD各顶点的坐标为：A（0，0）、B（9，0）、C（7，5）、D（2，7）． （1）若将此四边形向左沿水平方向平移3个单位，再向上平移2个单位，请直接写出平移后的A、B、C、D各点的坐标； （2）求S四边形ABCD； （3）在坐标平面中有一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合要求的P点坐标．（平行四边形对边平行且相等） 【变式1】在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（2，3）．若点C为x轴上的一个动点，点D为y轴上的另一个动点． （1）当△ABD的面积等于4时，求点D的坐标． （2）若△ABC为等腰三角形，求点C的坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A在x轴正半轴，点B的坐标为（5，8），AB＝10，BC∥OA交y轴于点C，动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，过点E作EF∥y轴，交折线C﹣B﹣A于点F．设点E的运动时间为t秒（0＜t＜11）． （1）点C的坐标为 　 　 ；t＝　 　 时，直线EF经过点B； （2）如图，点F在边CB上，当t＝2时，求四边形ABFE的周长； （3）当5＜t＜11时，线段BF的长为 　 　 （用含t的代数式表示）； （4）点P在直线EF上，当点P到边OA，边AB，边BC的距离相等时，直接写出t的值． 题型三 坐标系中的动点问题（跨章节/与方程思想、函数初步结合） 答｜题｜模｜板 1.用代数式表示动点坐标：设运动时间为t，根据动点的运动速度、方向、起点，用含t的代数式表示其坐标。 （1）在坐标轴上运动：关注横坐标或纵坐标的变化。 （2）沿平行于坐标轴的直线运动：其中一个坐标固定，另一个坐标随时间变化。 2.将几何条件代数化：将题目中的目标（如“构成等腰三角形”、“面积等于某值”、“两点距离为某值”）转化为关于动点坐标（即关于t）的方程。 （1）等腰三角形：通常分三种情况讨论（哪两边相等），利用距离公式建立方程。 （2）面积问题：用含t的式子表示面积，令其等于给定值。 3.求解并检验：解出时间t，并检验t的值是否在运动过程的有效范围内，以及此时点的位置是否满足题意（如是否构成三角形）。 易｜错｜点｜拨 动点问题常需分类讨论，特别是构成等腰三角形时，要思维严谨，不重不漏。画出示意图有助于分析各种可能情况。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2．点P从点O出发，沿x物以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得到点D，点D随点P的运动面运动，连接DP、DA． （1）点F和点D的坐标分别为：F　 　 ，D　 　 （用含t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，△DPA的面积最大，最大面积为多少？ 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，a）在y轴正半轴上，点B（b，0）在x轴正半轴上，且a，b是方程组的解． （1）直接写出点A的坐标为 　 　 ，点B的坐标为 　 　 ； （2）动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BO方向运动，连接AP，设P点的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当点P在x轴负半轴上时，且S＝6，在y轴负半轴上有一点C，过点B作x轴垂线，与射线PC交于点D，若∠CPO+2∠APO＝180°，PD，连接AD，交OB于点E，求点E的坐标． 【变式1】如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（4，0），C（a，b），点C在第一象限，AC平行于x轴，且AC＝2．点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿y轴向下匀速运动；点Q从点O同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右匀速运动，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止运动．设运动时间为t（t＞0）秒．问： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）当t＝3时，求三角形COP的面积； （3）是否存在这样的t，使三角形BCQ的面积是三角形COP的面积的3倍，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.在平面直角坐标系中，点A（5，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（5，4） B．（3，﹣4） C．（﹣5，﹣4） D．（﹣5，4） 2.如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0）、B（0，2），把△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△ACD，则点D的坐标是（　　） A．（﹣5，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣5，2） 3．已知点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣52025 4.已知点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值范围是　 　 ． 5.已知点A（m，2025）与点B（2026，n）关于x轴对称，则m+n＝　 　 ． 6.已知点A（a+1，2a﹣5）在第四象限，且点A到x轴的距离与它到y轴的距离相等，则a＝　 　 ． 7.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m﹣6，4﹣2m）． （1）若点A在第二、四象限的角平分线上，求点A的坐标； （2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点A的坐标． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣8，12），点C的坐标是（﹣8，2），AB＝AC＝13，则点A的坐标是（　　） A．（3，6） B．（2，7） C．（4，6） D．（4，7） 2.已知点A（﹣2，5），AB∥x轴，且AB＝5，则B点坐标是（　　） A．（3，5） B．（﹣7，5） C．（﹣2，10）或（﹣2，0） D．（3，5）或（﹣7，5） 3.如图，A（0，6），B（6，0），点D在AB上，点E在A上，且AD＝OE，连BE、OD，求当BE+OD最小时∠BOD的度数为　 　 °． 4.如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为（﹣4，1），点E的坐标为（3，﹣1）． （1）在图中画出这个平面直角坐标系； （2）直接写出点B，C，D的坐标； （3）求出D点到y轴再到E点的最短路径． 5.在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．已知：如图，A（1，2），B（﹣3，0）． （1）若点C的坐标为（2，﹣1），则A，B，C三点的“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝3，“矩面积”S＝ah＝　 　 ； （2）点P在x轴上，若A，B，P三点的“矩面积”为10，直接写出点P的坐标　 　 ； （3）点M（m，4m）， ①若A，B，M三点的“矩面积”为8，直接写出满足题意的m的取值范围； ②若m＞1，直接写出A，B，M三点的“矩面积”S的取值范围 　 ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.三名工人加工同一种零件．他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3，若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3大小关系是_________ ． 2．如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在x轴上，CD交y轴于点F，AB＝7，BO＝BC＝3，∠OAD的平分线交CD于点E，连接BF． （1）点E的坐标为 　 　 ； （2）如图2，在线段AB上有点G，连接DG，使得∠DGA＝30°．在平面内滑动△AED将其记为△A1E1D1（滑动过程中，△A1E1D1与△AED的大小、形状保持不变），点E1沿射线EA方向滑动，点A1始终在x轴上滑动，E1H是△A1E1D1的平分线．当E1H所在直线与△AGD的边平行时，求∠AA1E1的度数． （3）如图3，H（﹣6，0），N（n，0）为x轴正半轴上点，M（0，m）为y轴上的点，连接NC交BF于点Q，若n+|m|＝8，以H、Q、N、M为顶点围成图形的面积是否有最大值？若有请直接写出面积最大值，若没有请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，3），B（5，b），且，点C从点O出发，以每秒3个单位的速度向y轴的负方向运动，设运动时间为t秒． （1）a＝ 　 ，b＝ 　 　 ； （2）如图（1），连接OB，AC交于点D，则当点C运动多少秒时，S△ABD＝S△COD； （3）如图（2），直线GH交x轴于点H（6，0），交y轴于点G（0，3），再将GH平移ME，点H与点E对应，点G与点M对应，点E坐标为（0，﹣5），直线EM交x轴于点F．第三象限有一点P（m，n），满足S△GHP＝S△EFP，求m与n的数量关系． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面直角坐标系（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 点的坐标特征与位置确定 能根据点的坐标判断其所在象限或坐标轴，能根据点到坐标轴的距离写出其坐标。 基础送分题，常以填空、选择形式出现。易错点在于：①各象限内坐标符号特征记混；②坐标轴上的点（x，0）、（0，y）特征不清。 坐标方法下的图形变换（对称、平移） 能熟练写出点关于x轴、y轴、原点对称的坐标，以及点按规则平移后的坐标。 期末高频考点，常与函数图象、几何图形结合考查。核心在于掌握变换规律（“关于谁对称谁不变，另一个变号”等），并能在复杂图形中应用。 坐标系中几何图形性质与判定 能在坐标系中利用勾股定理求两点间距离，并能根据顶点坐标判断三角形的形状（等腰、直角等）或四边形的类型。 期末解答题的核心题型，综合性强。难点在于将几何条件（如两边相等、垂直）转化为坐标或距离的等量关系，涉及方程思想。 坐标系中的面积计算（割补法） 能利用“水平宽×铅垂高”等方法，计算由已知坐标点围成的多边形（特别是三角形）的面积。 期末填空或解答的压轴题型，考查转化与建模能力。关键在于将不规则图形转化为规则图形的和差，避免随意分割导致计算复杂。 知识点01 平面直角坐标系与点的坐标 1.坐标系构成：由两条互相垂直、原点重合的数轴组成。水平的数轴称为x轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴（纵轴），取向上为正方向。 2.点的坐标：对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a， b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a, b)叫做点P的坐标。记作P(a, b)。 3.点的位置特征： （1）各象限内：第一象限(+, +)；第二象限(-, +)；第三象限(-, -)；第四象限(+, -)。 （2）坐标轴上：x轴上的点纵坐标为0，即(x, 0)；y轴上的点横坐标为0，即(0, y)；原点坐标为(0, 0)。 ·示例：点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，且在第二象限，则其坐标为(-2, 3)。若只说“距离”，坐标应取绝对值，再根据象限确定符号。 ·易错点：①写坐标时顺序错误，必须是(横坐标，纵坐标)。②点到x轴的距离等于|纵坐标|，到y轴的距离等于|横坐标|，两者容易记反。 知识点02 坐标与图形变换（对称与平移） 1.对称变换： （1）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 (x, y) → (x, -y) （2）关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 (x, y) → (-x, y) （3）关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数。 (x, y) → (-x, -y) 2.平移变换： （1）左右平移：向左平移a个单位，横坐标减a；向右平移a个单位，横坐标加a。纵坐标不变。 （2）上下平移：向下平移b个单位，纵坐标减b；向上平移b个单位，纵坐标加b。横坐标不变。 口诀：“左减右加，下减上加”。 3.核心思想：图形上所有点都进行相同的坐标变换，图形的形状和大小不变。 ·易错点：平移时，坐标加减的方向容易弄反。牢记：平移是坐标系不动，点移动。点向右（x轴正方向）移动，横坐标才增加。 题型一 坐标变换与规律探究的综合应用 解｜题｜技｜巧 当题目涉及点的连续多次对称或平移，或图形整体变换时，按步骤操作。 1.单点变换：严格应用坐标变换规则，逐步推导。 2.图形变换：通常只需变换关键点（如顶点）的坐标，然后连接新点即得新图形。 3.规律探究：对于循环变换（如“先关于x轴对称，再向右平移2个单位”为一个周期），先计算1-2个周期，观察坐标变化规律，再利用规律快速求解。 易｜错｜点｜拨 进行复合变换时，顺序不同结果可能不同。务必按题目描述的先后顺序依次执行变换。变换过程中，建议将每步结果写在旁边，避免混乱。 【典例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（a，b），对于点P和正实数m给出如下定义：若|a|≤|b|，点P向右平移m个单位长度，再关于x轴对称，得到点P′；若|a|＞|b|，点P向上平移m个单位长度，再关于y轴对称，得到点P′，称点P′为点P的“m﹣变换”点，点P为点P′的“反m﹣变换”点．例如，已知A（5，2），B（﹣2，﹣3），当m＝2时，点A的“2﹣变换”点为A′（﹣5，4），点B的“2﹣变换”点为B′（0，3）． （1）当m＝3时，①已知点P（﹣1，0），则点P的“3﹣变换”点P′的坐标为 　 　 ； ②点M′（1，3）的“反3﹣变换”点M坐标为 　 　 ，点N′（﹣2，3）的“反3﹣变换”点N坐标为 　 　 ． （2）已知C（8，0），D（8，6），E（0，6），记长方形OCDE上及内部所有点的“反m﹣变换”点组成的图形面积为S． ①当m＝4时，S＝ 　 　 ； ②当0＜m＜6时，S＝ 　 　 ．（用含m的式子表示） 【解答】解：（1）当m＝3时， ①因为|﹣1|＞0， 所以点P（﹣1，0）向上平移3个单位得到（﹣1，3）， （﹣1，3）关于y轴对称得到P′的坐标为（1，3）， 则点P的“3﹣变换”点为（1，3）．‘ 故答案为：（1，3）； ②点M′（1，3）的“反3﹣变换”： 第一种情况：设M（a，b），若|a|≤|b|， 则点M′（1，3）先关于x轴对称得到（1，﹣3）， （1，﹣3）向左平移3个单位得到M的坐标为（﹣2，﹣3）， 此时|﹣2|＜|﹣3|符合题意，M的坐标为（﹣2，﹣3）． 第二种情况：设M（a，b），若|a|＞|b|， 则点M′（1，3）先关于y轴对称得到（﹣1，3）， （﹣1，3）向下平移3个单位得到M的坐标为（﹣1，0）， 此时|﹣1|＞0符合题意，M的坐标为（﹣1，0）， 综上可得，M的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣1，0）． 点N′（﹣2，3）的“反3﹣变换”： 第一种情况：设N（c，d），若|c|≤|d|， 所以点N′（﹣2，3）先关于x轴对称得到（﹣2，﹣3）， （﹣2，﹣3）向左平移3个单位得到N的坐标为（﹣5，﹣3）， 此时|﹣5|＞|﹣3|不符合题意． 第二种情况：设N（c，d），若|c|＞|d|， 则点N′（﹣2，3）先关于y轴对称得到（2，3）， （2，3）向下平移3个单位得到N的坐标为（2，0）， 此时|2|＞0符合题意，N的坐标为（2，0）， 综上可得，N的坐标为（2，0）． 故答案为：M（﹣2，﹣3）或（﹣1，0），N（2，0）． （2）①当m＝4时， 对于C（8，0），|8|＞|0|，向上平移4个单位得到（8，4）， （8，4）关于y轴对称得到C′的坐标为（﹣8，4）； 对于D（8，6），|8|＞|6|，向上平移4个单位得到（8，10）， （8，10）关于y轴对称得到D′的坐标为（﹣8，10）； 对于E（0，6），|0|＜|6|，向右平移4个单位得到（4，6）， （4，6）关于x轴对称得到E′的坐标为（4，﹣6）； 所以新图形的长为|﹣8﹣4|＝12，宽为|10﹣（﹣6）|＝16， 所以S＝12×16＝192． 故答案为：192； ②当0＜m＜6时， 设长方形OCDE的长为a＝8，宽为b＝6， 对于C（8，0），若|8|＞|0|，向上平移m个单位得到（8，m）， （8，m）关于y轴对称得到C′的坐标为（﹣8，m）； 对于D（8，6），若|8|＞|6|，向上平移m个单位得到（8，6+m）， （8，6+m）关于y轴对称得到D′的坐标为（﹣8，6+m）； 对于E（0，6），若|0|＜|6|，向右平移m个单位得到（m，6）， （m，6）关于x轴对称得到E′的坐标为（m，﹣6）； 所以新图形的长为|﹣8﹣m|＝（8+m），宽为|（6+m）﹣（﹣6）|＝（12+m）， 所以S＝（8+m）（12+m）． 故答案为：（8+m）（12+m）． 【典例2】在平面直角坐标系中，若点M与x轴的距离为m个单位长度（m≥0），将点M向右平移m个单位长度得到点N，则我们将点N叫作点M的“距移点”．例如：点A（1，2）与x轴的距离为2为个单位长度，将点A（1，2）向右平移2个单位长度得到点B（3，2），则我们将点B（3，2）叫作点A（1，2）的“距移点”．再如，点M（﹣1，﹣3）与x轴的距离为3为个单位长度，将点M（﹣1，﹣3）向右平移3个单位长度得到点N（2，﹣3），则我们将点N（2，﹣3）叫作点M（﹣1，﹣3）的“距移点”． 请根据“距移点”的定义回答下列问题． （1）点（﹣1，3）的“距移点”坐标为 　 　 ； （2）点（2，e）的“距移点”是其本身，e＝　 　 ； （3）位于第二象限的点（﹣2，d）的“距移点”在y轴上，d＝　 　 ； （4）若点（﹣3，f）与其“距移点”关于y轴对称，则f＝　 　 ； （5）如图，点K（﹣3，3），L（﹣3，﹣3）与原点O构成△OKL，动点P从点K出发，沿着K→O→L→K最终回到点K并停止运动，在点P的运动过程中，其“距移点”P也随之运动，请在如图中画出P'的完整运动路线图，并在路线图顶点处用M，N，E，F…等大写英文字母标记出来．（注意线条清晰流畅，有勾抹扣分）． 【解答】解：（1）由“距移点”的定义可知，点（﹣1，3）的“距移点”坐标为（﹣1+3，3），即（2，3）， 故答案为：（2，3）； （2）由“距移点”的定义可知，点（2，e）的“距移点”为（2+|e|，e）， 由于点（2，e）的“距移点”是其本身，即2＝2+|e|， 解得e＝0， 故答案为：0； （3）∵点（﹣2，d）第二象限， ∴d＞0， 又∵点（﹣2，d）的“距移点”（﹣2+d，d）在y轴上， ∴﹣2+d＝0， 解得d＝2， 故答案为：2； （4）∵点（﹣3，f）与其“距移点”（﹣3+|f|，f）关于y轴对称， ∴﹣3﹣3+|f|＝0， 解得f＝±6， 故答案为：±6； （5）如图，点K（﹣3，3）的“距移点”为A（0，3）， 当点P在KO上移动时，其“距移点”P'相应的在AO上移动， 同理可得当点P在OL上移动时，其“距移点”P'相应的在OB上移动， 当点P在LC上移动时，其“距移点”P'相应的在BC上移动， 当点P在CK上移动时，其“距移点”P'相应的在CA上移动， 点P'的运动路线图详见图示． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（4，﹣1），B（3，4），C（﹣3，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）若点P（a+1，a﹣b）与点B关于x轴对称，求a，b的值； （3）连接AA1，A1P，PA，求△AA1P的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）∵点P（a+1，a﹣b）与点B（3，4）关于x轴对称， ∴a+1＝3，a﹣b＝﹣4， ∴a＝2，b＝6． （3）△AA1P的面积为12． 【变式2】在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（4，3），将点A向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点C． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC； （2）判断△ABC的形状并说明理由． 【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求； （2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下： ∵AB，BC，AC， ∴AB＝AC， ∵AB2+AC2＝BC2＝26， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC是等腰直角三角形． 题型二 坐标系中几何图形的判定与面积计算 答｜题｜模｜板 1.已知顶点坐标，判定图形形状： （1）步骤1（算边长）：利用距离公式计算各边长度。 （2）步骤2（判等腰/等边）：若有两边相等，则为等腰三角形；若三边相等，则为等边三角形。 （3）步骤3（判直角）：利用勾股定理逆定理，检查是否有两边的平方和等于第三边的平方。 2.求多边形（特别是三角形）面积： （1）万能策略（割补法）：将图形放入一个矩形中，用矩形面积减去周围几个直角三角形的面积。 （2）三角形面积公式法： 水平宽×铅垂高法：S△ = × |水平宽| × |铅垂高|。即过三角形三个顶点中横坐标最大和最小的点作y轴的平行线，其距离为水平宽；过第三个顶点作水平宽的垂线，其长度为铅垂高。 直接坐标公式（选学）：若A(x₁，y₁)， B(x₂，y₂)， C(x₃，y₃)，则S△ =|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)| （3）步骤：先画出草图并标出坐标，选择最简便的方法列出算式，最后计算。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2）． （1）将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）直接写出点A1，B1，C1的坐标； （3）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）∵△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2），将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1， ∴A1（2，3），B1（1，1），C1（4，﹣2）； （3）． 【典例2】在直角坐标系中，已知四边形ABCD各顶点的坐标为：A（0，0）、B（9，0）、C（7，5）、D（2，7）． （1）若将此四边形向左沿水平方向平移3个单位，再向上平移2个单位，请直接写出平移后的A、B、C、D各点的坐标； （2）求S四边形ABCD； （3）在坐标平面中有一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合要求的P点坐标．（平行四边形对边平行且相等） 【解答】解：（1）平移后的A、B、C、D各点的坐标分别为（﹣3，2），（6，2），（4，7），（﹣1，9）； （2）S四边形ABCD2×7（7+5）×52×5， ＝7+30+5， ＝42； （3）AB是对角线时，点P（2，﹣5）， BC是对角线时，点P（16，5）， AC是对角线时，点P（﹣2，5）． 【变式1】在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（2，3）．若点C为x轴上的一个动点，点D为y轴上的另一个动点． （1）当△ABD的面积等于4时，求点D的坐标． （2）若△ABC为等腰三角形，求点C的坐标． 【解答】解：（1）设点D的坐标为（0，m）， ∵A（0，2）， ∴AD＝|m﹣2|， ∵△ABD的面积等于4， ∴， ∴， 解得m＝6或m＝﹣2， ∴点D的坐标为（0，6）或（0，﹣2）； （2）设点C的坐标为（c，0）， ∵A（0，2），B（2，3）， ∴AB2＝（0﹣2）2+（2﹣3）2＝5，AC2＝（c﹣0）2+（0﹣2）2＝c2+4，BC2＝（c﹣2）2+（0﹣3）2＝c2﹣4c+13， 当AC＝AB时，则c2+4＝5， 解得c＝±1， ∴点C的坐标为（﹣1，0）或（1，0）； 当BC＝AB时， ∵， ∴此种情况不成立； 当AC＝BC时，则c2+4＝c2﹣4c+13， 解得， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为（﹣1，0）或（1，0）或． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A在x轴正半轴，点B的坐标为（5，8），AB＝10，BC∥OA交y轴于点C，动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，过点E作EF∥y轴，交折线C﹣B﹣A于点F．设点E的运动时间为t秒（0＜t＜11）． （1）点C的坐标为 　 　 ；t＝　 　 时，直线EF经过点B； （2）如图，点F在边CB上，当t＝2时，求四边形ABFE的周长； （3）当5＜t＜11时，线段BF的长为 　 　 （用含t的代数式表示）； （4）点P在直线EF上，当点P到边OA，边AB，边BC的距离相等时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）∵点B的坐标为（5，8），BC∥OA交y轴于点C， ∴BC＝5，OC＝8， ∴C（0，8）， ∵5÷1＝5， ∴t＝5时，直线EF经过点B． 故答案为：（0，8），5． （2）如图1中，过点B作BG⊥OA于点G， ∵BC∥OA，EF∥y轴， ∴四边形OEFC是平行四边形， ∴EF＝OC＝8，OE＝CF， ∴当t＝2时，OE＝CF＝2， ∵BG＝8，AB＝10， 在Rt△AGB中，AG6， ∵四边形COGB是矩形， ∴BC＝OG＝5， ∴OA＝OG+GA＝5+6＝11， ∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2＝3， ∴AE＝OA﹣OE＝11﹣2＝9， ∴四边形ABFE的周长＝AE+AB+BF+EF＝9+10+3+8＝30． （3）如图2中， ∵EF∥BG， ∴， ∴， ∴AF（11﹣t）， ∴BF＝AB﹣AF＝10（11﹣t）t． 故答案为：t． （4）如图3中，由题意点P在线段OC的垂直平分线与∠OAB的角平分线的交点处，连接PB，过点P作PJ⊥AB于J． 由题意，PE＝PF＝PJ＝4， ∵S四边形AEFB•（AE+BF）•EF＝2S△APB， ∴（11﹣t+5﹣t）×8＝210×4， 解得t＝3， ∴t＝3时，点P到边OA，边AB，边BC的距离相等 题型三 坐标系中的动点问题（跨章节/与方程思想、函数初步结合） 答｜题｜模｜板 1.用代数式表示动点坐标：设运动时间为t，根据动点的运动速度、方向、起点，用含t的代数式表示其坐标。 （1）在坐标轴上运动：关注横坐标或纵坐标的变化。 （2）沿平行于坐标轴的直线运动：其中一个坐标固定，另一个坐标随时间变化。 2.将几何条件代数化：将题目中的目标（如“构成等腰三角形”、“面积等于某值”、“两点距离为某值”）转化为关于动点坐标（即关于t）的方程。 （1）等腰三角形：通常分三种情况讨论（哪两边相等），利用距离公式建立方程。 （2）面积问题：用含t的式子表示面积，令其等于给定值。 3.求解并检验：解出时间t，并检验t的值是否在运动过程的有效范围内，以及此时点的位置是否满足题意（如是否构成三角形）。 易｜错｜点｜拨 动点问题常需分类讨论，特别是构成等腰三角形时，要思维严谨，不重不漏。画出示意图有助于分析各种可能情况。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2．点P从点O出发，沿x物以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得到点D，点D随点P的运动面运动，连接DP、DA． （1）点F和点D的坐标分别为：F　 　 ，D　 　 （用含t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，△DPA的面积最大，最大面积为多少？ 【解答】解：（1）设OP＝t，将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得到点D，点D随点P的运动面运动， ∵OA＝4，OC＝2， ∴F（，1），D（t+1，）． 故答案为：F（，1），D（t+1，）； （2）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动， ∴OP＝t，而OC＝2， ∴P（t，0）， 设CP的中点为F，C（0，2）， 则F点的坐标为（，1）， ∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，）； ∵D点坐标为（t+1，），OA＝4， ∴S△DPAAP（4﹣t）（4t﹣t2）， ∴当t＝2时，S最大＝1； 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，a）在y轴正半轴上，点B（b，0）在x轴正半轴上，且a，b是方程组的解． （1）直接写出点A的坐标为 　 　 ，点B的坐标为 　 　 ； （2）动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BO方向运动，连接AP，设P点的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当点P在x轴负半轴上时，且S＝6，在y轴负半轴上有一点C，过点B作x轴垂线，与射线PC交于点D，若∠CPO+2∠APO＝180°，PD，连接AD，交OB于点E，求点E的坐标． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴A（0，6），B（4，0）， 故答案为（0，6），（4，0）； （2）当点P在线段BO上时，OP＝4﹣t， ∴SOP•OA（4﹣t）×6＝12﹣3t（0≤t＜4）； 当点P在线段BO延长线上时，OP＝t﹣4， ∴SOP•OA（t﹣4）×6＝3t﹣12（t＞4）． （3）由（2）得：3t﹣12＝6， 解得t＝6， ∴BP＝6， ∵A（0，6），B（4，0）， ∴OA＝6，OB＝4， 过点A作AF⊥DP，交DP的延长线于点F， ∵∠CPO+2∠APO＝180°，∠CPO+∠APO+∠APF＝180°， ∴∠APF＝∠APO， 在△AFP和△AOP中， ， ∴△AFP≌△AOP（AAS）， ∴AF＝AO＝6， 过点A作AG⊥DB，交DB的延长线于点G， ∵S四边形APDB＝S△APD+S△ADB，S四边形APDB＝S△APB+S△DPB， ∴S△APD+S△ADB＝S△APB+S△DPB， ∴PB×BD， ∴PD×AF+BD×AG＝PB×OA+PB×BD， ∴6+BD×4＝6×6+6×BD， ∴BD， ∴DG＝BG+BD＝6， ∵S△ADG＝S△DBE+S梯形AGBE， ∴（BE+AG）×BG， ∴DG×AG＝BD×BE+（BE+AG）×BG， ∴BE+（BE+4）×6， ∴BE， ∴OE＝OB﹣BE＝4， ∴． 【变式1】如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（4，0），C（a，b），点C在第一象限，AC平行于x轴，且AC＝2．点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿y轴向下匀速运动；点Q从点O同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右匀速运动，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止运动．设运动时间为t（t＞0）秒．问： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）当t＝3时，求三角形COP的面积； （3）是否存在这样的t，使三角形BCQ的面积是三角形COP的面积的3倍，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵A（0，2），AC平行于x轴，且AC＝2，点C在第一象限， ∴a＝2，b＝2，则C（2，2）， 故答案为：2，2． （2）点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度， ∵A（0，2），B（4，0）， ∴OA＝2，OB＝4， 点Q到达点B所用的时间是4÷1＝4（s）， 当t＝3时，点P（﹣1，0），点Q（3，0），如图所示， 点C（2，2）， ∴OP＝1，AC＝2， ∴， ∴当t＝3时，三角形COP的面积为1． （3）设运动时间为t（t＞0）秒， ∴当0＜t＜2时，OP＝2﹣t，BQ＝4﹣t， ∴，， ∴3（2﹣t）＝4﹣t，解得，t＝1，符合题意； 当2＜t≤4时，OP＝t﹣2，BQ＝4﹣t， ∴，， ∴3（t﹣2）＝4﹣t，解得，，符合题意； 综上所述，当t＝1或时，三角形BCQ的面积是三角形COP的面积的3倍． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.在平面直角坐标系中，点A（5，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（5，4） B．（3，﹣4） C．（﹣5，﹣4） D．（﹣5，4） 【解答】解：点A（5，﹣4）关于原点对称的点的坐标为（﹣5，4）． 故选：D． 2.如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0）、B（0，2），把△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△ACD，则点D的坐标是（　　） A．（﹣5，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣5，2） 【解答】解：∵△ACD由△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到， ∴△ACD≌△AOB， 则AC＝AO，CD＝OB． ∵A（﹣3，0）、B（0，2）， ∴OA＝3，OB＝2， 则AC＝4，CD＝2． ∴点C坐标为（﹣3，3）． 又∵CD⊥AC， ∴点D坐标为（﹣5，3）． 故选：A． 3．已知点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣52025 【解答】解：根据题意可知，m＝﹣3，n＝2（横坐标相反，纵坐标相等）， ∴m+n＝﹣3+2＝﹣1， ∴（m+n）2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 故选：A． 4.已知点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值范围是　 　 ． 【解答】解：由于P′在第四象限，则横坐标大于0，纵坐标小于0， 即， 解不等式3﹣m＞0，得m＜3； 解不等式1﹣m＜0，得m＞1． 因此，m的取值范围是1＜m＜3． 故答案为：1＜m＜3． 5.已知点A（m，2025）与点B（2026，n）关于x轴对称，则m+n＝　 　 ． 【解答】解：根据题意可知，m＝2026，2025＝﹣n， 解得：n＝﹣2025， ∴m+n＝2026+（﹣2025）＝1． 故答案为：1． 6.已知点A（a+1，2a﹣5）在第四象限，且点A到x轴的距离与它到y轴的距离相等，则a＝　 　 ． 【解答】解：∵点A（a+1，2a﹣5）在第四象限， ∴a+1＞0，2a﹣5＜0， ∵点A到x轴的距离与它到y轴的距离相等， ∴a+1＝﹣（2a﹣5）， 解得a． 故答案为：． 7.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m﹣6，4﹣2m）． （1）若点A在第二、四象限的角平分线上，求点A的坐标； （2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点A的坐标． 【解答】解：（1）根据题意可知，m﹣6+4﹣2m＝0， 解得：m＝﹣2． ∴m﹣6＝﹣8，4﹣2m＝8． ∴点A的坐标为（﹣8，8）； （2）根据题意可知，m﹣6＜0，4﹣2m＜0， ∵点A到两坐标轴的距离之和为6， ∴|m﹣6|+|4﹣2m|＝6﹣m+2m﹣4＝6， 解得：m＝4， ∴m﹣6＝﹣2，4﹣2m＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣2，﹣4）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣8，12），点C的坐标是（﹣8，2），AB＝AC＝13，则点A的坐标是（　　） A．（3，6） B．（2，7） C．（4，6） D．（4，7） 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， ∵AB＝AC，且AM⊥BC， ∴BM＝CM， 又∵B（﹣8，12），C（﹣8，2）， ∴BC＝12﹣2＝10， ∴BM＝CM＝5， ∴点M的纵坐标为12﹣5＝7， 则点A的纵坐标为7， AM12， 则﹣8+12＝4， ∴A（4，7）． 故选：D． 2.已知点A（﹣2，5），AB∥x轴，且AB＝5，则B点坐标是（　　） A．（3，5） B．（﹣7，5） C．（﹣2，10）或（﹣2，0） D．（3，5）或（﹣7，5） 【解答】解：由题知， 因为点A（﹣2，5），且AB∥x轴， 所以点B的纵坐标为5． 又因为AB＝5， 则﹣2﹣5＝﹣7，﹣2+5＝3， 所以点B的坐标为（3，5）或（﹣7，5）． 故选：D． 3.如图，A（0，6），B（6，0），点D在AB上，点E在A上，且AD＝OE，连BE、OD，求当BE+OD最小时∠BOD的度数为　 　 °． 【解答】解：∵A（0，6），B（6，0）， ∴OA＝OB＝6， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 作AQ⊥AB且AQ＝OB＝6，连接OQ，交AB于Q， ∵EO＝AD，∠QAD＝∠BOE＝90°， ∴△ADQ≌△OEB（SAS）， ∴DQ＝BE， ∴OD+EB＝OD+DQ＝OQ，OD+EB最小， 此时AQ＝AO， ∵∠OAQ＝90°+45°＝135°， ∴∠AQO＝∠AOQ＝22.5°， ∴∠ADQ＝67.5°， 又∵∠ABO＝45°，∠BDO＝∠ADQ＝67.5°， ∴∠BOD＝67.5°． 故答案为：67.5． 4.如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为（﹣4，1），点E的坐标为（3，﹣1）． （1）在图中画出这个平面直角坐标系； （2）直接写出点B，C，D的坐标； （3）求出D点到y轴再到E点的最短路径． 【解答】解：（1）根据每个小正方形的边长都为1，点A的坐标为（﹣4，1），点E的坐标为（3，﹣1）， 可建立平面直角坐标系如下：点C与原点O重合， （2）由建立的平面直角坐标系可知， 点B的坐标为（﹣5，﹣2），点C的坐标为（0，0），点D的坐标为（2，2）． （3）如图，作点D关于y轴的对称点F，连接DF和EF，且EF与y轴交于点P， 由轴对称的性质可知，PD＝PF， ∴F（﹣2，2）， ∴D点到y轴，再到E点的路径PD+PE＝PF+PE 由两点之间线段最短可知， 当点E，P，F共线时，PF+PE的值最小，最小值为， 即D点到y轴，再到E点的最短路径为． 故答案为：． 5.在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．已知：如图，A（1，2），B（﹣3，0）． （1）若点C的坐标为（2，﹣1），则A，B，C三点的“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝3，“矩面积”S＝ah＝　 　 ； （2）点P在x轴上，若A，B，P三点的“矩面积”为10，直接写出点P的坐标　 　 ； （3）点M（m，4m）， ①若A，B，M三点的“矩面积”为8，直接写出满足题意的m的取值范围； ②若m＞1，直接写出A，B，M三点的“矩面积”S的取值范围 　 ． 【解答】解：（1）∵“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝3， ∴S＝ah＝5×3＝15， 故答案为：15； （2）∵点P在x轴上，A，B，P三点的“矩面积”为10， ∴A，B，P三点的“铅垂高”h＝|2﹣0|＝2， ∴A，B，P三点的“水平底”， 设P（p，0）， 当p＜﹣3时，1﹣p＝5， 解得p＝﹣4， ∴P（﹣4，0）； 当p＞1时，p﹣（﹣3）＝5， 解得；p＝2， ∴P（2，0）； ∴点P的坐标是（2，0）或（﹣4，0）； 故答案为：（2，0）或（﹣4，0）； （3）①∵A（1，2），B（﹣3，0），M（m，4m）， ∴A，B，M三点的“矩面积”为8，即[1﹣（﹣3）]×（2﹣0）＝8， ∴， 解得； ②∵m＞1， ∴4m＞4， ∴“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，a＝m﹣（﹣3）＝m+3＞4， “铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，h＝4m﹣0＝4m＞4， ∴S＝ah＞4×4＝16， ∴S＞16， 故答案为：S＞16． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.三名工人加工同一种零件．他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3，若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3大小关系是_________ ． 【解答】解：由题知， 第i名工人加工的总零件数可表示为点Ai与点Bi的纵坐标之和，加工的总时间可表示为点Ai与点Bi的横坐标之和， 所以AiBi中点的斜率值即表示该工人平均每小时加工的零件数． 如图所示， 所以p1，p2，p3大小关系是：p2＜p3＜p1． 故答案为：p2＜p3＜p1． 2．如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在x轴上，CD交y轴于点F，AB＝7，BO＝BC＝3，∠OAD的平分线交CD于点E，连接BF． （1）点E的坐标为 　 　 ； （2）如图2，在线段AB上有点G，连接DG，使得∠DGA＝30°．在平面内滑动△AED将其记为△A1E1D1（滑动过程中，△A1E1D1与△AED的大小、形状保持不变），点E1沿射线EA方向滑动，点A1始终在x轴上滑动，E1H是△A1E1D1的平分线．当E1H所在直线与△AGD的边平行时，求∠AA1E1的度数． （3）如图3，H（﹣6，0），N（n，0）为x轴正半轴上点，M（0，m）为y轴上的点，连接NC交BF于点Q，若n+|m|＝8，以H、Q、N、M为顶点围成图形的面积是否有最大值？若有请直接写出面积最大值，若没有请说明理由． 【解答】解：（1）∵长方形ABCD， ∴CD＝AB＝7，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠D＝90°， ∵BO＝BC＝3， ∴C（﹣3，3）， ∴CF＝3，OF＝3， ∴DF＝CD﹣CF＝7﹣3＝4， ∵∠OAD的平分线交CD于点E， ∴， ∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠EAD＝45°＝∠EAD， ∴DE＝AD＝3， ∴EF＝DF﹣DE＝1， ∴E（1，3）； 故答案为：（1，3）； （2）由题意可知：∠A1E1D1＝∠AED＝45°， ∵E1H是△A1E1D1的平分线， ∴∠D1E1H＝∠A1E1H＝22.5°， ①当EH∥AG时，如图， 则：∠AA1E1＝∠A1E1H＝22.5°， ②当E1H∥DG时，如图， 则：∠1＝∠DGA＝30°， ∵∠1＝∠A1E1H+∠AA1E1， ∴∠AA1E1＝30°﹣22.5°＝7.5°； ③当E1H∥AD时，延长E1H交AA1于点K，则：∠E1KA＝∠DAA1＝90°， ∴∠E1KA1＝90°， ∴∠AA1E1＝180°﹣∠E1KA1﹣∠HE1A1＝67.5°， 综上：∠AA1E1＝22.5°或∠AA1E1＝7.5°或∠AA1E1＝67.5°； （3）当m≥0时，如图，作QP⊥x轴，QT⊥BC，则：n+m＝8，故m＝8﹣n； 由（1）可知：OB＝BC＝CF＝OF＝3， ∴∠OBF＝∠CBF＝45°， ∵∠QTB＝∠QPB＝90°，BQ＝BQ， ∴△BTQ≌△BPQ（AAS）， ∴PQ＝TQ， ∵N（n，0），H（﹣6，0）， ∴BN＝n+3，HN＝n+6，S△BCN＝S△BNQ+S△BCQ， ∴， ∴以H、Q、N、M为顶点围成图形的面积 ； ∵m+n＝8， ∴n≤8， ∵当n＝8时，， ∴以H、Q、N、M为顶点围成图形的面积最大为当m＜0时， 则：n﹣m＝8，m＝n﹣8， 同理：以H、Q、N、M为顶点围成图形的面积 ， ∵， ∴以H、Q、N、M为顶点围成图形的面积最大值为． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，3），B（5，b），且，点C从点O出发，以每秒3个单位的速度向y轴的负方向运动，设运动时间为t秒． （1）a＝ 　 ，b＝ 　 　 ； （2）如图（1），连接OB，AC交于点D，则当点C运动多少秒时，S△ABD＝S△COD； （3）如图（2），直线GH交x轴于点H（6，0），交y轴于点G（0，3），再将GH平移ME，点H与点E对应，点G与点M对应，点E坐标为（0，﹣5），直线EM交x轴于点F．第三象限有一点P（m，n），满足S△GHP＝S△EFP，求m与n的数量关系． 【解答】解：（1）由知，a＝3，b＝2， 故答案为：3，2； （2）由（1）知：A（﹣3，4），B（﹣5，2）， 如图1，连接OA，过B作BE⊥x于E，过A作AF⊥x轴于F，则BE＝2，OE＝5，AF＝4，OF＝3， ∴EF＝5﹣3＝2， ∴S△AOB＝S梯形BEFA+S△AOF﹣S△BOE＝×（2+3）×23×32×5， 设C运动的时间为t秒时，S△ABD＝S△COD，则OC＝3t（t＞0）， ∴S△ABD+S△AOD＝S△COD+S△AOD， ∴S△AOC＝S△ABO， ∴OC•OF3t•3， 则t＝1； （3）由点G、H的坐标得，直线GH的表达式为：yx﹣5， 当P点在EF上方时，过点P作GH的平行线交y轴于点T，设点T（0，t）， 则S△PEF＝S△TEF＝S△GHP＝S△GHT， 即TE•|xF|GT×xH，即（t+5）×10＝（3﹣t）×6，则t＝﹣2， 设直线PT交x轴于点R，则S△GHR＝S△GHT5×6＝15， 即OG×HRRH＝15， 则RH＝10，则OR＝4， 则S△ORTRO×OT＝44×（﹣n）2×（﹣m）， 即nm﹣2； 当P点在EF下方时，连接EH， 设E点到GH的距离为d， ∴d， ∴3d＝6×8， ∴d， 设P点到EF的距离为h，则P点到GH的距离为h， ∴h（h）， ∴5h＝3（h）， 解得h， 过P点作直线PQ交y轴于Q点，过点E作EN⊥PQ交于N点， ∴NE＝h， 设直线PQ的解析式为yx+b， ∴nm+b， ∴b＝nm， ∴yx+nm， ∴Q（0，nm）， ∴PQm，EQ＝﹣5﹣（nm）， ∴（﹣m）， ∴（5﹣nm）×（﹣m）m， ∴nm﹣17； 综上所述：nm﹣17或nm﹣2． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $