专题12 角的和与差及角平分线问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12角的和与差及角平分线问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、角的和与差的计算问题 类型二、角中单条角平分线的计算问题 类型三、角中双条角平分线的计算问题 类型四、角中多条角平分线的计算问题 类型五、与余角、补角有关的计算问题 压轴专练 典例详解 类型一、角的和与差的计算问题 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2：∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1= ∠AOB-∠2. .B 例1.(24-25七年级下·湖南湘西·开学考试)若∠A0B=90°，∠BOC=30°，则∠AOC的度数是 【变式1-1】(24-25七年级上辽宁盘锦期末)已知∠AOB=90°，∠A0B:∠A0C=3:2,则∠B0C的度数 为 【变式1-2】(2024七年级上·全国·专题练习)以∠AOB的顶点0为端点引射线OC,使 ∠AOC:∠BOC=5:4.若∠AOB=15°，求∠AOC的度数. 【变式1-3】(24-25六年级下山东泰安阶段练习)如图，已知∠AOB=120°，射线OC是∠AOB内部的 一条射线，且∠AOC:∠BOC=1:2. 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求∠AOC的度数： (2)若过点O作射线OD,使∠AOD=2∠AOB,求∠COD的度数. 类型二、角中单条角平分线的计算问题 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是 ∠AOB的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC ∠AOB. 2 -B 例2.(24-25七年级上·全国期末)如图，已知∠AOB=120°，OC是∠A0B内的一条射线，且 ∠AOC:∠BOC=1:2 C ΓA (I)求∠AOC的度数； ②过点0作射线O0,若∠40D-∠A0B,求2c00的度数 【变式2-1】(23-24七年级上广东期末)已知：如图，0是直线AB上的一点，∠C0D=90°，0E平分 ∠BOC. 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (1)若∠AOC=30°，求∠C0E的度数： (2)若∠AOC=a,求∠DOE的度数（用含a的代数式表示）. 【变式2-2】(24-25七年级上·全国·期末)已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC. B ① ② (1)如图①所示，若∠AOC=60°，则∠DOE的度数为 ；若∠AOC=a,则∠DOE的度数为 (用含a的式子表示)： (2)将图①中的∠DOC绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，并说明理 由 【变式2-3】(24-25七年级上·江苏苏州期末)点O为直线AB上一点，在直线AB上方作射线OC,使 ∠BOC=50°，直角三角板DOE的直角顶点放在O处.将直角三角板DOE绕点O转动，在转动过程中，直 角边OE始终保持在直线AB上或上方. B H 图1 图2 备用图 (I)如图1，若三角板DOE的直角边OE在射线OA上，则∠COD=°： (2)绕点O转动三角板DOE, ①如图2，当OE恰好平分∠AOC时，试说明OD平分∠BOC: ②在转动过程中，试探究∠COE与∠BOD之间的数量关系，并给出证明. 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型三、角中双条角平分线的计算问题 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1)双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC; 1 ∠DOE= 结论： <A0C 证明：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC, ∠D0B=40B∠B0E=号B0c 2D0B+∠B0E-408+80c-40c 2 ∠DOE= <400 1 2)双角平分线棋型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC: 结论： DOE-A0C 证明：，OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC, ∠DOB=∠AOB∠BOE=∠BOC 2 BOE-=∠DOB=5∠BOC-1 A0B= 21 ∠AOC 2 ∠D0E=A0C 例3.(24-25七年级下·贵州贵阳·期中)如图，已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平 分∠COB，,∠AOD:∠DOE=4:1. 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 E (1)试说明：OE⊥OF: (2)求∠AOF的度数. 【变式3-1】(24-25七年级上·河南洛阳·期末)如图所示，∠AOB=90°，OM是∠AOC的平分线，ON是 ∠BOC的平分线. B (1)求∠MON的度数： (2)如果∠A0B=100°，那么∠MON等于多少？ (3)如果∠AOB=a,那么∠MON等于多少呢？ 【变式3-2】(23-24七年级上·福建漳州·期末)点O为直线MN上一点，在直线MN同侧作射线OA、OB, 使得∠AOB=90° D O N M- 0 图1 图2 备用图 ()如图1，过点O作射线OC,若OC平分∠M0B，且∠AOC=20°，求∠BON的度数： (2)如图2，过点O作射线OC、OD,若OC平分∠AOM,OD平分∠AOB,且∠COD=78°，求∠BON 的度数： (3)过点O作射线OC,当OA恰好为∠COM的平分线时，另作射线OD,使得OD平分∠AOB,当 ∠COD=a时，求∠BON的度数（用含C的代数式表示）· 【变式3-3】(24-25七年级上·全国·期末)在∠AOB内部作射线OC,OD,OA在OB的右侧，且 ∠AOB=2∠COD 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B -A 图1 图2 ∠AOB=140°，OE ∠AOD,OF 平分 「平分∠B0C,则 EOF= (1)如图1，若 OE∠BOD (2)如图2 平分 ，探究 2A0D与2C0E 之间的数量关系，并证明： ∠COD=m°，OCOD 在OD的左侧，过点0作射线OE,使0C为 OC、∠BOE ∠COD (3)设 的平分线，再作的平分线 OF,若∠COE=2∠EOF,画出相应的图形并求出∠BOE的度数.（用含m的式子表示） 类型四、角中多条角平分线的计算问题 A A2 As M B3 /B2 B B 条件：如图， ∠A0B=a,O4、OB分别是∠A0M和∠M0B的平分线，O4OB,分别是∠AOM和 ∠MOB 的平分线，04、OB分别是∠4OM和∠MOB,的平分线，，OA,OB,分别是∠4，OM和 ∠M0B的平分线：结论：∠A,OB,= 2n 证明：：∠10B=a,O4、OB分别是∠4OM和∠M0B的平分线， ∠40M-40M,∠B0M-soM, ∠408=240M+∠B0M)=A0B=9 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~OA、OB,分别是∠AOM和∠MOB 和 平分线， ∠4oM-40M,∠®.0M-BoM, AoR=方4oM+/A0w)=号408=40B=会， :04、OB分别是A0M和∠MOB,的平分线， ∠4oM=4oM,∠BoM=RoM, ∠A0a-A0M+∠BoM0=A0B=号40a=号408 23， 由此规律得：∠A,OB会。 例4.(24-25七年级下·重庆·开学考试)如图1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，0M在∠AOC内， ON在∠BOD内，∠40M-A0C,∠B0N-B0D.(本题中所有角均大于0且小于等于10》 B B(C) M D 图1 图2 (1)∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON=°： (2)∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°(0<n<180且n≠60a,其中a为正整数)，直接写出所有 使LMON=2∠B0C的n值. 【变式4-1】(24-25七年级上江西上饶期末)定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的 射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条.例如：如图①，若∠BOC=2∠AOC,则OC 是∠AOB的一条三分线， B 图① 图② 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)已知：如图①，OC是∠A0B的一条三分线，且∠B0C>∠AOC,若∠AOB=60°，求∠AOC的度数： ∠AOB=90° OC,OD∠AOB (2)已知： ,如图②，若 是 的两条三分线，求2C00的度数。 【变式4-2】(24-25七年级上·四川成都·期末)若同一平面内三条射线OA、OB、OC有公共端点，且满足 ∠40C=∠B0C时，我们称0C是(O4OB)的“新风尚线”，但OC不是(OBO4)的“新风尚 线”.如果∠40C-B0C或者∠B0C-A0C,我们称OC是O1和OB的“新风简线”. B 图(1) 图(2) (I)如图(1)，已知∠GON=120°，∠MON=60°，OE、OF是∠MON的三等分线，则射线是( OM,ON)的“新风尚线”； (2)如图(2)，若∠AOB=30°，OC是(OA,OB)的“新风尚线”，求∠BOC. 类型五、与余角、补角有关的计算问题 1.记住定义，用好公式 -两个角加起来等于90°，它们互为余角。 - 两个角加起来等于180°，它们互为补角。 -遇到”一个角的余角”或”补角"时，直接用90°或180°减去这个角即可。 2.善用方程，解决复杂问题 -当问题涉及多个角的关系时，设未知数是最佳策略。 -通常设”这个角”为x°，然后根据题意列出方程。 例如：”一个角的补角比它的余角大多少度？” 列出算式：(180-x)-(90-x)=90,轻松求解。 3.利用性质，简化计算 记住一个重要性质：等角或同角的余角相等，补角也相等。 例如：如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3。 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这个性质能帮你绕开复杂计算，直接得出角相等的结论。 例5.(2425七年级下·四川成都阶段练习)己知一个角的余角是这个角的补角的3，求这个角的度数. OC,OD,OE。∠AOB 0平分 ∠DOA 【变式5-1】(24-25七年级上·辽宁朝阳·期末)如图， 是 内三条射线， OC平分∠AOB B (1)已知∠BOD=80°，∠AOE=25°，求∠COD的度数： (2)若∠BOD与∠EOC互余，求∠EOC的度数. 【变式5-2】(24-25七年级上·湖南邵阳·期末)如图，已知直线AB经过点0，∠AOC与∠BOD互余， OE是∠BOC的平分线. F D B ()若∠A0C=30°，则∠D0B=: (2)若∠AOC=30°，求∠D0E的度数： (3)∠AOC=x,直接写出∠DOE=:(用含a的式子表示) 【变式5-3】(24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习)如图，直线AB与CD相交于点O,射线OE在∠BOC 内. B (I)若∠BOD的补角是它的余角的4倍，求∠BOD的度数： (2)在(1)的条件下，若∠COE比∠BOE大10°，则∠COE的度数为 9/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若射线OF平分∠AOC,LE0F=110°，求∠COE-∠BOE的度数. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级上·全国·课后作业)如图，将两个含30°角的三角板按如图方式摆放在水平桌面上，下列 表述正确的是() D B A.∠A=30° B.∠AOD=120° C.∠AOB+∠COD=90° D.∠CD0=60° 2.(24-25七年级上·全国课后作业)如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么 这两个角的度数是() A.40°，130° B.42°，138 C.30°，150° D.40°，138 AB,CD ∠BOD 3.(24-25七年级下·安徽准北期末)如图，直线 相交于点O,OE1CD,OF 分 ∠COF=148°，则∠AOE的度数是() D E B A.24° B.269 C.32 D.36 10/16 专题12 角的和与差及角平分线问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、角的和与差的计算问题 类型二、角中单条角平分线的计算问题 类型三、角中双条角平分线的计算问题 类型四、角中多条角平分线的计算问题 类型五、与余角、补角有关的计算问题 压轴专练 类型一、角的和与差的计算问题 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 例1．（24-25七年级下·湖南湘西·开学考试）若，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的和与差．分两种情况：若在的内部；若在的外部，解答即可． 【详解】解：若在的内部， ∵ ∴； 若在的外部， ∵ ∴； 综上所述，的度数是或． 故答案为：或 【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的和差，解题的关键是采用分类讨论的数学思想． 先根据比值求出的度数，再分情况求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 当点在的内部时，； 当点在的外部时，； ∴的度数为或， 故答案为：或． 【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）以的顶点为端点引射线，使．若，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算．属于基础题，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分射线在的内部和外部两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况：①如图1，当射线在的内部时， ∵， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②如图2，当射线在的外部时， ∵， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【变式1-3】（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）如图，已知，射线是内部的一条射线，且．    (1)求的度数； (2)若过点作射线，使，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为或． 【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）利用角的和的关系，设未知数求解的度数． （2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数． 【详解】（1）解：设， 又，即 ； （2）解：， 情况一：当射线在内部时，如图，   ， 情况二：当射线在外部时，如图，   ， 综上，的度数为或． 类型二、角中单条角平分线的计算问题 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 例2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知，是内的一条射线，且． (1)求的度数； (2)过点O作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） 解：∵， ∴， 当在内时， ， 当在外时， ． ∴的度数为或． 【变式2-1】（23-24七年级上·广东·期末）已知：如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识． （1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数； （2）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再由减去就是的度数． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图①所示，若，则的度数为________；若，则的度数为______（用含a的式子表示）； (2)将图①中的绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究和度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由：见解答过程 【分析】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据即可求解；解法与（1）相同，把（1）中的改成a即可； （2）把的度数作为已知量，求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，再根据求得，即可解决． 【详解】（1）解：∵， ， 又 ∵平分， ， 又 ∵， ； 若，同理； 故答案为：；； （2）解：，理由如下： ，平分， ， ∴ ． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析 【分析】（）根据平角的定义解答即可； （）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ②当在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在下方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型三、角中双条角平分线的计算问题 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 例3．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）由条件可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图所示，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果，那么等于多少？ (3)如果，那么等于多少呢？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线定义可知，，再根据计算，即得答案； （2）根据，，求出结果即可； （3）根据，，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ，， ， ∵， ． （2）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴； （3）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴． 【变式3-2】（23-24七年级上·福建漳州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算． （1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可； （2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可； （3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ． ， ． （3）解：①如图，当在右侧时， 平分，， ． 为的平分线， ， ． ②如图，当在左侧时， 平分， ， ， 为的平分线， ， 的度数为或． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）在内部作射线在的右侧，且． (1)如图1，若平分平分，则 ； (2)如图2平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)设在的左侧，过点O作射线，使为的平分线，再作的平分线，若，画出相应的图形并求出的度数．（用含m的式子表示） 【答案】(1)105° (2) (3)画图见解析， 【分析】本题考查了角的平分线的性质、角的和差运算及几何探究问题，解题的关键是通过设未知数表示相关角的度数，结合角平分线定义和已知条件建立等量关系求解． （1）由的度数得的度数，设和的度数，结合角的和差得两角之和；利用角平分线性质表示相关角，进而通过和差计算的度数． （2）设和的度数，再设和的度数，由角的和差得关系；结合角平分线定义表示，通过和差推出与的数量关系并证明． （3）设的度数，结合角平分线定义表示和的度数；分的两种位置情况，根据建立方程，求解得的度数． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． 设， ∵、、、顺时针顺次排列， ∴，即， ∴． ∵平分平分， ． 故答案为：． （2）解：，证明如下： 设，则． 设， ∵， ∴，即． ∵平分，且， ． ∵， ． 又， ∴， ， ∴，即． （3）解：∵为的平分线， ∴设，则． ∵为的平分线，， ． 分两种情况： ①当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ②当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ∵， ∴此时点A、E、D三点重合，不符合题意． 综上，． 类型四、角中多条角平分线的计算问题 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 例4．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 【变式4-1】（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 【变式4-2】（24-25七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 类型五、与余角、补角有关的计算问题 1.记住定义，用好公式 - 两个角加起来等于 90°，它们互为余角。 - 两个角加起来等于 180°，它们互为补角。 - 遇到"一个角的余角"或"补角"时，直接用 90° 或 180° 减去这个角即可。 2.善用方程，解决复杂问题 - 当问题涉及多个角的关系时，设未知数是最佳策略。 - 通常设"这个角"为 x°，然后根据题意列出方程。 - 例如："一个角的补角比它的余角大多少度？" - 列出算式： (180 - x) - (90 - x) = 90 ，轻松求解。 3.利用性质，简化计算 - 记住一个重要性质：等角或同角的余角相等，补角也相等。 - 例如：如果∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，那么∠2 = ∠3。 - 这个性质能帮你绕开复杂计算，直接得出角相等的结论。 例5．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则它的余角为，它的补角为，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为． 【变式5-1】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）如图，是内三条射线，平分，平分． (1)已知，，求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，求一个角的余角，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）角平分线求出的度数，进而求出的度数，再根据角平分线求出的度数，用进行求解即可； （2）利用角平分线和角的和差关系，根据互余关系得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴， ∵ ， ∴， ∵与互余， ∴， ∴． 【变式5-2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，已知直线经过点，与互余，是的平分线． (1)若，则______； (2)若，求的度数； (3)，直接写出______；（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． （1）根据余角的定义即可求解； （2）根据，结合求得，由角平分线定义得，利用角的差可得结论； （3）根据，结合求得，由角平分线定义得，利用角的差可得结论； 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 【变式5-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，直线与相交于点，射线在内． (1)若的补角是它的余角的倍，求的度数； (2)在（1）的条件下，若比大，则的度数为_________； (3)若射线平分，，求的度数． 【答案】(1)° (2) (3) 【分析】本题考查了余角、补角有关的计算，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键； （1）根据题意列方程，解方程即可求解； （2）根据邻补角得出，结合题意得出，即可求解； （3）根据角平分线的定义得出，根据平角的定义可得，则， 进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． （3）解：如图所示， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将两个含角的三角板按如图方式摆放在水平桌面上，下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，熟练掌握含角的三角板的特征是解题的关键．根据含角的三角板的特征得到，，再通过计算逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了补角的性质，一元一次方程的应用，设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，根据互为补角的两个角的度数相加为列方程求解即可． 【详解】解：设一个角的度数为x，则另一个角的度数为， 根据题意得：， 解得， ∴， ∴这两个角的度数是，． 故选：B． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，先由平角得，平分，得，因为，则，再进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 4．（16-17七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，根据三角板中角度的特点可求出第一幅图和的度数；第二幅图中，根据同角的余角相等可得；根据三角板中角度的特点可求出第三幅图和的度数；第四幅图中，，且，则；据此可得答案． 【详解】解：左边起，第一幅图中，，则； 第二幅图中，根据同角的余角相等可得； 第三幅图中，； 第四幅图中，，且，则； 则的有3个， 故选：C． 5．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②若变小，则也变小；③若，则；④若OM平分平分，则．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差；能熟练利用角平分线及角的和差进行运算是解题的关键．①由已知得，即可判断；②由角的和差得，即可判断；③由角的和差得，即可判断；④由角平分线定义得，，由角的和差得即可判断． 【详解】解：①和都是直角， ， ； 故此项正确； ②和都是直角， ， 变小，则变大； 故此项错误； ③由②得 ， ， ， ， 故此项错误； ④OM平分平分， ， ， ， ； 故此项正确； 故选：B． 6．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在同一平面内，，平分，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 由，根据等角的余角相等得到，可判断①正确；即；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，结合①和可得，从而可判断④正确．进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，故②正确； ∵，而，故③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴，故④正确． 所以，正确的结论有3个． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）若与互余，且，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了互余，角的加减运算．根据与互余，可得，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：与互余， ， ，则 ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是能够正确求出的度数． 根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ； 故答案为：． 9．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，桌面上平放着一把长方形直尺和它上方的一块三角板，小明将三角板的直角顶点C紧靠直尺的边缘，若分别作出与的平分线与．则 ． 【答案】225 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据平角的定义结合角平分线的定义得到，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵与分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：225． 10．（24-25七年级下·山东青岛·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线，例如，如图，，则为的倍分线应用：若，为的二倍分线，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，理解倍分线的定义是解题的关键． 根据为的二倍分线且得出，结合可得求得，进而完成解答． 【详解】解：为的二倍分线，且， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，与互余，且，从O点出发一条射线，若，请你求的度数为 度． 【答案】20或100 【分析】本题主要考查了余角的定义，几何图形中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，则，据此可得，再分在外部和在内部两种情况，根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在外部时， ∵， ∴； 如图所示，当在内部时， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：20或100． 12．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知为从顶点出发的射线，，且，射线平分．平面内有射线和射线，射线平分．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算及角平分线，根据且，可得，根据角的和差关系可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，然后分在的内部和外部两种情况解答即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， 当在的内部时，如图， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 当在的外部时，如图， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）若一个角的补角比这个角的余角的4倍大，求这个角的余角的度数． 【答案】 【分析】此题考查了余角和补角的知识，根据题意列出方程是解题关键．设这个角为，则这个角的补角为，余角为，从而根据题意可列出方程，解出即可得出答案． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，余角为， 依题意得：， 解得， ． 答：这个角的余角的度数是． 14．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 15．（21-22七年级下·浙江温州·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了角的运算． （1）根据和，可以求出，再根据即可求出结果； （2）根据和，即可求出，再根据，即可求出的度数； （3）设，，又因为，即可得到：，因为，即可得到，解方程求出的值，即可得到的度数． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， 设，， 由题意得，， ， ， ， 解得：， ． 16．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知直线与直线交于点O，过点O作． (1)如图1，为内的一条射线，若，求证：． (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）由垂直的定义得到，得到，进而推出，得到，即可证明； （2）平角的定义，求出，由垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，O是直线上的一点，射线、是不与重合的两条射线，，平分． (1)如图1，若，则_____°，_____°； (2)如图2，若，求的度数； (3)当时，直接写出此时的度数． 【答案】(1)120，45 (2) (3)或 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，一元一次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算，，根据平分，故，再把数值代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，设，整理得，故，再运用角的和差关系进行列式计算，即可作答． （3）进行分类讨论，结合图1，根据角的和差关系以及角平分线的定义进行列式计算，得出；图2：先设，得，，结合平分，得，因为，所以， 解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， 故答案为：120，45； （2）解：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， 即． （3）解：如图1： 当时， ∴ 平分， ， ，， ∴ 即 ， ， 如图2： 设， 则，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ 18．（25-26七年级上·全国·期末）如图，钟表上显示的时间是时分． (1)时针与分针的夹角为 ． (2)设时针与分针的交点为，时针为，分针为，过点引一条射线，且平分，平分． ①若在内部，且，则 ． ②若在外部，且，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了钟表角度的计算和角平分线的定义，首先需要计算时针与分针的夹角，其次根据角平分线的定义，计算不同情况下的度数． （1）根据时针每小时转过的角度计算即可得； （2）①当射线在内部时，由平分可知，，由平分可知，，即可得； ②分为两种情况分析： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数． 【详解】（1）时针每小时转过的角度为， 时针与分针的夹角为． （2）①如图1所示，当射线在内部时 平分，平分， ，， ； ②分两种情况： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或．      19．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角的有关计算，涉及了角平分线、余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，理解题意，找到角的和差关系进行求解； （1）根据角的和差关系，即可求解； （2）根据角的和差关系以及角平分线的定义，求解即可； （3）分两种情况，当在的上方时和当在的下方时，利用余角以及角的和差关系，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：①当在的上方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， ②当在的下方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， 综上所述，的度数为：或． 20．（23-24七年级上·天津·期末）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)20或40或80 (3)存在，t的值为36或60 【分析】本题考查角的和差关系，一元一次方程的应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）的度数等于旋转速度乘以旋转时间； （2）当时，分三种情况：射线在左侧；射线在右侧；射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解； （3）分两种情况：射线在上方，射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 度， 故答案为：； （2）解：当时，分三种情况： 当射线在左侧时，如图： ，， ， 即， 解得：； 当射线在右侧时，如图： ， 即， 解得：； 当射线在下方时，如图： ， 解得：； 综上可知，的值为20或40或80． （3）解：由题意得平分， 所以， 当射线在上方时，， 解得； 当射线在下方时， 解得， 综上可知，存在，t的值为36或60． 21．（24-25七年级上·贵州·期末）【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 (4) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算． （1）先求出，进而求出；先求出，进而可得； （2）先求出，再求出，据此可得结论； （3）仿照（2）求解即可； （4）根据可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：；理由如下 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $