第10讲 行程问题（一）：相遇与追及的综合应用（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

· 六年级奥数培优讲义：第10讲 行程问题（一）：相遇与追及的综合应用 知识点梳理 一、行程问题核心概念与公式 1.基本概念 路程：物体运动轨迹的长度（如“两地距离”“跑道长度”等），常用单位：千米（km）、米（m）。 速度：单位时间内通过的路程（如“每小时行驶60千米”“每秒跑5米”），公式：速度=路程÷时间。 时间：物体运动所经历的时长，常用单位：小时（h）、分钟（min）、秒（s），公式：时间=路程÷速度。 2.核心公式 基本关系：路程=速度×时间（对应工程问题“工作总量=工作效率×工作时间”） 变形公式： 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 二、核心题型与技巧 题型1：基础量计算（已知两个量求第三个量） 技巧：直接套用核心公式，若涉及不同单位（如路程千米与米，时间小时与分钟），需先统一单位。 题型2：相遇问题（相向而行/反向而行） 基础相遇：两人从两地出发，相向而行（面对面），相遇时总路程=两人路程之和。 公式：总路程=速度和×相遇时间，相遇时间=总路程÷速度和，速度和=总路程÷相遇时间。 （对应工程问题“合作效率=效率和”，相遇时“速度和”类似“合作效率”） 不同时出发相遇：一方先出发，另一方后出发，先算先走的路程，剩余路程=总路程-先走的路程，相遇时间=剩余路程÷速度和，总时间=先走时间+相遇时间。 题型3：追及问题（同向而行） 基础追及：两人同向出发，慢者在前，快者在后，追及时快者比慢者多走的路程=追及路程（初始距离）。 公式：追及路程=速度差×追及时间，追及时间=追及路程÷速度差，速度差=追及路程÷追及时间。 不同时出发追及：慢者先出发，快者后出发，追及路程=慢者先走的路程，追及时间=追及路程÷速度差，总时间=慢者先走时间+追及时间。 题型4：相遇与追及综合应用 环形跑道问题： 反向而行（相遇）：每相遇一次，两人路程和=跑道周长，相遇次数=总路程和÷跑道周长； 同向而行（追及）：每追上一次，快者比慢者多走=跑道周长，追及次数=路程差÷跑道周长。 往返相遇问题：两人从两地出发相向而行，相遇后继续前进至对方出发点，再返回相遇，总路程=3×两地距离（第二次相遇），相遇时间=总路程÷速度和。 三、常见错误提醒 1.单位不统一：忽略路程、时间单位差异（如“速度60千米/小时”与“时间15分钟”，需将15分钟换算为0.25小时）。 2.速度和/差混淆：相遇问题误用“速度差”，追及问题误用“速度和”（如相遇时用“速度和×时间”，追及时用“速度差×时间”）。 3.追及路程找错：同向而行时，若起点不同，追及路程=初始距离；若同时同地同向出发，初始距离=0，无法追及（除非速度不同，需积累路程差）。 4.环形跑道方向错误：反向而行是相遇（路程和=周长），同向而行是追及（路程差=周长），易混淆方向与公式。 例题讲解 一、基础量计算 例题1：一辆汽车3小时行驶了180千米，这辆汽车的速度是多少？若以同样速度行驶420千米，需要几小时？ 跟踪练习1：小明步行每分钟走60米，他从家到学校走了15分钟，家到学校的路程是多少米？若他跑步速度是步行的2倍，跑步上学需要几分钟？ 二、相遇问题 例题2：甲乙两地相距300千米，客车从甲地出发，每小时行驶60千米；货车从乙地出发，每小时行驶40千米。两车同时出发相向而行，几小时后相遇？相遇时客车行驶了多少千米？ 跟踪练习2：A、B两地相距450米，甲从A地出发，每分钟走50米，2分钟后乙从B地出发，每分钟走40米，两人相向而行，乙出发后几分钟相遇？ 三、追及问题 例题3：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲在乙前方500米处，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。乙出发后几分钟能追上甲？ 跟踪练习3：慢车以每小时40千米的速度从A地出发，1小时后快车以每小时60千米的速度从A地同向追赶，快车出发后几小时能追上慢车？ 四、相遇与追及综合应用 例题4：一个环形跑道长400米，甲、乙两人同时同地出发，反向而行，甲每秒跑3米，乙每秒跑5米。两人第一次相遇需要多少秒？相遇时甲跑了多少米？ 跟踪练习4：环形跑道长600米，甲、乙同时同地同向出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑250米。甲第一次追上乙需要多少分钟？ 提升练习 1．两个港口相距210千米。一艘客轮和一艘货轮同时从两个港口相对开出，经过5小时相遇。客轮的速度是27千米/时，货轮的速度是多少千米/时？ 2．王明家、张立家和新华书店在同一直线上，新华书店在他们两家之间，两人相约从各自家出发，前往新华书店查阅资料。王明骑自行车，每分钟骑行420米；张立步行前往，每分钟行走80米。5分钟后两人在新华书店门口相遇。王明家与张立家相距多少米？（先画图表示出信息和问题，再解答。） 3．2024年5月1日，“青春有约、酷跑一夏”主题活动在遵义市新蒲新区中建方圆荟举行，大淘和小淘两兄弟为了能在这次活动中取得好成绩，利用周末进行跑步锻炼。他们从相距1500米的甲乙两地同时出发，相向而行，已知大淘每分钟比小淘多跑30米。在他们跑出4分钟后，两人相距100米。大淘和小淘的速度各是多少？ 4．甲、乙两车行完同一条路各需8小时和10小时，现在两车同时从这条路的两端相向而行，相遇后继续行驶，经过3小时两车相距216千米，这条路全长多少千米？ 5．甲、乙两辆汽车从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶47千米，乙车每小时行驶33千米，6小时后相遇，A、B两地相距多少千米？ 6．小欣和小成同时从一条环湖路的某地出发，沿相反方向步行。小欣的速度是65米/分，小成的速度是75米/分。经过20分钟两人相遇。 （1）这条环湖路全长多少米？ （2）两人相遇后，小成返回原路，小欣继续前行，这样同向而行，5分钟后两人相距多少米？ 7．一辆小汽车和一辆大货车同时从北京和威宁两地相对开出。小汽车的速度是105千米/时，大货车的速度是75千米/时，13小时后两辆车相遇。北京到威宁的公路长多少千米？ 8．甲、乙两人正在长为100米的直道AB（A、B为直道的两个端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立刻转身跑向A点，到达A点后，又立刻转身跑向B点……若甲的速度为2米/秒，乙的速度为3米/秒，起跑后2分钟内，两人在这段时间内共相遇多少次？ 9．在一个900米的环形跑道上，妙妙和甜甜两人同时从同一起点出发按顺时针方向跑步，两人每隔30分钟相遇一次，若两人速度不变，还是在原来出发点同时出发，妙妙开始按逆时针方向跑，甜甜依旧按顺时针方向跑，则两人每隔6分钟相遇一次，那么两人各跑一圈分别需要多长时间？ 10．在一幅比例尺是1∶6000000的地图上，量得A、B两个城市间的距离是9厘米。客车和货车同时从A、B两城相向开出，4小时相遇。客车和货车的速度比是5∶4。客车每小时行多少千米？ 11．甲、乙两艘轮船分别同时从九州港、中港城两个码头出发，相向而行。甲船每时行23千米，乙船每时行22千米，大约经过2小时两船相遇，九州港、中港城两个码头大约相距多少千米？ 12．两列火车长度分别为280米，200米，速度分别为5米/秒，3米/秒。如果甲在后面追乙，两车交会的时间为多少秒？如果两车从两地分别出发。相向而行，交会的时间为多少秒？ 13．快车每秒行18米，慢车每秒行10米。两列火车同时同方向齐头并进，行10秒钟后快车超过慢车；如果两列火车齐尾并进，则7秒钟后快车超过慢车。求两列火车的长各是多少米？ 14．某市3路公交车从汽车站每隔一定的时间发一次车，小明在街上匀速前进，他发现背后每隔6分钟开过来一辆3路车，而迎面每隔3分钟有一辆3路车开过来，若每辆车之间的距离相等，那么3路车每隔几分钟发出一辆？ 15．甲汽车每小时行35千米，乙汽车每小时行42千米。甲汽车开出3小时后，乙汽车才从同地出发去追甲汽车。再过几小时乙汽车可以追上甲汽车？ 16．两列火车同时开车从甲、乙两地出发，向同一方向前进。慢车在前，每小时行60千米，快车在后，每小时行100千米，经过3小时，快车超过慢车30千米。甲、乙两地相距多少千米？ 17．玲玲从家出发步行去电影院看电影，每分钟走60米，走了10分钟后，妈妈从家骑自行车去追玲玲，结果在距家900米的地方遇到玲玲。妈妈每分钟行驶多少米？ 18．铁路旁有一条小路，一列长140米的火车，以每分钟720米的速度从东向西驶去，8点10分追上一位从东向西行走的工人，20秒钟后又离开这个工人，8点15分迎面遇到一个从西向东行走的学生，10秒后离开这个学生。问工人与学生将在何时相遇？ 19．小汽车和货车的速度之比为5∶6，两车同时从A地出发去B地，货车到达B地后立即原路返回，速度保持不变。小汽车到达B地后原路返回，速度提高25%，小汽车能否在货车返回A地前追上货车？如果追不上，那么小汽车至少提速百分之多少才能在货车返回A地之前追上货车？ 20．张老师从学校步行去公园，每分钟走60米，走了8分钟后，李老师从学校骑自行车去追张老师，结果在距学校720米的地方追上张老师。李老师骑自行车的速度是多少米/分？ 学科网（北京）股份有限公司 $ · 六年级奥数培优讲义：第10讲 行程问题（一）：相遇与追及的综合应用 知识点梳理 一、行程问题核心概念与公式 1.基本概念 路程：物体运动轨迹的长度（如“两地距离”“跑道长度”等），常用单位：千米（km）、米（m）。 速度：单位时间内通过的路程（如“每小时行驶60千米”“每秒跑5米”），公式：速度=路程÷时间。 时间：物体运动所经历的时长，常用单位：小时（h）、分钟（min）、秒（s），公式：时间=路程÷速度。 2.核心公式 基本关系：路程=速度×时间（对应工程问题“工作总量=工作效率×工作时间”） 变形公式： 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 二、核心题型与技巧 题型1：基础量计算（已知两个量求第三个量） 技巧：直接套用核心公式，若涉及不同单位（如路程千米与米，时间小时与分钟），需先统一单位。 题型2：相遇问题（相向而行/反向而行） 基础相遇：两人从两地出发，相向而行（面对面），相遇时总路程=两人路程之和。 公式：总路程=速度和×相遇时间，相遇时间=总路程÷速度和，速度和=总路程÷相遇时间。 （对应工程问题“合作效率=效率和”，相遇时“速度和”类似“合作效率”） 不同时出发相遇：一方先出发，另一方后出发，先算先走的路程，剩余路程=总路程-先走的路程，相遇时间=剩余路程÷速度和，总时间=先走时间+相遇时间。 题型3：追及问题（同向而行） 基础追及：两人同向出发，慢者在前，快者在后，追及时快者比慢者多走的路程=追及路程（初始距离）。 公式：追及路程=速度差×追及时间，追及时间=追及路程÷速度差，速度差=追及路程÷追及时间。 不同时出发追及：慢者先出发，快者后出发，追及路程=慢者先走的路程，追及时间=追及路程÷速度差，总时间=慢者先走时间+追及时间。 题型4：相遇与追及综合应用 环形跑道问题： 反向而行（相遇）：每相遇一次，两人路程和=跑道周长，相遇次数=总路程和÷跑道周长； 同向而行（追及）：每追上一次，快者比慢者多走=跑道周长，追及次数=路程差÷跑道周长。 往返相遇问题：两人从两地出发相向而行，相遇后继续前进至对方出发点，再返回相遇，总路程=3×两地距离（第二次相遇），相遇时间=总路程÷速度和。 三、常见错误提醒 1.单位不统一：忽略路程、时间单位差异（如“速度60千米/小时”与“时间15分钟”，需将15分钟换算为0.25小时）。 2.速度和/差混淆：相遇问题误用“速度差”，追及问题误用“速度和”（如相遇时用“速度和×时间”，追及时用“速度差×时间”）。 3.追及路程找错：同向而行时，若起点不同，追及路程=初始距离；若同时同地同向出发，初始距离=0，无法追及（除非速度不同，需积累路程差）。 4.环形跑道方向错误：反向而行是相遇（路程和=周长），同向而行是追及（路程差=周长），易混淆方向与公式。 例题讲解 一、基础量计算 例题1：一辆汽车3小时行驶了180千米，这辆汽车的速度是多少？若以同样速度行驶420千米，需要几小时？ 答案：60千米/小时；7小时 解析：速度=路程÷时间，汽车速度=180÷3=60（千米/小时）；时间=路程÷速度，行驶420千米需420÷60=7（小时）。 跟踪练习1：小明步行每分钟走60米，他从家到学校走了15分钟，家到学校的路程是多少米？若他跑步速度是步行的2倍，跑步上学需要几分钟？ 答案：900米；7.5分钟 解析：路程=速度×时间=60×15=900（米）；跑步速度=60×2=120（米/分钟），时间=900÷120=7.5（分钟）。 二、相遇问题 例题2：甲乙两地相距300千米，客车从甲地出发，每小时行驶60千米；货车从乙地出发，每小时行驶40千米。两车同时出发相向而行，几小时后相遇？相遇时客车行驶了多少千米？ 答案：3小时；180千米 解析：相遇时间=总路程÷速度和=300÷(60+40)=3（小时）；客车路程=客车速度×相遇时间=60×3=180（千米）。 跟踪练习2：A、B两地相距450米，甲从A地出发，每分钟走50米，2分钟后乙从B地出发，每分钟走40米，两人相向而行，乙出发后几分钟相遇？ 答案：4分钟 解析：甲先走2分钟路程=50×2=100（米），剩余路程=450-100=350（米），相遇时间=剩余路程÷速度和=350÷(50+40)=4（分钟）。 三、追及问题 例题3：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲在乙前方500米处，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。乙出发后几分钟能追上甲？ 答案：25分钟 解析：追及路程=初始距离=500米，速度差=80-60=20（米/分钟），追及时间=追及路程÷速度差=500÷20=25（分钟）。 跟踪练习3：慢车以每小时40千米的速度从A地出发，1小时后快车以每小时60千米的速度从A地同向追赶，快车出发后几小时能追上慢车？ 答案：2小时 解析：慢车先走1小时路程=40×1=40（千米）=追及路程，速度差=60-40=20（千米/小时），追及时间=40÷20=2（小时）。 四、相遇与追及综合应用 例题4：一个环形跑道长400米，甲、乙两人同时同地出发，反向而行，甲每秒跑3米，乙每秒跑5米。两人第一次相遇需要多少秒？相遇时甲跑了多少米？ 答案：50秒；150米 解析：反向而行（相遇），总路程=跑道周长=400米，速度和=3+5=8（米/秒），相遇时间=400÷8=50（秒）；甲路程=3×50=150（米）。 跟踪练习4：环形跑道长600米，甲、乙同时同地同向出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑250米。甲第一次追上乙需要多少分钟？ 答案：12分钟 解析：同向而行（追及），追及路程=跑道周长=600米，速度差=300-250=50（米/分钟），追及时间=600÷50=12（分钟）。 提升练习 1．两个港口相距210千米。一艘客轮和一艘货轮同时从两个港口相对开出，经过5小时相遇。客轮的速度是27千米/时，货轮的速度是多少千米/时？ 【答案】15千米/时 【分析】已知两个港口相距210千米（总路程），两船经过5小时相遇（相遇时间）。根据“速度和＝总路程÷相遇时间”，可得速度和为：（210÷5）（千米/时）。客轮速度是27千米/时，用两船速度和减去客轮速度，即用（210÷5）减去27计算可得货轮速度。 【详解】210÷5－27 ＝42－27 ＝15（千米/时） 答：货轮的速度是15千米/时。 2．王明家、张立家和新华书店在同一直线上，新华书店在他们两家之间，两人相约从各自家出发，前往新华书店查阅资料。王明骑自行车，每分钟骑行420米；张立步行前往，每分钟行走80米。5分钟后两人在新华书店门口相遇。王明家与张立家相距多少米？（先画图表示出信息和问题，再解答。） 【答案】线段图见详解；2500米 【分析】画线段图时，先画出一条线段表示王明家与张立家相距的距离，再在线段的两端和中间一点处分别表示王明家、张立家和新华书店（新华书店距张立家更近），再把分成的两条线段平均分成5份表示各行驶5分钟，在左右两边各取1份分别表示王明和张立每分钟行的米数，最后在整条线段上面标上问号表示求两家相距的距离； 解答时，可以根据相遇问题数量关系：速度和×相遇时间＝总路程，先求出王明和张立每分钟一共行的米数，再乘共同行的5分钟；也可以根据王明行的路程＋张立行的路程＝总路程，先分别求出两人各行的米数，再相加。据此解答。 【详解】根据分析，线段图如下： 方法一： （420＋80）×5 ＝500×5 ＝2500（米） 方法二： 420×5＋80×5 ＝2100＋400 ＝2500（米） 答：王明家与张立家相距2500米。 3．2024年5月1日，“青春有约、酷跑一夏”主题活动在遵义市新蒲新区中建方圆荟举行，大淘和小淘两兄弟为了能在这次活动中取得好成绩，利用周末进行跑步锻炼。他们从相距1500米的甲乙两地同时出发，相向而行，已知大淘每分钟比小淘多跑30米。在他们跑出4分钟后，两人相距100米。大淘和小淘的速度各是多少？ 【答案】 大淘的速度是190米/分，小淘的速度是160米/分；或大淘的速度是215米/分，小淘的速度是185米/分。 【分析】设小淘的速度是x米/分，因为大淘每分钟比小淘多跑30米，所以大淘的速度是（x＋30）米/分；两人同时出发，跑了4分钟，根据“路程＝速度×时间”，得小淘跑的路程是4x米，大淘跑的路程是4（x＋30）米；然后分两种情况来考虑，即两人还未相遇时相距100米和两人相遇后又相距100米。 情况一：两人还未相遇时相距100米，那么两人跑的路程和再加上100米等于甲乙两地的距离1500米，据此可列方程为4x＋4（x＋30）＋100＝1500，化简得8x＋220＝1500，然后根据等式的性质，方程两边同时减去220，再同时除以8求解出x，即小淘的速度，再将x的值代入（x＋30）中，计算出（x＋30）的值，即为大淘的速度。 情况二：两人相遇后又相距100米，那么两人跑的路程和减去100米等于甲乙两地的距离1500米，据此可列方程为4x＋4（x＋30）－100＝1500，化简得8x＋20＝1500，然后根据等式的性质，方程两边同时减去20，再同时除以8求解出x，即小淘的速度，再将x的值代入（x＋30）中，计算出（x＋30）的值，即为大淘的速度。 【详解】解：设小淘的速度是x米/分，则大淘的速度是（x＋30）米/分。 4x＋4（x＋30）＋100＝1500 4x＋4x＋4×30＋100＝1500 8x＋120＋100＝1500 8x＋220＝1500 8x＋220－220＝1500－220 8x＝1280 8x÷8＝1280÷8 x＝160 x＋30＝160＋30＝190 答：大淘的速度是190米/分，小淘的速度是160米/分。 解：设小淘的速度是x米/分，则大淘的速度是（x＋30）米/分。 4x＋4（x＋30）－100＝1500 4x＋4x＋4×30－100＝1500 8x＋120－100＝1500 8x＋20＝1500 8x＋20－20＝1500－20 8x＝1480 8x÷8＝1480÷8 x＝185 x＋30＝185＋30＝215 答：大淘的速度是215米/分，小淘的速度是185米/分。 4．甲、乙两车行完同一条路各需8小时和10小时，现在两车同时从这条路的两端相向而行，相遇后继续行驶，经过3小时两车相距216千米，这条路全长多少千米？ 【答案】 320千米 【分析】相遇后继续行驶，经过3小时两车相距216千米，也就是两车从相遇点相向而行，经过3小时两车相距216千米，这样求出3小时两车行了全程的几分之几，也就是全程的几分之几是216千米，进而求出两地的路程。 1、把这条路全长看作单位“1”，甲车每小时行全程的，乙车每小时行全程的； 2、由题意可知甲、乙两车相遇后继续行驶，经过3小时行的路程和是两车相距216千米，要求这条路全长多少千米，要求出甲、乙两车3小时共行全程的几分之几，所对应的量是216千米； 3、也就是已知全程的几分之几是216千米，求全程是多少，用除法计算即可。 【详解】216÷（×3＋×3） ＝216÷（＋） ＝216÷ ＝216× ＝320（千米） 答案：这条路全长320千米 5．甲、乙两辆汽车从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶47千米，乙车每小时行驶33千米，6小时后相遇，A、B两地相距多少千米？ 【答案】480千米 【分析】由题意得：甲、乙两辆汽车从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶47千米，乙车每小时行驶33千米，可以先用加法算出甲车和乙车的速度之和。两车经过6小时后相遇，那么直接用速度之和乘上6即可算出A、B两地相距多少千米。 【详解】（47＋33）×6 ＝80×6 ＝480（千米） 答：A、B两地相距480千米。 6．小欣和小成同时从一条环湖路的某地出发，沿相反方向步行。小欣的速度是65米/分，小成的速度是75米/分。经过20分钟两人相遇。 （1）这条环湖路全长多少米？ （2）两人相遇后，小成返回原路，小欣继续前行，这样同向而行，5分钟后两人相距多少米？ 【答案】（1）2800米；（2）50米 【分析】（1）小欣的速度是65米/分，小成的速度是75米/分，经过20分钟两人相遇，用75乘20求出小成行驶的路程，用65乘20求出小欣行驶的路程，将小成行驶的路程加小欣行驶的路程求出这条环湖路全长多少米。 （2）用75乘5求出小成行驶的路程，用65乘5求出小欣行驶的路程，将小成行驶的路程减小欣行驶的路程求出5分钟后两人相距多少米。 【详解】（1）75×20＋65×20 ＝（75＋65）×20 ＝140×20 ＝2800（米） 答：这条环湖路全长2800米。 （2）75×5－65×5 ＝（75－65）×5 ＝10×5 ＝50（米） 答：5分钟后两人相距50米。 7．一辆小汽车和一辆大货车同时从北京和威宁两地相对开出。小汽车的速度是105千米/时，大货车的速度是75千米/时，13小时后两辆车相遇。北京到威宁的公路长多少千米？ 【答案】2340千米 【分析】由题意得，一辆小汽车和一辆大货车同时从北京和威宁两地相对开出，小汽车的速度是105千米/时，大货车的速度是75千米/时，可以先用加法算出小汽车和大货车的速度之和。速度之和×相遇时间＝总路程，直接用前面的得数乘上13即可算出北京到威宁的公路长多少千米。 【详解】（105＋75）×13 ＝180×13 ＝2340（千米） 答：北京到威宁的公路长2340千米。 8．甲、乙两人正在长为100米的直道AB（A、B为直道的两个端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立刻转身跑向A点，到达A点后，又立刻转身跑向B点……若甲的速度为2米/秒，乙的速度为3米/秒，起跑后2分钟内，两人在这段时间内共相遇多少次？ 【答案】3次 【分析】解决本题的关键是求出两人每次相遇的间隔时间，相遇时，两人的总路程是（100×2）米，根据相遇时间＝总路程÷速度和，求出两人每次相遇间隔的时间，设两人在这段时间内共相遇x次，根据每次相遇间隔的时间×相遇次数＝总时间，列出方程解答即可。 【详解】2分＝120秒 两人每次相遇间隔的时间：100×2÷（2＋3） ＝200÷5 ＝40（秒） 解：设两人在这段时间内共相遇x次。 40x＝120 40x÷40＝120÷40 x＝3 答：两人在这段时间内共相遇3次。 9．在一个900米的环形跑道上，妙妙和甜甜两人同时从同一起点出发按顺时针方向跑步，两人每隔30分钟相遇一次，若两人速度不变，还是在原来出发点同时出发，妙妙开始按逆时针方向跑，甜甜依旧按顺时针方向跑，则两人每隔6分钟相遇一次，那么两人各跑一圈分别需要多长时间？ 【答案】10分钟；15分钟 【分析】当两人同时同地顺时针跑步时，每隔30分钟相遇一次，这是追及问题，此时两人的速度差为跑道一圈的长度除以追及时间，即900÷30＝30米/分钟； 当妙妙逆时针、甜甜顺时针跑步时，每隔6分钟相遇一次，这是相遇问题，此时两人的速度和为跑道一圈的长度除以相遇时间，即900÷6＝150米/分钟； 设两人中，跑得慢的人每分钟跑x米，则跑得快的人每分钟跑（30＋x）米，根据速度和为150米/分钟即可列方程为x＋（30＋x）＝150，求解出x以及（30＋x）的值，即为两人的速度；再根据“时间＝路程÷速度”即可分别求出两人各跑一圈分别所需时间。 【详解】900÷30＝30（米/分钟） 900÷6＝150（米/分钟） 解：设妙妙和甜甜两人中，跑得慢的人每分钟跑x米，则跑得快的人每分钟跑（30＋x）米。 x＋（30＋x）＝150 x＋x＋30＝150 2x＋30＝150 2x＋30－30＝150－30 2x＝120 2x÷2＝120÷2 x＝60 30＋x ＝30＋60 ＝90 900÷90＝10（分钟） 900÷60＝15（分钟） 答：两人各跑一圈分别需要10分钟、15分钟。 【点睛】将环形跑道上的追及问题和相遇问题结合，通过“速度和”与“速度差”这两个关键量，利用和差问题的公式列方程求出两人各自的速度，进而算出跑一圈的时间。 10．在一幅比例尺是1∶6000000的地图上，量得A、B两个城市间的距离是9厘米。客车和货车同时从A、B两城相向开出，4小时相遇。客车和货车的速度比是5∶4。客车每小时行多少千米？ 【答案】75千米 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出A、B两个城市间的实际距离，再根据相遇时间＝路程÷速度之和，用A、B两个城市间的实际距离除以4，求出客车和货车的速度和，最后根据客车和货车的速度比，用两车的速度之和乘（），求出客车的速度，据此解答。 【详解】9÷ ＝9×6000000 ＝54000000（厘米） 54000000厘米＝540千米 540÷4＝135（千米/时） 客车速度： （千米/时） 答：客车每小时行75千米。 11．甲、乙两艘轮船分别同时从九州港、中港城两个码头出发，相向而行。甲船每时行23千米，乙船每时行22千米，大约经过2小时两船相遇，九州港、中港城两个码头大约相距多少千米？ 【答案】90千米 【分析】此题属于相遇问题，相遇问题中，路程＝速度之和×相遇时间，速度之和为（23＋22）千米/时，时间为2小时，依此列式并计算即可。 【详解】（22＋23）×2 ＝45×2 ＝90（千米） 答：九州港、中港城两个码头大约相距90千米。 12．两列火车长度分别为280米，200米，速度分别为5米/秒，3米/秒。如果甲在后面追乙，两车交会的时间为多少秒？如果两车从两地分别出发。相向而行，交会的时间为多少秒？ 【答案】240秒；60秒 【分析】甲车追乙车，甲车从车头追上乙车到甲车车尾离开乙车，甲车比乙车多行（280＋200）米，再除以两车的速度差即等于两车交会的时间；两车相向而行，两车从车头相遇到车尾离开共行（280＋200）米，再除以两车的速度和即等于两车交会的时间；据此即可解答。 【详解】（280＋200）÷（5－3） ＝480÷2 ＝240（秒） （280＋200）÷（5＋3） ＝480÷8 ＝60（秒） 答：如果甲在后面追乙，两车交会的时间为240秒；相向而行，交会的时间为60秒。 13．快车每秒行18米，慢车每秒行10米。两列火车同时同方向齐头并进，行10秒钟后快车超过慢车；如果两列火车齐尾并进，则7秒钟后快车超过慢车。求两列火车的长各是多少米？ 【答案】快车80米，慢车长56米 【分析】齐头并进，快车超过慢车时，快车比慢车多行的路程等于快车长度，用两车的速度差乘10即等于快车长度；齐尾并进，快车超过慢车时，快车比慢车多行的路程等于慢车长度，用两车的速度差乘7即等于慢车长度；据此即可解答。 【详解】（18－10）×10 ＝8×10 ＝80（米） （18－10）×7 ＝8×7 ＝56（米） 答：快车车长80米，慢车车身长56米。 14．某市3路公交车从汽车站每隔一定的时间发一次车，小明在街上匀速前进，他发现背后每隔6分钟开过来一辆3路车，而迎面每隔3分钟有一辆3路车开过来，若每辆车之间的距离相等，那么3路车每隔几分钟发出一辆？ 【答案】4分钟 【分析】把两辆车之间的距离看作单位“1”，背后每隔6分钟开过来一辆3路车，说明车和人的速度差为，迎面每隔3分钟开过来一辆3路车，说明人和车的速度和为，速度和加上速度差，再除以2等于公交车的速度，用1除以公交车的速度即等于3路车发车的间隔时间，据此即可解答。 【详解】（＋）÷2 ＝÷2 ＝ 1÷＝4（分钟） 答：3路车每隔4分钟发出一辆。 15．甲汽车每小时行35千米，乙汽车每小时行42千米。甲汽车开出3小时后，乙汽车才从同地出发去追甲汽车。再过几小时乙汽车可以追上甲汽车？ 【答案】15小时 【分析】已知甲汽车开出3小时后，乙汽车才从同地出发去追甲汽车。根据路程＝速度×时间，据此可以求出甲汽车这3小时行驶的路程，这就是这两辆车的路程之差。 要知道再过几小时乙汽车可以追上甲汽车，据此算出每小时乙车比甲车多走多少千米，也就是两者的速度差，再用甲车先行走的路程除以速度差，即可得出再过几小时乙汽车可以追上甲汽车。 【详解】每小时乙车比甲车多走：42－35＝7（千米/时） 35×3÷7 ＝105÷7 ＝15（小时） 答：再过15小时乙汽车可以追上甲汽车。 16．两列火车同时开车从甲、乙两地出发，向同一方向前进。慢车在前，每小时行60千米，快车在后，每小时行100千米，经过3小时，快车超过慢车30千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】90千米 【分析】根据路程＝速度×时间，可以求出快车和慢车经过3小时分别行驶的路程，而快车和慢车3小时的路程的差就是快车超过慢车的距离再加上甲、乙两地相距的距离，所以从甲、乙两车3小时的路程差里面减去快车超过慢车的距离，就是甲、乙两地相距的距离，快车和慢车3小时的路程的差我们可以用快车和慢车的速度之差乘行驶的时间进行计算，据此解答即可。 【详解】由题意得： （100－60）×3－30 ＝40×3－30 ＝120－30 ＝90（千米） 答：甲、乙两地相距90千米。 17．玲玲从家出发步行去电影院看电影，每分钟走60米，走了10分钟后，妈妈从家骑自行车去追玲玲，结果在距家900米的地方遇到玲玲。妈妈每分钟行驶多少米？ 【答案】180米 【分析】由题目可知，速度×时间＝路程，路程÷速度＝时间，玲玲每分钟走60米，走了10分钟距家60×10＝600（米）。妈妈骑车追玲玲，在距家900米处与玲玲相遇，也就是玲玲后来又走了900－600＝300（米），用了300÷60＝5（分钟），这也是妈妈骑车所用的时间。所以妈妈骑车每分钟行驶900÷5＝180（米），即可解题。 【详解】由分析可知： 60×10＝600（米） 900－600＝300（米） 300÷60＝5（分钟） 900÷5＝180（米） 答：妈妈每分钟行驶180米。 【点睛】本题关键是明确从妈妈开始追到追上玲玲，玲玲走了300米，进而明确妈妈骑车时间。再根据路程、速度和时间之间的关系解答。 18．铁路旁有一条小路，一列长140米的火车，以每分钟720米的速度从东向西驶去，8点10分追上一位从东向西行走的工人，20秒钟后又离开这个工人，8点15分迎面遇到一个从西向东行走的学生，10秒后离开这个学生。问工人与学生将在何时相遇？ 【答案】8点20分 【分析】已知火车8点10分追上一位从东向西行走的工人，20秒钟后又离开这个工人，据此可知火车和工人的路程差，相当于火车的长度，20秒＝分钟，根据路程差÷追及时间＝速度差，用140÷即可求出火车和工人的速度差，再用火车的速度减去火车和工人的速度差，即可求出工人的速度； 又已知8点15分迎面遇到一个从西向东行走的学生，10秒后离开这个学生，据此可知，火车和学生的路程和，相当于火车的长度，10秒＝分钟，根据路程和÷相遇时间＝速度和，用140÷即可求出火车和学生的速度和，然后用速度和减去火车的速度，即可求出学生的速度； 根据速度×时间＝路程，用720×（15－10）即可求出火车从8点10分到8点15分行驶的路程，用工人的速度×（15－10）即可求出工人从8点10分到8点15分行走的路程，然后用火车从8点10分到8点15分行驶的路程减去工人从8点10分到8点15分行走的路程，即可求出8点15分时，工人和学生相距的距离，根据路程和÷速度和＝相遇时间，用工人和学生相距的距离除以他们的速度和，即可求出两人几分钟后相遇，进而推出几点几分相遇。 【详解】20秒＝分钟 140÷ ＝140×3 ＝420（米/分） 工人：720－420＝300（米/分） 10秒＝分钟 140÷ ＝140×6 ＝840（米/分） 学生：840－720＝120（米/分） 720×（15－10） ＝720×5 ＝3600（米） 300×（15－10） ＝300×5 ＝1500（米） 3600－1500＝2100（米） 2100÷（300＋120） ＝2100÷420 ＝5（分钟） 8点15分＋5分钟＝8点20分 答：工人与学生将在8点20分相遇。 【点睛】本题主要考查了较复杂的相遇、追及问题，明确火车和人的路程和、差与火车长度的关系是解答本题的关键。 19．小汽车和货车的速度之比为5∶6，两车同时从A地出发去B地，货车到达B地后立即原路返回，速度保持不变。小汽车到达B地后原路返回，速度提高25%，小汽车能否在货车返回A地前追上货车？如果追不上，那么小汽车至少提速百分之多少才能在货车返回A地之前追上货车？ 【答案】50% 【分析】假设AB两地的路程为1，小汽车和货车的速度之比是5∶6，则把小汽车原来的速度看作5份，货车的速度看作6份，货车从A地出发到返回B地，也就是走了2个全程，根据路程÷速度＝时间，用2÷6即可求出货车往返需要的时间；用1÷5即可求出小汽车从A地到B地需要的时间，小汽车到达B地后原路返回，速度提高25%，也就是速度是原来的（1＋25%），根据百分数乘法的意义，用5×（1＋25%）即可求出小汽车现在的速度，用1÷小汽车现在的速度，即可求出小汽车从B地到A地需要的时间，再把小汽车往返的时间相加；最后用货车和小汽车所花的时间比较即可；通过比较可知，小汽车往返的时间大于货车往返的时间，所以小汽车追不上； 先根据路程÷速度＝时间，用1÷5计算出小汽车到达B地需要的时间，再根据时间×速度＝路程，用小汽车到达B地需要的时间×6即可求出当小汽车到达B地时，货车行驶的路程，再减去1即可求出货车距离B地的路程，也就是此时汽车和货车的路程差；此时用2－当小汽车到达B地时货车行驶的路程即可求出货车距离A地的路程，再用货车距离A地的路程÷6即可求出货车到达A地需要的时间，要然后小汽车追上货车，也就是货车到达A地前，小汽车要追上货车，根据路程差÷追及时间＝速度差，用此时汽车和货车的路程差÷此时货车到达A地需要的时间即可求出汽车和货车的速度差，再加上货车的速度，即可求出此时汽车的速度；最后根据求一个数比另一个数多百分之几，用相差数除以另一个数再乘100%，则用小汽车现在的速度减去原来的速度的差，除以原来的速度再乘100%，即可求出小汽车需要提高百分之几的速度。 【详解】假设AB两地的路程为1， 把小汽车原来的速度看作5份，货车的速度看作6份， 货车往返需要的时间：2÷6＝ 小汽车到达B地需要的时间：1÷5＝ 5×（1＋25%） ＝5×1.25 ＝6.25 1÷6.25＝0.16 小汽车往返需要的时间：＋0.16＝ ＜ 小汽车往返的时间大于货车往返的时间，所以小汽车追不上； 当小汽车到达B地时，货车行驶的路程：×6＝ 当小汽车到达B地时，汽车和货车的路程差：－1＝ 货车距离A地：2－＝ 追及时间：÷6 ＝× ＝ 速度差：÷ ＝× ＝ 小汽车现在的速度：＋6＝ （－5）÷5×100% ＝2.5÷5×100% ＝50% 答：小汽车至少提速50%才能在货车返回A地之前追上货车。 【点睛】本题主要考查了百分数、比的复杂应用，明确速度、路程、时间三者的关系是解答本题的关键，可用假设法解决问题。 20．张老师从学校步行去公园，每分钟走60米，走了8分钟后，李老师从学校骑自行车去追张老师，结果在距学校720米的地方追上张老师。李老师骑自行车的速度是多少米/分？ 【答案】180米/分 【分析】根据题意可知，两位老师都走了720米，张老师每分钟走60米，720除以60等于张老师行走的时间，由于张老师走了8分钟后李老师才去追，所以李老师比张老师少用了8分钟，张老师行走的时间减8等于李老师骑行的时间，再用骑行路程720米除以李老师骑行的时间即等于李老师骑行的速度，据此即可解答。 【详解】720÷（720÷60－8） ＝720÷（12－8） ＝720÷4 ＝180（米/分） 答：李老师骑自行车的速度是180米/分。 【点睛】本题考查了追及问题，掌握相应的数量关系式是解答本题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $