第06讲 分数、百分数应用题（二）：利润问题、折扣问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第06讲 分数、百分数应用题（二）：利润问题、折扣问题 知识点梳理 一、利润问题 核心公式： 1.利润 = 售价 - 成本（售价 > 成本时为盈利，反之为亏损） 2.利润率 = （关键：分母是成本，不是售价） 3.售价 = 成本 × (1 + 利润率) "（盈利时利润率为正；亏损时利润率为负，即） 4.成本 = （亏损时利润率为负，即） 核心题型与技巧： 题型1：基础利润与利润率计算 已知成本和售价，直接套用公式求利润或利润率。 例：成本50元，售价60元，利润=60-50=10元，利润率=。 题型2：已知利润率求售价/成本 求售价：用公式“售价=成本×(1+利润率)”（利润率化为小数或分数）。 求成本（单位“1”）：用公式“成本=售价÷(1+利润率)”（已知对应量和分率，求单位“1”用除法）。 二、折扣问题 核心公式： 1.折扣：表示为“几折”或百分数（如“八折”=80%=0.8，“七五折”=75%=0.75）。 2.现价 = 原价 × 折扣（折扣用小数或分数表示）。 3.原价 = （原价是单位“1”，求单位“1”用除法）。 4.折扣 = （结果化为“几折”或百分数，如0.85=85%=八五折）。 核心题型与技巧： 题型1：已知原价和折扣求现价 直接用“现价=原价×折扣”，注意折扣化为小数（如九折=0.9）。 题型2：已知现价和折扣求原价 用“原价=现价÷折扣”（原价是单位“1”，除法计算）。 题型3：利润与折扣综合题 先根据成本和期望利润率求定价（定价=成本×(1+提高率)），再按折扣求现价，最后算利润或利润率。 三、常见错误提醒 1.利润率分母错误：误将利润率公式记为（正确分母是成本）。 2.折扣率混淆：如将“八折”当作8%计算（正确是80%=0.8）。 3.单位“1”判断错误：利润问题中成本是单位“1”，折扣问题中原价是单位“1”，已知单位“1”用乘法，求单位“1”用除法，颠倒会导致结果错误。 4.亏损时公式错误：亏损时利润率为负，售价=成本×(1-亏损率)，成本=售价÷(1-亏损率)，易漏写“-”号。 例题讲解 一、利润问题基础（求利润、利润率） 核心技巧：直接套用利润和利润率公式，注意成本是利润率的分母。 例题1 一件商品成本为80元，售价为100元，求利润和利润率。 答案：利润20元，利润率25% 解析：利润=售价-成本，利润率=。 详解： 利润=100-80=20（元）； 利润率=。 跟踪练习1 一件商品成本为120元，售价为108元，求亏损额和亏损率。 答案：亏损12元，亏损率10% 解析：亏损额=成本-售价，亏损率=。 详解： 亏损额=120-108=12（元）； 亏损率=。 二、利润问题进阶（已知利润率求售价/成本） 核心技巧：求售价用乘法（成本×(1+利润率)），求成本用除法（售价÷(1+利润率)）。 例题2 某商品成本为200元，若要获得30%的利润率，售价应为多少元？ 答案：260元 解析：售价=成本×(1+利润率)，利润率30%=0.3。 详解： 售价=200×(1+30%)=200×1.3=260（元）。 跟踪练习2 一件商品售价为360元，已知利润率为20%，求这件商品的成本。 答案：300元 解析：成本=售价÷(1+利润率)，利润率20%=0.2。 详解： 成本=360÷(1+20%)=360÷1.2=300（元）。 三、折扣问题基础（求现价、原价、折扣） 核心技巧：现价=原价×折扣，原价=现价÷折扣，折扣=现价/原价×100%。 例题3 一件商品原价500元，现打八折出售，现价是多少元？ 答案：400元 解析：八折=80%=0.8，现价=原价×折扣。 详解： 现价=500×80%=500×0.8=400（元）。 跟踪练习3 一件商品打七五折后售价为240元，这件商品的原价是多少元？ 答案：320元 解析：七五折=75%=0.75，原价=现价÷折扣。 详解： 原价=240÷75%=240÷0.75=320（元）。 四、利润与折扣综合题 核心技巧：先算定价（成本×(1+提高率)），再算现价（定价×折扣），最后求利润或利润率。 例题4 某商品成本为150元，按成本价提高50%后作为定价，再打八折出售，求售价和利润率。 答案：售价180元，利润率20% 解析：先求定价，再求现价，最后算利润和利润率。 详解： ① 定价=成本×(1+提高率)=150×(1+50%)=150×1.5=225（元）； ② 现价=定价×折扣=225×80%=2 "25×0.8=180（元）； ③ 利润=180-150=30（元）； ④ 利润率=。 跟踪练习4 某商品原价400元，打九折出售后仍可获利20%，求这件商品的成本。 答案：300元 解析：先求现价，再根据“现价=成本×(1+利润率)”求成本。 详解： ① 现价=原价×折扣=400×90%=360（元）； ② 成本=现价÷(1+利润率)=360÷(1+20%)=360÷1.2=300（元）。 提升练习 一、利润问题基础 1.一件商品成本60元，售价72元，求利润和利润率。 答案：利润12元，利润率20% 详解：利润=售价-成本=72-60=12（元）；利润率=。 2.一件商品成本150元，售价135元，求亏损额和亏损率。 答案：亏损15元，亏损率10% 详解：亏损额=成本-售价=150-135=15（元）；亏损率=。 3.某商品成本200元，卖出后盈利80元，求利润率。 答案：40% 详解：利润率=。 4.一件商品售价90元，亏损10元，求成本和亏损率。 答案：成本100元，亏损率10% 详解：成本=售价+亏损额=90+10=100（元）；亏损率=。 二、利润问题进阶 5.某商品成本300元，若要获得25%的利润率，售价应为多少元？ 答案：375元 详解 ：售价=成本×(1+利润率)=300×(1+25%)=300×1.25=375（元）。 6.一件商品成本120元，若亏损15%，售价应为多少元？ 答案：102元 详解：亏损15%即利润率=-15%，售价=120×(1-15%)=120×0.85=102（元）。 7.一件商品售价 "440元，利润率为10%，求成本。 答案：400元 详解：成本=售价÷(1+利润率)=440÷(1+10%)=440÷1.1=400（元）。 8.一件商品售价280元，亏损20%，求成本。 答案：350元 详解：亏损20%即利润率=-20%，成本=280÷(1-20%)=280÷0.8=350（元）。 三、折扣问题基础 9.一件商品原价600元， "打八五折出售，现价是多少元？ 答案： "510元 详解：八五折=85%，现价=600×85%=600×0.85=510（元）。 10.某商品原价800元，现打七折出售，比原价便宜了多少元？ 答案：240元 详解：七折=70%，现价=800×70%=560（元）；便宜金额=800-560=240（元）。 11.一件商品打六折后售价为180元，原价是多少元？ 答案：3 "00元 详解：六折=60%，原价=180÷60%=180÷0.6=300（元）。 12.一件商品现价210元，是原价的七五折，原价是多少元？ 答案：280元 详解：七五折=75%，原价=210÷75%=210÷0.75=280（元）。 四、折扣与利润综合题 13.某商品成本200元，按成本价提高40%后定价，再打九折出售，求售价和利润率。 答案：售价252元，利润率26% 详解：定价=200×(1+40%)=280（元）；售价=280×90%=252（元）；利润=252-200=52（元）；利润率=。 14.一件商品成本100元，店主希望获得30%的利润率 "，定价应为多少元？若按定价打八折出售，此时盈利多少元？ 答案：定价130元，盈利4元 详解：定价=100×(1+30%)=130（元）；八折后售价=130×80%=104（元）； "盈利=104-100=4（元）。 15.某商品原价500元，打八折出售后仍可获利60元，求成本。 答案：340元 详解：现价=500×80%=400（元）；成本=400-60=340（元）。 16.一件商品成本80元，按原价出售可获利50%，若打八折出售，此时利润率是多少？ 答案：20% 详解：原价=80×(1+50%)=120（元）；八折后售价=120×80%=96（元）；利润=96-80=16（元）；利润率=。 17.某商品按进价提高50%后标价，再打七折销售，售价为210元，求进价（成本）。 答案：200元 详解：设成本为x元，定价=1.5x，七折后售价=1.5x×70%=1.05x；由1.05x=210，得x=210÷1.05=200（元）。 18.一件商品原价450元，第一次打九折，"双十一"再在此基础上打八折，"双十一"售价是多少元？ 答案：324元 详解：第一次九折后价格=450×90%=405（元）；"双十一"八折后售价=405×80%=324（元）。 19.某商品成本160元，按定价的八折出售亏损16元，求定价。 答案：180元 详解：八折后售价=160-16=144（元）；定价=144÷80%=144÷0.8=180（元）。 20.某商品成本120元，计划每件获利30元（即计划售价150元），实际打九折出售，实际利润和利润率各是多少？ 答案：利润15元，利润率12.5% 详解：实际售价=150×90%=135（元）；利润=135-120=15（元）；利润率= 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第06讲 分数、百分数应用题（二）：利润问题、折扣问题 知识点梳理 一、利润问题 核心公式： 1.利润 = 售价 - 成本（售价 > 成本时为盈利，反之为亏损） 2.利润率 = （关键：分母是成本，不是售价） 3.售价 = 成本 × (1 + 利润率) "（盈利时利润率为正；亏损时利润率为负，即） 4.成本 = （亏损时利润率为负，即） 核心题型与技巧： 题型1：基础利润与利润率计算 已知成本和售价，直接套用公式求利润或利润率。 例：成本50元，售价60元，利润=60-50=10元，利润率=。 题型2：已知利润率求售价/成本 求售价：用公式“售价=成本×(1+利润率)”（利润率化为小数或分数）。 求成本（单位“1”）：用公式“成本=售价÷(1+利润率)”（已知对应量和分率，求单位“1”用除法）。 二、折扣问题 核心公式： 1.折扣：表示为“几折”或百分数（如“八折”=80%=0.8，“七五折”=75%=0.75）。 2.现价 = 原价 × 折扣（折扣用小数或分数表示）。 3.原价 = （原价是单位“1”，求单位“1”用除法）。 4.折扣 = （结果化为“几折”或百分数，如0.85=85%=八五折）。 核心题型与技巧： 题型1：已知原价和折扣求现价 直接用“现价=原价×折扣”，注意折扣化为小数（如九折=0.9）。 题型2：已知现价和折扣求原价 用“原价=现价÷折扣”（原价是单位“1”，除法计算）。 题型3：利润与折扣综合题 先根据成本和期望利润率求定价（定价=成本×(1+提高率)），再按折扣求现价，最后算利润或利润率。 三、常见错误提醒 1.利润率分母错误：误将利润率公式记为（正确分母是成本）。 2.折扣率混淆：如将“八折”当作8%计算（正确是80%=0.8）。 3.单位“1”判断错误：利润问题中成本是单位“1”，折扣问题中原价是单位“1”，已知单位“1”用乘法，求单位“1”用除法，颠倒会导致结果错误。 4.亏损时公式错误：亏损时利润率为负，售价=成本×(1-亏损率)，成本=售价÷(1-亏损率)，易漏写“-”号。 例题讲解 一、利润问题基础（求利润、利润率） 核心技巧：直接套用利润和利润率公式，注意成本是利润率的分母。 例题1 一件商品成本为80元，售价为100元，求利润和利润率。 跟踪练习1 一件商品成本为120元，售价为108元，求亏损额和亏损率。 二、利润问题进阶（已知利润率求售价/成本） 核心技巧：求售价用乘法（成本×(1+利润率)），求成本用除法（售价÷(1+利润率)）。 例题2 某商品成本为200元，若要获得30%的利润率，售价应为多少元？ 跟踪练习2 一件商品售价为360元，已知利润率为20%，求这件商品的成本。 三、折扣问题基础（求现价、原价、折扣） 核心技巧：现价=原价×折扣，原价=现价÷折扣，折扣=现价/原价×100%。 例题3 一件商品原价500元，现打八折出售，现价是多少元？ 跟踪练习3 一件商品打七五折后售价为240元，这件商品的原价是多少元？ 四、利润与折扣综合题 核心技巧：先算定价（成本×(1+提高率)），再算现价（定价×折扣），最后求利润或利润率。 例题4 某商品成本为150元，按成本价提高50%后作为定价，再打八折出售，求售价和利润率。 跟踪练习4 某商品原价400元，打九折出售后仍可获利20%，求这件商品的成本。 提升练习 一、利润问题基础 1.一件商品成本60元，售价72元，求利润和利润率。 2.一件商品成本150元，售价135元，求亏损额和亏损率。 3.某商品成本200元，卖出后盈利80元，求利润率。 4.一件商品售价90元，亏损10元，求成本和亏损率。 二、利润问题进阶 5.某商品成本300元，若要获得25%的利润率，售价应为多少元？ 6.一件商品成本120元，若亏损15%，售价应为多少元？ 7.一件商品售价 "440元，利润率为10%，求成本。 8.一件商品售价280元，亏损20%，求成本。 三、折扣问题基础 9.一件商品原价600元， "打八五折出售，现价是多少元？ 10.某商品原价800元，现打七折出售，比原价便宜了多少元？ 11.一件商品打六折后售价为180元，原价是多少元？ 12.一件商品现价210元，是原价的七五折，原价是多少元？ 四、折扣与利润综合题 13.某商品成本200元，按成本价提高40%后定价，再打九折出售，求售价和利润率。 14.一件商品成本100元，店主希望获得30%的利润率 "，定价应为多少元？若按定价打八折出售，此时盈利多少元？ 15.某商品原价500元，打八折出售后仍可获利60元，求成本。 16.一件商品成本80元，按原价出售可获利50%，若打八折出售，此时利润率是多少？ 17.某商品按进价提高50%后标价，再打七折销售，售价为210元，求进价（成本）。 18.一件商品原价450元，第一次打九折，"双十一"再在此基础上打八折，"双十一"售价是多少元？ 19.某商品成本160元，按定价的八折出售亏损16元，求定价。 20.某商品成本120元，计划每件获利30元（即计划售价150元），实际打九折出售，实际利润和利润率各是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $