第二十一章 一元二次方程 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 宁夏专版）

4.295.号6.B7.解：(1)a=1,6=-(m+2),c=m-1,4=6-4ac=[-(m十 2)72-4×1×(m-1)=2+4十4-4m+4=2十8.m2≥0，.m2+8>0,.△>0. 无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x十x2=十2，x1x2 =m-1.:x十x-x1x2=9,即(x1十x2)2-3x1x2=9,∴.(m十2)2-3(m-1)=9.整 理，得m2十m-2=0.解得m1=一2,2=1..m的值为-2或1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 基础过关 1.B2.B3.114.A【变式】D5.解：设九(2)班有x个同学，则每个同学交换出 (x一1)件小礼物.根据题意，得x(x一1)=1560.整理，得x2一x一1560=0.解得x1= 40,x2=一39（不合题意，舍去）.答：九(2)班有40个同学.6.B7.解：设原来的两位 数十位上的数字为x,则个位上的数字为(5一x).根据题意，得(10x十5一x)[10(5一x) 十x]=736.整理，得x2一5x十6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2时，5一x=5一2=3.当 x=3时，5一x=5一3=2.答：原来的两位数是23或32. 能力提升 8.B9.410.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题意， 得60x2=24000.解得x1=20,2=一20（不合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均每个有 益菌可分裂成20个有益菌；(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培植后有 480000个有益菌， 思维拓展 11,解：(1)根据题意，得n(n-3)=14,整理，得n2-3n-28=0.解得n=7,或n= 一4.n≥3，∴.n=一4不合题意，舍去..n=7,即这个多边形的边数是7；(2)A同学 的说法不正确.理由如下：当号n(n-3)=10时，整理，得2-3m-20=0.解得n= 3±√8丽，：符合方程m一3m一20=0的正整数n不存在，多边形的对角线不可能有 2 10条，即A同学的说法不正确， 第2课时平均变化率与销售问题 基础过关 1.A2.C3.解：设该市充电桩数量的年平均增长率为x.根据题意，得3.5(1十x)= 5.04,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答：该市充电桩数量的年平 均增长率为20%.4.A5.解：(1)(400十20x)(2)设降价降了x元，则每件的利润 为(68-45-x)元，月销售量为(400+20x)件.根据题意，得(68-45一x)(400十20x)= 8400.整理，得x2-3x-40=0,解得x1=8,x2=-5(不符合题意，舍去).答：当该款吉 祥物降价8元时，月销售利润达8400元. 能力提升 6.A7.解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题意，得125(1一x)2= 80.解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意，舍去).答：乙种商品每件进价的年平均 下降率为20%；(2)设购进甲种商品件，则购进乙种商品(100一m)件，根据题意，得 (125-25×2)m十80(100-m)≤7800...75m+8000-80m7800,解得m≥40..m 的最小值为40，即最少购进甲种商品40件.答：最少购进甲种商品40件. 思维拓展 8.解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x.根据题意，得100(1 十x)2=144.解得x1=0.2=20%,2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：该车间4月份到6 月份生产数量的平均增长率为20%；任务2：设该零件的实际售价应定为m元，根据题 意，得(1-30)[600-10(m-40)]=10000.整理，得m-130m十4000=0.解得1= 50,2=80.:要尽可能让车企得到实惠，∴m=50.答：该零件的实际售价应定为50 元；任务3：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到40000元.根据题意，得 (n-30)[600-10(n-40]=40000.整理，得n-130n十7000=0.：△=(-130)2-4 ×1×7000=-11100<0,∴.方程没有实数根，故月销售利润不能达到40000元. 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.D3.2cm,4cm4.解：(1)(40-2x)m(2)根据题意，得x(40-2x)=150. 整理，得x2一20x十75=0.解得x1=15,x2=5.当x=15时，AD=BC=40一2×15= 10(m),当x=5时，AD=BC=40-2X5=30(m),.30>22,.x=5不符合题意，舍 去.答：当AB=15m时，仓库的面积能为150m2.5.C6.27.解：根据题意，得 (100-5x)(40-2x)=640×4.整理，得x2-40x十144=0.解得x1=4,x2=36(不符合 题意，舍去).答：彩色纸带的宽为4cm 能力提升 8.C9.0.510.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10一2x)=16×10× 70%.整理，得x2-13x十12=0，解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍去).答：需设置页 边距为1cm. 思维拓展 11.解：任务一：设A型劳动工具的单价为a元，则B型劳动工具的单价为(a十3)元.根 第4页（共48页） 据题意，相30-4解得a=20.轻检验M=20是原分式方的解.6十3=20 a 3=23.答：A型劳动工具的单价为20元，B型劳动工具的单价为23元：任务二：(1)36 -3x(2)由题意知，36-3<20，解得x≥根据题意，得(36-3)x=96.整理，得 x2-12x十32=0.解得x1=8,x2=4(舍去).∴x的值为8. 第二十一章整合与提升 宁夏常考题型演练 1.B2.0或43.C4.解：(1)移项，得x2十2x=1.配方，得x2十2x十12=1十12，(x 十1)2=2.由此可得x十1=士√2，x1=-1十√2，x2=-1-√2；(2)因式分解，得x(x一 3)=0.于是得x=0,或x-3=0,x1=0,x2=3;(3)配方，得x2-4x十2=4十2，(x 2)2=8.由此可得x-2=士2√2，x1=2+2√2，x2=2-2√2：(4)a=1,b=-1,c=-4, △=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-4)=17>0,方程有两个不等的实数根.x= 二b±=4a=1±区，即x1=1+亚，=亚.（任选两个即可）5.D 2a 2 2 6B7.-号 8.解：(1)把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6,.m= 士√6，∴.(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0.解方程，得x1=-1,x2=4,故x2=4,m =土√6：(2)方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x十2-m2=0.:△=4m2十1≥0， ∴.原方程有两个不相等的实数根.由根与系数的关系，得x1十x2=3,x1x2=2一m. :(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1十x2)+1=2-m-3+1=-m2,又-m≤0，.(x1-1) (x2-1)≤0.9.解：(1)：x☆4=40，.4x2十4=40，即4x2=36,.x2=9,解得x1=3, x2=-3,.x的值为士3；(2)2☆a的值小于0，.22×a十a=5a<0,解得a<0.在方 程2x2一bx十a=0中，△=(-b)2-8a≥-8a>0,∴.方程2x2一bx十a=0有两个不相等 的实数根.10.D11.10%12.解：(1)C(2)卫(3)①所画出的图形如图所示： ②设将要剪去的小正方形的边长为xcm.根据题意，得(30一2x)2=484. 解得x1=4,x2=26(不符合题意，舍去).此时纸盒的体积为4×484=1936(cm3).答： 将要剪去的小正方形的边长为4cm,这个纸盒的体积为1936cm. 易错易混专攻 1.D2.43.-1 新趋势·新题型·新考向 1.解：不正确，错误的步骤是②，理由：当x十4=0时，两边不能同时除以(x十4).正确 过程如下：x2十8x十16=2(x十4)，原方程变形为：(x十4)2=2(x十4).移项，得(x十4) -2(x十4)=0.因式分解，得(x十4)(x十4一2)=0.(x十4)(x十2)=0..x十4=0或x +2=0,.x1=-4,x2=-2.2.解：(1)设AE=CG=xm.根据题意，得(25十x)(45 十x)=1500,整理，得x2+70x-375=0,解得x1=5,x2=-75(不符合题意，舍去)；则 BE=25十x=25+5=30(m),BG=45十x=45十5=50(m).答：BG的长为50m,BE的 长为30m;(2)不可以，理由：设AE=am,则CG=3am.根据题意，得(25十a)(45十3a) =1800,整理，得a2+40a-225=0,解得a1=5,a2=-45(不符合题意，舍去)，当a=5 时，45十3a=60>58,不符合题意，舍去，.当CG=3AE时，新劳动基地的面积不可以 为1800m. 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 基础过关 1.C2.(1)-1(2)≠23.(1)-4(2)1或-44.是-0.54-3是-2 0-6是-110不是01-15C6D7.y=x-x是 8.解：(1)y=(x十8)(x十6)一6×8=x2十14x:(2)由题意，得x2+14x=32,解得x1= 2,x2=一16（不合题意，舍去）.答：长和宽都增加2m9.解：由题意，得 m1≠0，解得m, m2+m=2, {m=-2,或m=1,六m=-2. 能力提升 10.D11.1112.解：(1)：函数y=m(m十2)x2十mx十m十1是一次函数，.m(m十 2)=0且m≠0，解得m=一2.故当m=一2时，此函数是一次函数；(2)，函数y=m(m 十2)x十mx十m十1是二次函数，∴.m(m十2)≠0，解得m≠-2且m≠0.故当m≠-2 且≠0时，此函数是二次函数」 思维拓展 13.解：(1)y=4x2-24x十1440<x<6(2)不能.理由如下：当y=172时，即4x2一 24x十144=172，解得x1=7,x2=-1.又0<x<6,.x1=7,x2=-1均不符合题意. ∴.四边形APQC的面积不能等于172mm. 第5页（共48页） 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 基础过关 1.A2.A3.A4.(1)①41014-4-10-1-44101 4-4-10-1-4②③ .1 (2)0y=4x,y=4x i-r y=-4ry=-子2@y轴(0,0)5.C6A7.a>18士4 能力提升 9.B10.B11.0≤y≤412.解：由题意，得m2十m=2,解得m=一2，或m=1.(1),抛 物线有最低点，十1>0，∴.m>一1，m=1.此时抛物线的函数解析式为y=2x2.:2 >0,.抛物线的开口向上.又：抛物线的对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增 大；(2)：函数有最大值，.m十1<0，∴m<-1,m=-2.此时抛物线的函数解析式 为y=一x2,函数的最大值为0. 思维拓展 3.解：①直线y=k十b过点A(2,0),B1,D,&2火十b=0解得.直线 1k+b=1, AB的函数解析式为y=-x十2.：抛物线y=ax过点B(1,1),∴.a=1,∴.抛物线的函 数解析式为y=x2;图象如图； (2)连接0B,OC.解方程组(y二一1+2·得 y=x2, 012 工二2，二1'点C的坐标为(-2,4).又：点B的坐标为1,1)，点A的坐标为 {y1=4,{=1. (20),Som-X2X4-4.S.m-X2X1-1.Sme-5oone-Scmw-4-1 =8.设点D的纵坐标为y0,则b>0∴Saw=20A·%=号X2w=3,w=3. 把yn=3代入y=x2,得x2=3,解得x=士√3.又，点D在y轴的右侧，∴.x>0,x= √，∴.点D的坐标为（√3,3）. 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=a.x2十k的图象和性质 基础过关 1.A2.B3.向上y轴(0,2)向下y轴(0，-1)向上y轴(0,3)向下 y轴(0，-3)4.-1（答案不唯一）5.A6.(1)解：图象如图： y- iy-x-3 15 (2)①上y轴(0,0)②上y轴(0，-3)(3)下37.解：能.设上下平移后 的图象的解析式为y=号x2+6.将点(3，-3)代入，得-3=子×3+6，解得6=-6。 .平移的方向是向下，平移的距离是6个单位长度.8.2一4 能力提升 交6=2(2由1D知y=是+2.列表： 1 9.D10.-211.解：(1)a= -3 一2 -101 3 … y -2.50 1.521.50 -2.5 … 描点、连线，如图 y 12.解：(1)2一5(2)抛物线的函数解析 iii -1O 第6页（共48页）第二十一章 宁夏常考题型演练© 考点1一元二次方程的根 1.数学思想整体思想若关于x的一元二次方程 a.x2+bx一4=0的一个根是x=1,则代数式 2027-a-b的值为 A.-2023 B.2023 C.-2024 D.2024 2.若关于x的方程x2+4kx十2k=4的一个 解是一2，则k的值为 考点2一元二次方程的解法 3.用配方法解方程x2一2x=2时，配方后正确 的是 A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6 C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6 4.新视角开放性题在初中阶段我们已经学习了 一元二次方程的四种解法，它们分别是直接 开平方法、配方法、公式法和因式分解法，请 从下列一元二次方程中任选两个，并解这两 个方程， (1)x2+2x-1=0;(2)x2-3x=0; (3)x2-4x=4; (4)x2-x-4=0. 整合与提升 考点3一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系 5.(2024·银川北塔中学二模)一元二次方程 2x2一m.x一3=0根的情况是 ( A.有两个相等的实数根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.有一个正根，一个负根 6.若一元二次方程x2一2x一1=0的两个根为 m,n,则一次函数y=(m+n)x十mm的大致 图象是 年 7.(2024·银川景博学校一模)已知实数a,b 是方程2-2x一3=0的两根，则是+号的 值为 8.(2025·四川南充)设x1,x2是关于x的方程 (x一1)(x-2)=m2的两根. (1)当x1=-1时，求x2及m的值； （2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0 数学Ⅱ九年级上册22 9.(2024·银川唐徕中学期中)定义新运算：对 于任意实数m,n,都有m☆n=m2n十n,等式 右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算。 例如：-3☆5=(-3)2×5+5=50.根据以上 知识解决问题： (1)若x☆4=40，求x的值； (2)若2☆a的值小于0，请判断方程2x2-bx+ a=0的根的情况. 考点4一元二次方程的实际应用 10.如图，一块长方形绿地的长为100m,宽 为50m,在绿地中开辟两条道路后剩余 绿地面积为4704m,则根据题意可列 出方程 A.5000-150x=4704 B.5000-150x-x2=50m 4704 .100m C.500-150c+7r 4704 D.(100-x)(50-x)=4704 11.(2024·四川绵阳)超市销售某种礼盒，该礼 盒的原价为500元.因销量持续攀升，商家 在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是 经过核算决定在3月份售价的基础上，4,5 月份按照相同的降价率r连续降价.已知5 月份礼盒的售价为486元，则r= 23第二十一章一元二次方程 12.综合与实践 【问题情景】学校综合实践小组进行废物再 利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃 的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒， 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图 中的 经过折叠能围成无盖正 方体纸盒； D (2)如图①是小云的设计图，把它折成无盖 正方体纸盒后与“保”字相对的字是 6 ”; 环 保小卫士 图① 图② (3)如图②，有一张边长为30cm的正方形 废弃宣传单，小张准备将其四角各剪去 个小正方形，折成无盖长方体纸盒 ①请你在图中画出示意图，用实线表示 剪切线，虚线表示折痕； ②若要折成的无盖长方体纸盒的底面 积为484cm,求将要剪去的小正方 形的边长，并求出这个纸盒的体积 @易错易混专攻。 易错点1忽视一元二次方程的二次项 系数不为0而致错 1.若关于x的一元二次方程(m-3)x2十m2x= 9x十5化为一般形式后不含一次项，则m的 值为 ( A.0 B.±3 C.3 D.-3 易错点2忽视代数式的非负性而致错 2.若(m2十n2)2-2(m2+n2)一8=0，则代数式 m2+n2的值为 易错点3运用根与系数的关系时忽略 △≥0而致错 3.已知关于x的一元二次方程x2-2(1一m)x十 m2=0的两实数根为x1,x2.若x1x2=1,则 m的值为 身新趋势·新题型·新考向。 1.新考向过程性学习)请阅读下列解方程的 过程： 解方程：x2十8x十16=2(x十4)， 原方程变形为：(x十4)2=2(x十4).① 两边同除以(x十4)，得x十4=2.② 解这个方程，得x=一2.③ 所以，原方程的解为x=一2.④ 上述解答是否正确？若有错误，请你指出错 误的步骤并说明理由，然后写出正确的解答 过程. 2.新考向项目式学习综合与实践 【项目主题】劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合 实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案” 为主题开展了一次项目学习. 【信息获取】 信息1，如图，原劳动基地为矩形，AB的长为 25m,BC的长为45m; 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩 形，BE的最大长度为32m,BG的最大长度 为58m. 【问题解决】 (1)若新劳动基地的面积为1500m2,且 AE=CG,求BG和BE的长； (2)当CG=3AE时，新劳动基地的面积可以 为1800m吗？请说明理由. 原芳动基地 数学Ⅱ九年级上册24