精品解析：云南省民族中学2025-2026学年高一上学期9月考试数学试卷

高一数学考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第二章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，“存在”改“任意”并否定原结论，即得答案. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为：，. 故选：. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】举反例、排除B，C，D；作差法求证A选项. 【详解】若，，显然B，C，D错误； 因，则，则，故A正确. 故选：A 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. t与s的大小关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】通过作差法，即可比较大小. 【详解】，所以． 故选：C 4. “是锐角三角形”是“是等边三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义判断. 【详解】若是锐角三角形，则不一定是等边三角形； 若是等边三角形，则一定是锐角三角形， 故“是锐角三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件． 故选：B 5. 若，则的最大值是（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】，当且仅当时，等号成立． 故选：D 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. A与B没有包含关系 【答案】A 【解析】 【分析】将集合中的变形为，通过观察集合即可得解. 【详解】因为，，，所以． 故选：A. 7. A，B，C是U的三个子集，下图中的阴影部分能表示集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦恩图结合集合的交并补运算求解． 【详解】在韦恩图中，表示长方形内圆外的所有阴影， 表示圆内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 观察各选项，排除C、D； 表示圆和圆相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： 选项B中的阴影部分能表示集合． 故选：B． 8. 若正数x，y满足，且恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用基本不等式求出的最小值，再根据恒成立条件解不等式求出a的取值范围． 【详解】， ，当且仅当，即，时取等号， ， ，解得， 的取值范围为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 是无理数，是无理数 B. ， C. 任意一个菱形的对角线互相垂直 D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用特殊值法判断A、D，由方程的判别式及根与系数关系判断B，根据菱形的性质判断C. 【详解】A：是无理数，但是有理数，假命题； B：对于方程，其中，两根之积，故必有一个负根，真命题； C：由菱形的性质知，任意一个菱形的对角线互相垂直，真命题； D：当时，显然成立，真命题. 故选：BCD 10. 已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】讨论或两种情况，解等式即可求解. 【详解】由题意得，或．若，则，解得或． 当时，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则，解得或．当时，，当时，舍去． 综上，x可能为，． 故选：BC 11. 已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及不等式性质得到，注意等号成立条件，将条件变形为，再由基本不等式求的范围，注意等号成立条件. 【详解】由，解得，当且仅当时，等号成立， ，解得，当且仅当时，等号成立， 由，得， 由，得，解得， 当且仅当时，；当且仅当时，. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合{1，0}的子集的个数为_________. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据元素的个数可直接求出. 【详解】集合{1，0}中有2个元素， 集合{1，0}的子集的个数为. 故答案为：4. 【点睛】本题考查子集个数的求解，属于基础题. 13. 设P表示平面内的动点，则集合（O是定点）中的点组成的图形为______． 【答案】圆 【解析】 【分析】由集合中的点满足的条件确定图形. 【详解】集合表示到定点的距离等于的点组成的图形，由圆的定义可知图形为圆． 故答案为：圆. 14. 调查在某商店购买了商品的50名顾客，发现其中有35名顾客购买了A商品，有30名顾客购买了B商品，则A，B两种商品都购买了的顾客最多有______名，最少有______名． 【答案】 ①. 30 ②. 15 【解析】 【分析】设购买了商品的顾客组成的集合为，购买了B商品的顾客组成的集合为，设的元素个数为，由集合关系证明，，由此可得结论. 【详解】设购买了商品的顾客组成的集合为，购买了B商品的顾客组成的集合为， 则A，B两种商品都购买了的顾客组成的集合为， 设的元素个数为，则的元素个数为， 因为，，故，， 所以， 当时，购买了B商品的顾客都购买了A商品， 所以当购买了B商品的顾客都购买了A商品时，A，B两种商品都购买了的顾客最多，最多为30名． 因为， 所以，当时，的元素个数为， 故当这50名顾客至少购买了A，B两种商品中的一种时，A，B两种商品都购买了的顾客最少，最少为名． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）求． 【答案】（1），． （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集、并集运算即可求解； （2）根据集合的补集、交集运算即可求解. 【小问1详解】 ，，． 【小问2详解】 或，或， 或． 16. 已知都是正数． （1）求的最小值； （2）证明：． 【答案】（1） （2） 要证，即证， 即证， 由， 当且仅当时，等号成立，所以． 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，即可求解； （2）根据题意，转化为证明，结合基本不等式，即可得证. 【小问1详解】 解：因为都是正数，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 【小问2详解】 略 17. 已知集合，． （1）若且，求b的值． （2）若且，求a的值． （3）是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或1． （3）存在 【解析】 【分析】（1）利用子集的意义可求解； （2）解方程求得集合，根据子集的意义可求解； （3）由题意知，利用子集的意义求解即可. 【小问1详解】 若，则．因为，所以． 【小问2详解】 当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． 【小问3详解】 若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 18. 有一块半径为2的圆形铁片． （1）若要用该圆形铁片裁剪出一个矩形零件部件，如图1，求裁剪出的矩形零件部件的面积的最大值； （2）若要用该圆形铁片裁剪出如图2所示的零件部件，该部件由4个全等的等腰三角形和一个正方形构成，等腰三角形的底边和正方形的边重合，等腰三角形顶角的顶点在圆周上，求裁剪出的零件部件的面积的取值范围． 【答案】（1）8． （2）． 【解析】 【分析】（1）结合几何图形，利用基本不等式，即可求解； （2）首先设中间正方形的边长为，再表示面积，根据的取值范围求面积的取值范围. 【小问1详解】 要使得裁剪出的矩形零件部件的面积取最大值，则矩形的顶点均在圆周上，如图1，则BD为直径，． 裁剪出的矩形零件部件的面积为，当且仅当时，等号成立． 故裁剪出的矩形零件部件的面积的最大值为8． 【小问2详解】 记其中一个等腰三角形为，圆形铁片的圆心为O，连接OG，交EF于点H，如图2． 设，则，． 裁剪出的零件部件的面积． 当正方形的顶点都在圆周上时，正方形的边长取最大值，最大值为，即，解得，所以，所以裁剪出的零件部件的面积的取值范围为． 19. 已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． （1）若，求集合M，N； （2）若A中有5个元素，求m； （3）证明：． 【答案】（1），． （2）19或13． （3） 设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于M中任意一个元素，都有对应的，所以． 设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于N中任意一个元素，都有对应的，所以．综上，． 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义确定集合的元素即可得集合； （2）设中5个元素为，，，，，且，根据集合中元素性质可得，再根据集合的新定义确定集合的元素即可得集合中的元素个数的值； （3）设，根据集合的新定义确定集合的元素，从而得结论. 【小问1详解】 因为， 所以， ． 【小问2详解】 设中5个元素为，，，，，且． 因为若，则，所以，，，即． 对于M中的元素，若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为． 若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，，，． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为．若，则，即． 综上，若，则，若则．即m的值为19或13． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第二章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. t与s的大小关系不确定 4. “是锐角三角形”是“是等边三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则的最大值是（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. A与B没有包含关系 7. A，B，C是U的三个子集，下图中的阴影部分能表示集合的是（ ） A. B. C. D. 8. 若正数x，y满足，且恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 是无理数，是无理数 B. ， C. 任意一个菱形的对角线互相垂直 D. ， 10. 已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（ ） A. 2 B. C. D. 1 11. 已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合{1，0}的子集的个数为_________. 13. 设P表示平面内的动点，则集合（O是定点）中的点组成的图形为______． 14. 调查在某商店购买了商品的50名顾客，发现其中有35名顾客购买了A商品，有30名顾客购买了B商品，则A，B两种商品都购买了的顾客最多有______名，最少有______名． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）求． 16. 已知都是正数． （1）求的最小值； （2）证明：． 17. 已知集合，． （1）若且，求b的值． （2）若且，求a的值． （3）是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 18. 有一块半径为2的圆形铁片． （1）若要用该圆形铁片裁剪出一个矩形零件部件，如图1，求裁剪出的矩形零件部件的面积的最大值； （2）若要用该圆形铁片裁剪出如图2所示的零件部件，该部件由4个全等的等腰三角形和一个正方形构成，等腰三角形的底边和正方形的边重合，等腰三角形顶角的顶点在圆周上，求裁剪出的零件部件的面积的取值范围． 19. 已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． （1）若，求集合M，N； （2）若A中有5个元素，求m； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $