精品解析：江苏省盐城市东台市第一教育联盟2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

江苏省盐城市东台市第一教育联盟2025-2026学年八年级上学期10月月考 数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，12 C. 1，5，9 D. 2，5，7 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在的方格纸中，均为格点，若为等腰三角形，则满足该条件的格点共有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 5. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 22 7. 如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③⑤ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图所示，，，若，再增加条件____________________，则． 10. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是__________． 11. 如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 _____． 12. 如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 13. 在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15或12两个部分，则该等腰三角形的底边长等于_________． 14. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 15. 如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE=AD，则∠EDC= ______ ． 16. 中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 三、解答题（共11题，共72分） 17. （1）如图，在中，是钝角，按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹） ①用尺规作的角平分线． ②用三角板作边上的高． ③用尺规作边上的垂直平分线． （2）如图，，是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，P是内的一点，连接，，求证：． 19. 如图，点C，E，B，F在同一条直线上，．说明． 20. 已知的三边长为，且，，都是整数． （1）若，，且为奇数，求的周长． （2）化简：． 21. 如图，，与相交于点，且，求证：是等腰三角形． 22. 如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 23. 如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 24. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 25. 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求证：； （2）证明：∠1=∠3． 26. 在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点N，Q． （1）如图，当时，求的度数； （2）当时，求的度数． 27. 综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ；  【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第一教育联盟2025-2026学年八年级上学期10月月考 数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，12 C. 1，5，9 D. 2，5，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系．根据三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可逐项判断． 【详解】解：A：∵， ∴可以构成三角形； B：∵， ∴不能构成三角形； C：∵， ∴不能构成三角形； D：∵， ∴不能构成三角形． 故选：A． 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高的知识点，熟练掌握三角形中线、高、角平分线的性质是解题的关键.根据三角形角平分线、中线和高的定义进行分析即可. 【详解】解：选项A：是中线，点是中点，，选项A正确，不符合题意. 选项B：的边上的高为，根据三角形面积公式可得，选项B正确，不符合题意. 选项C：的角平分线为，，选项C错误，符合题意. 选项D：的底边为的一半，二者高相等，根据三角形面积公式可得，选项D正确，不符合题意.   故答案为：C ． 3. 在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：由题可得，过点作的垂线段，垂足为，则是边上的高，故C选项符合题意， 故选：C． 4. 如图，在的方格纸中，均为格点，若为等腰三角形，则满足该条件的格点共有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了格点图中画等腰三角形，结合等腰三角形的判定与网格特征，进行分类讨论且作图，即可作答． 【详解】解：依题意，当为等腰三角形的底边时，则如图所示： 共有个点； 当为等腰三角形的腰时，则如图所示： 或 共有个点； 综上：为等腰三角形，则满足该条件的格点共有8个， 故选：C． 5. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 7. 如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据全等三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质，即可求解． 【详解】解：， ， ，点，，，在同一条直线上， ， 故选：A． 8. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断①②；由可得，再由，证得即可判断③；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，可无法得到平分，可判断④；由平分结合即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，，故①②符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③符合题意； 分别过A作，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴，与题干条件互相矛盾，故④不符合题意； ∵平分，， ∴，故⑤符合题意． 综上，正确的是①②③⑤， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图所示，，，若，再增加条件____________________，则． 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加，两边夹一角判定其全等． 【详解】解：，， ， 又， 可添加； ． 故答案为:（或或）． 10. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是__________． 【答案】48 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是 ∴该直角三角形的斜边长为8×2=16cm ∵直角三角形斜边上的高是6cm ∴该直角三角形的面积为：×16×6=48cm2 故答案为：48 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和求三角形的面积，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的面积公式是解决此题的关键． 11. 如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，在和中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 12. 如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵、分别是边、的垂直平分线， ∴，， ∴ ． 13. 在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15或12两个部分，则该等腰三角形的底边长等于_________． 【答案】7或11 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确给出哪一部分长一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论． 【详解】解：根据题意， ①当15是腰长与腰长一半时，，解得， 所以底边长； ②当12是腰长与腰长一半时，，解得， 所以底边长． 所以底边长等于7或11． 故答案为：7或11． 14. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 【答案】47 【解析】 【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】解：在△ABC和△ADE中，， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 15. 如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE=AD，则∠EDC= ______ ． 【答案】15° 【解析】 【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°， ∴∠ADC=90°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=（180°-∠CAD）=75°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 16. 中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 三、解答题（共11题，共72分） 17. （1）如图，在中，是钝角，按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹） ①用尺规作的角平分线． ②用三角板作边上的高． ③用尺规作边上的垂直平分线． （2）如图，，是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图． （1）①根据角平分线的做法作图即可； ②利用直角三角板，一条直角边与重合，另一条直角边过点A，再画垂线即可； ③根据线段垂直平分线的作法作图； （2）连接，作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②高即为所求； ③为的垂直平分线； （2）如图，点为所求． 18. 如图，P是内的一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用． 根据“三角形两边之和大于第三边”得到、，相加得到，减去得到，根据即可证明． 【详解】证明：如图，延长交于点D． 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”有， 因为， 所以①， 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”，有②， 将①和②相加，得：， 两边同时减去，得：， 因为， 所以．即． 19. 如图，点C，E，B，F在同一条直线上，．说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，再根据证明得到，由此即可证明． 【详解】说明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的挂件，全等三角形的判定定理有等等． 20. 已知的三边长为，且，，都是整数． （1）若，，且为奇数，求的周长． （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． 【小问2详解】 由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 21. 如图，，与相交于点，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的判定，证明是解题的关键． 根据“边边边”判定，由全等三角形的性质可得 ，进而可得，判定即可． 【详解】证明：在 和 中， ， ， ， 即 是等腰三角形． 22. 如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中，  ， ∴， ． （2）1 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分，于，于， ，， 在与中，  ， ∴， ， 由（1）已证：， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 23. 如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，解答本题的关键是明确题意．先利用条件证明出，从而得到，利用等角对等边证出，再利用，证明出，从而得到答案即可． 【详解】证明：∵D是的中点， ， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴（等角对等边）． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 24. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ． （2） 解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求证：； （2）证明：∠1=∠3． 【答案】 （1）证明：， ，即， 在和中，， ； （2）证明：由（1）已证：， ， 由对顶角相等得：， 又， ． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 26. 在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点N，Q． （1）如图，当时，求的度数； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理求得，再根据等边对等角的性质可得，然后代入数据进行计算即解答； （2）根据垂直平分线的性质可得，分当P点在Q点右侧和左侧两种情况：分别利用三角形内角和可得∠BAC的度数． 【小问1详解】 解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 当P点在Q点右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当P点在Q点左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上或． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 27. 综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ；  【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），；证明见解析；（3）有；5 【解析】 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，，结合，，则，； （3）在射线上截取，连接，证，则，得出是等边三角形，则，即点在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解： ，， 和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 即点在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值， ， ， ． ∴的最小值为5 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $