全国初中数学八年级竞赛模拟卷（一）八年级全国通用

全国初中数学八年级竞赛模拟卷（一） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 2．设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知正方形的边长为4，M点为边上的中点，若M点是A点关于线段的对称点，则等于（    ）    A． B． C．2 D． 4．已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．直线与直线的交点在第二象限，且是正整数，则的值是 ；交点的坐标是 ． 8．已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于 ． 9．如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 10．河水是流动的，在点流入一个静止的湖中．游泳健将朱泳在河中顺流从到，再穿过湖游到，共用1小时；而由到再到，共用2小时．如果湖水是流动的，从流向，速度与河水速度相同，那么朱泳从到再到，共用50分钟．这时，他从到再到，共用 小时． 11．已知，那么算式的值为 ． 12．已知，为整数，且满足，求的值 ． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题10分）先化简，再求值：，其中x、y满足． 14．（本题10分）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，于．设，．试求梯形的面积． 15．（本题10分）如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E． (1)若平分，求证：； (2)若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 16．（本题10分）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． 17．（本题10分）仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： ，， ，， ，， (1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律； (2)推算出的值； (3)求出的值． 18．（本题10分）如图，直线与轴、轴分别相交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作轴于点，点的横坐标为． (1)过点作轴的垂线分别与直线相交于点，求线段的长（用表示）； (2)在（）的条件下，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国初中数学八年级竞赛模拟卷（一） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 2．设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，算式平方根的估算，根据二次根式的运算法则，先求出，进而求出a的值，再把a的值代入所求代数式，根据算式平方根的估算求解即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， 的整数部分为2， 故选：． 3．如图，已知正方形的边长为4，M点为边上的中点，若M点是A点关于线段的对称点，则等于（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的运用，解题的关键是添加辅助线．连接，由轴对称性质可知，设，则，，由勾股定理得：解方程求出x的值即可． 【详解】解：连接，    ∵M、A关于对称， ∴， 设， 则，， ∵M点为边上的中点， ∴， 在直角中，由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， 故选：A． 4．已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．解答本题的关键是灵活运用完全平方公式的变形，将、、作为整体代入．首先根据完全平方公式，把，的值整体代入求出的值．计算出，同理将变形为，代入数据计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 5．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从上中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．直线与直线的交点在第二象限，且是正整数，则的值是 ；交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，关键是将题目中两个一次函数解析式联立，得到，求解二元一次方程组，解得交点坐标，结合交点在第二象限，且是正整数即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，联立两个直线方程可得， 将可得， ， 解得：，代入式得， ． 交点坐标为， 交点在第二象限， 可得，， 解得：． 是正整数， ，代入坐标可得，交点坐标为． 8．已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先对分子分母因式分解，得到分子分母有公因式，则，得到，代入求值即可． 【详解】解：，， 分子分母有公因式， ∵是一个既约分数， ∴， 即， 故 故答案： 9．如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质（对角线平分内角、各边相等）、直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理），解题的关键是通过构造将待求式转化为，再利用点M位于边上时取等号确定的最小值，进而求出的最小值． 由菱形性质得；过M作，在中，由角性质得，故；过A作，在中，由得，故，再用勾股定理算得；又（点M位于边上时取等号），因此，即的最小值为． 【详解】解：如图，过点A作于T，过点M作于H． ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又由知， ∴， ∴， （点M位于边上时取等号） ， ， ∴的最小值为， 故答案为． 10．河水是流动的，在点流入一个静止的湖中．游泳健将朱泳在河中顺流从到，再穿过湖游到，共用1小时；而由到再到，共用2小时．如果湖水是流动的，从流向，速度与河水速度相同，那么朱泳从到再到，共用50分钟．这时，他从到再到，共用 小时． 【答案】2.5/ 【分析】本题考查分式方程的应用、解决本题的关键是首先假设全程为1，并以全部顺水行完需要50分钟作为突破口，并做好合理的假设． 首先假设全程为1，那么从A到B到C全部顺水，根据朱泳从A到B再到C，共用50分钟以及速度时间关系求得顺水行的速度为，假设朱泳在最初1小时全部顺水，就会比全程多行，也就是说该种情况说明行段同样的时间，顺水比静水多行全程的；同理行段同样的时间，逆水比静水少行全程的，因此逆水行2小时，只能行全程的，故设游泳健将朱泳在从C到B再到A逆水行进中共用x小时，由，解得x即为所求． 【详解】解：设全程为1，设游泳健将朱泳在从C到B再到A逆水行进中共用x小时， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴他从到再到，共用小时． 故答案为：2.5 ． 11．已知，那么算式的值为 ． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，由可得，再运用二次根式的混合运算法则化简原式可得，然后将代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 当时，； 当时，． 综上，该代数式的值为或6． 故答案为：或6． 12．已知，为整数，且满足，求的值 ． 【答案】0或 【分析】本题考查的是分式的混合运算，因式分解的应用． 根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 或， ①或②， 由②得：， ， ， ，为整数， ∴是2的约数， ∴或2， 当时， ；当时， ， 的值为0或， 故答案为：0或． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题10分）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】，2 【分析】本题考查解二元一次方程组，分式的混合运算及求值，二次根式的运算．先解二元一次方程组求出x和y的值，再利用分式的运算法则化简，最后将x和y代入求值即可． 【详解】解： 得：， 解得， 将代入得：， 解得． ， 将，代入，得： 原式 ． 14．（本题10分）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，于．设，．试求梯形的面积． 【答案】 【分析】过O作于H，可得，，可证和为等腰三角形，则，再用梯形面积公式即可解题. 【详解】解：过O作于H， ∵ 和的平分线相交于点，于 ∴ ， ∵ ∴ ∴和为等腰三角形， ∴ 即 ∴ 15．（本题10分）如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E． (1)若平分，求证：； (2)若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)不变，，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作出辅助线是解本题的关键. （1）利用等角的余角相等判断出 ，证明，判断出，再证明，进而判断出，即可得出结论； （2）作出辅助线，利用全等三角形的面积相等，进而判断出，即可得出是的角平分线． 【详解】（1）证明：连接，延长，交的延长线于 是直角，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）不变化， 理由：如图，过点作于，作于， 是直角，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，而， ， ，， 平分， ， 即：不变化． 16．（本题10分）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． 【答案】(1)903； (2)84和12． 【分析】本题考查的是整式乘法、因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键． （1）根据题意，先求得，计算知当时，，当时，，即可得出结果； （2）由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数），则当时得到两个“幸运整数”为3 ，由题意可知：，即，根据m， n为自然数，可得，将其代入计算即可． 【详解】（1）解：， ． 为自然数， 当时，， 当时，， 三位数中最大的“幸运整数”是903； （2）解：由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数）， 则时得到两个“幸运整数”为：， 由题意：． ， ， ． 为自然数， ∴或， 解方程组得：或（舍去）， ． ． 这两个“幸运整数”分别为84和12． 17．（本题10分）仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： ，， ，， ，， (1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律； (2)推算出的值； (3)求出的值． 【答案】(1)，（是正整数）； (2)； (3)． 【分析】此题考查了勾股定理、算术平方根，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得； （）由上述，，根据规律可知； （）的值就是把面积的平方相加就可． 【详解】（1）解：，； ，； ，； ； ∴，（是正整数）； （2）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴； （3）解： ， 即：． 18．（本题10分）如图，直线与轴、轴分别相交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作轴于点，点的横坐标为． (1)过点作轴的垂线分别与直线相交于点，求线段的长（用表示）； (2)在（）的条件下，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时， (2)存在；或 【分析】本题考查一次函数的解析式求解、点的坐标表示以及平行四边形的性质． ()首先求出，然后求出直线的解析式是，表示出，，然后分两种情况表示即可； ()首先求出，然后结合平行四边形的性质，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与交于点，过点作轴于点， ∴点的横坐标为， ∵直线， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式是，将，坐标代入得， ∴， ∴直线的解析式是， 由图知点在一条直线上，即， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， 当时，； 当时，； （2）存在以为顶点的四边形是平行四边形； 理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵由（）得， ∴， 若四边形是平行四边形，则， 即：当时，，解得， 当时，，解得， ∴或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $