第3章 指数运算与指数函数（知识清单）数学北师大版2019必修第一册

第3章 指数运算与指数函数 知识点一、n次方根，n次根式 1..a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式： 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 知识点二：根式的性质及分数指数幂 1.根式的性质 ①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③.()n＝a(n∈N*，且n>1). ④.＝a(n为大于1的奇数). ⑤.＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 ①.规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识点三：指数幂的分类及运算 1.有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． 2.有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 知识点四：指数函数的定义及特征 1.指数函数的概念 定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.指数函数三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 知识点五：指数函数的图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 知识点六：指数函数的单调性 1.指数函数单调性 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)（a＞1）在定义域上是单调增函数;y＝ax(a>0，且a≠1)（0＜a＜1）在定义域上是单调减函数. 2.与指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： ①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. ②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调3.求指数函数复合的函数单调性区间方法： ①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域 ②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数 ③分别将两个函数的单调区间求出来 ④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。 4.解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 【易错点】01 指数运算错误 辨析：指数运算忽略底数的范围，不会进行指数与指数幂的运算与化简，从而出现错误. 【典例1】化简：. 【解析】原式 【典例2】下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】对A：，，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：A． 【易错点】02 忽视对底数的讨论 辨析：指数函数中底数的讨论不全面或未进行底数讨论，单调性判断有误，误用指数函数的性质致错. 【典例1】若函数且在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】根据复合函数的单调性可知， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 因为函数在上单调递增，所以，无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得：． 所以的取值范围为．故选C 【典例2】已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 【易错点】03 忽视函数定义域、值域等隐含条件 辨析：在解决函数、方程等问题中忽视了指数函数的值域，定义域等隐含条件，造成条件不全，不等式漏解等问题. 【典例1】求函数的定义域和值域． 【解析】要使函数有意义，则．即的定义域为． 因为，即，所以． 又，所以函数的值域为，且． 【典例2】求函数的值域． 【答案】 【分析】利用换元法结合二次函数的单调性得出值域. 【详解】令，，则． 因为函数在上单调递增， 所以，即函数的值域为． 重难点01 指数幂的计算 指数幂运算的一般原则 (1)将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一． 1．（25-26高一·江苏盐城·阶段练习）若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 2．（25-26高三·江苏淮安·阶段练习） . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用根式及指数运算计算可得结论. 【详解】. 故答案为： 3．【多选】（25-26高三·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用指数运算逐项计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 4．（2025高一·江苏·专题练习）（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）转化为指数式，利用指数幂的运算即可求解； （2）将根式转化为分数指数幂，利用指数幂的运算即可求解； （3）利用求和，代入即可求解. 【详解】 （1） ； （2），∴， （3）由，得，， 所以. 重难点02 指数实际应用 1.两类指数模型 （1）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型． （2）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 2.解决有关增长率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较． (2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可． (3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 5．（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 6．（25-26高三·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【答案】B 【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案. 【详解】由题意得，即，其中，所以， 当时，. 故选：B 7．（25-26高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 8．（2025高一·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出. 【详解】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 重难点03 指数函数的概念及应用 1、判断一个函数是否为指数函数的方法 ①看形式:只需判断其解析式是否符合(a>0，且a≠1)这一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． (1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求． 2、已知某函数是指数函数求参数值的方法 ①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程； ②求参数值：解不等式与方程求出参数的值． 注：解决指数函数问题时，要特别注意底数大于0且不等于1这一条件. 3、求指数函数的解析式或函数值 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 9．（2025高一·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 10．（2025高一·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 11．（2025高二·新疆·学业考试）若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设且，根据函数过点求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设且，则，解得或（舍去）， 所以，令，又，所以. 故选：B 重难点04 指数（型）函数的定义域 形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． 12．（2025高一·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 13．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项． 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 14．（2025高一·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 15．（2025高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 16．（2025高二·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 重难点05 指数（型）函数的值域 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 2、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 17．（2025高二·云南·期末）已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知函数得单调性求闭区间上的函数值域即可. 【详解】因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 18．（25-26高三·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 19．（25-26高三·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【答案】B 【分析】先求出A，再利用换元法将化为，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】令，解得，故函数的定义域是， 令，由于，故， 则即为函数， 而， 当时，取最大值， 即函数的最大值是0， 故选：B 20．（2025高一·全国·专题练习）设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值. 【详解】由题意得，． ①当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． ②当时，，， ，，，， 故． ③当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． 综上所述，的值域为． 故选：B． 21．（2025高二·陕西西安·期末）定义一种运算则函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】记，利用函数单调性的性质可知为定义域上的单调递增函数，进而化简函数的解析式，结合一次函数的单调性和指数函数的单调性可得出函数的最大值. 【详解】记， 由为定义域上的单调递增函数，为定义域上单调递减函数， 由单调性的性质可知为定义域上的单调递增函数， 又，故由可得，解得； 由可得，解得. 所以. 当时，； 当时，则，. 综上所述，当时函数取到最大值为. 故选：A 22．（2025高一·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 23．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 重难点06 指数（型）的图像及应用 指数函数的图象及其应用要点 （1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断； （2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象； （3）根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断. 24．（2025高三·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 25．（25-26高一·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．  B．   C．  D．   【答案】A 【分析】先求出时函数的单调性和值域，再求出时函数的单调性和值域，从而采用排除法即可得到答案． 【详解】设， 当时，， ∴时，单调递增， 由，得， ， ∴选项C，D错误． 当时，， ∴时，单调递增， 由，得，即， ∴函数图象在轴下方，排除B选项，则选项A符合要求． 故选：A． 26．（2025·浙江·模拟预测）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 27．（25-26高一·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可. 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 28．（2025高二·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图像经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围. 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 29．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入函数表达式得出的值，从而得出函数解析式，依次代入各选项坐标计算求解. 【详解】已知函数（，）的图象经过点， ，解得， ∴， 依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 30．（25-26高一·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求的值和对应的函数值，即得图象所过的定点． 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 31．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 32．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果． 【详解】，其图象如图所示， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 要使，且成立，则有且，故必有且， 又，即为，整理得， 故选：A． 33．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可. 【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点， 故图象上关于原点对称的点有3对.      故选：C 重难点07 求指数（型）函数的单调性 与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调区间； (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)． 34．（2025高一·陕西·期末）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性判断AB错误；根据函数单调性判断C错误；根据奇偶性与单调性判断D正确. 【详解】 为非奇非偶函数，A错误； 为偶函数，B错误； 与 均为R上的增函数，故 为 R上的增函数，C错误； 设 ，则，，所以是奇函数， 又因为与 且均为上的减函数，故 在区间上单调递减，D正确. 故选：D. 35．（2025高三·全国·专题练习）函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由对勾函数及复合函数的单调性进行求解. 【详解】令, 则，由对勾函数的单调性知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，由得， 所以由复合函数的单调性知，函数的单增区间为， 故选：A 36．（2025高二·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 37．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【详解】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 38．（2025高一·重庆江北·期末）函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项. 【详解】令，，则， ∵在上为增函数，在上为减函数， ∴的减区间为. 故选：B. 39．（2025高一·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，代入函数，结合，推出，所以，对绝对值函数单调性进行分段讨论求解. 【详解】由, 所以. 当时，，此时，指数随着x的增大而增大，因此在上单调递增； 当时，，此时，指数随着x的增大而减小，因此在上单调递减. 所以函数在上单调递增，在上单调递减（包含，左侧递减，右侧递增）. 故选：A. 重难点08 已知指数（型）函数的单调性求参数范围 先明确指数型函数基本形式，如（a>0且a≠1），单调性由底数a和内层函数f(x)共同决定。 当a>1时，指数函数单调递增，故单调性与f(x)一致，据此列关于参数的不等式；当0<a<1时，指数函数单调递减，单调性与f(x)相反，再列不等式。解不等式，结合参数其他限制条件，确定参数范围。 40．（25-26高一·全国·期中）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质及复合函数求同增异减求单调性的方法可解 【详解】∵函数在R上单调递减，且在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴，即，∴a的取值范围是． 故答案为：． 41．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 42．（2025高一·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 43．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质求参数值，结合指数等相关的函数性质判断的区间单调性判断充分性；根据的单调性，结合指数等相关的函数性质求参数判断必要性，即可得. 【详解】若的奇函数，则，即恒成立， 所以，则，在上单调递增， 所以在上是减函数，充分性成立； 若在上是减函数，在上单调递增， 所以，故，此时不一定有，必要性不成立； 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A 44．（25-26高三·河北衡水·阶段练习）函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据指数函数、一次函数的性质及单调递减函数的定义，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 重难点09 比较大小 比较两个幂的大小：①如果底数相同，可利用指数函数的单调性比较;②如果指数相同，可作除法，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象比较;③如果指数不同，底数也不同，则要对原式作变形，或利用中间量比较. 45．（2025高一·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 46．（25-26高三·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数、的单调性即可. 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选： 47．（2025高一·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 48．（2025高二·江苏无锡·阶段练习）若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数为偶函数可知在的单调性，再根据幂函数性质和指数函数性质判断出，根据函数的单调性即可判断大小. 【详解】为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减. 根据幂函数在上单调递增，得，再 由指数函数单调递增可知，，则， 故，即. 故选：B. 重难点10 解指数（型）不等式 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 49．（25-26高三·广东·阶段练习）集合，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据指数函数的单调性求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 50．（25-26高三·四川遂宁·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】首先由指数函数性质化简不等式，然后移项，解不等式即可． 【详解】不等式可化为，因为函数为增函数， 所以，移项整理为， 解得或． 所以原不等式的解集为． 故答案为：． 51．（25-26高三·重庆·开学考试）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，然后利用函数性质将不等式进行转化，最后解不等式即可. 【详解】已知函数,其定义域为,关于原点对称， 计算， 而， 所以，所以函数是上的奇函数， 对求导，根据求导公式得， ，所以在上单调递增， 由于是奇函数，可得， 等价于， 又因为在上单调递增，所以， 移项得，即， 解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为： 52．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中表示中的较大者.则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】确定的解析式，作出函数图象，再结合图象求解即可. 【详解】解：因为， 作出的大致图象，如图所示： 当时，由，得； 当时，由，得， 所以的解集为. 故答案为： 重难点11 已知指数（型）函数奇偶性求值或解析式 根据奇偶函数的定义，结合已知条件，代入计算，即可求出具体值或解析式。 53．（2025高三·辽宁·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：时，，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质直接可得. 【详解】由题意可得为定义在上的奇函数，且时，. 故，，故. 故选：D. 54．（2025高一·云南曲靖·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】D 【分析】先判断函数的周期性，利用周期性和偶函数的性质计算即得. 【详解】由可得， 故为周期函数，且4是函数的一个周期， . 故选：D 55．（2025高二·浙江宁波·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，由奇函数的性质得出，即可得解. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，所以，， 此时，. 故选：D. 56．（2025高一·云南昆明·期中）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 重难点12 指数（型）函数奇偶性求参数 （1）先确保指数型函数的定义域关于原点对称，这是判断奇偶性的前提，由此初步确定参数的可能范围。 （2）根据函数奇偶性的定义，若为偶函数，则自变量取相反数时函数值不变；若为奇函数，则自变量取相反数时函数值也变为相反数。 （3）将自变量替换后整理等式，由于等式需对定义域内所有自变量成立，可得到函数系数间的关系，结合已知条件求解参数。 57．（25-26高一·全国·课后作业）若是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的性质得到为奇函数，求出的值，再结合偶函数的定义检验即可. 【详解】令，则的定义域为， 因为，所以函数是奇函数． 因为是偶函数， 所以为奇函数． 则，即． 当时，，定义域为. ， 即函数是偶函数. 所以. 故选：D. 58．（2025·天津和平·模拟预测）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为偶函数，可得出，化简后即可得出实数的值. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，且， 因为函数为偶函数，则，即， 可得对任意的恒成立，则. 故选：B. 59．（2024高三·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则（    ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用整体是偶函数，分子是奇函数，则分母必为奇函数，这样利用分母是奇函数的性质，求解参数即可. 【详解】因为是奇函数，为偶函数， 所以必为奇函数， 则，即． 整理，得恒成立，所以． 经检验，当时，， 且，符合题意． 故选：D． 60．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据函数定义域为，利用可求，再检验即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以，解得， 时，， ， 所以函数是奇函数，则. 故选：C. 61．（2025·北京·模拟预测）已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求参数关系，结合充分、必要性的定义即可得. 【详解】若为奇函数，则， 所以，即恒成立， 所以. 综上，“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C 重难点13 指数（型）函数的综合应用 指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 62．【多选】（25-26高三·吉林长春·阶段练习）已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】对A，由函数关于直线对称及，结合偶函数定义判断；对B，由函数周期性得在解析式，判断其单调性；对C，由偶函数性质及函数关于直线对称可得；对D，由函数周期性可求. 【详解】对于A：因为的图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，为偶函数，A正确； 对于B：因为，所以，即周期为， ，，， 所以，因为在单调递增， 所以在单调递增，B错误； 对于C：因为为偶函数，因为的图象关于直线对称， 所以关于对称，C正确； 对于D：因为周期为，所以，又关于对称， 所以，D正确； 故选：ACD. 63．【多选】（25-26高二·安徽阜阳·开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BC 【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D. 【详解】依题意，函数的定义域为， 对于A，，，，函数不是偶函数，A错误； 对于B，，则函数是奇函数，B正确； 对于C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C正确； 对于D，由，得，则，的值域为，D错误. 故选：BC 64．【多选】（25-26高三·吉林延边·开学考试）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C．为奇函数 D．无最值 【答案】ACD 【分析】根据判断A；根据奇函数的定义判断C；可判断B；利用定义求证在上的单调性并结合奇偶性得出在上的单调性可判断D. 【详解】，所以，故A正确； 因在处没有意义，故B 错误； ，则， 所以为奇函数，故C 正确； ，且， 则， 因，则，则，即， 则在上单调递减， 因为奇函数，则在上也单调递减， 当时，；当时，，故函数无最值， 故D选项正确. 故选：ACD. 65．【多选】（25-26高一·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 【答案】AC 【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【详解】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得，    由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误. 故选：AC. 66．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当，时，函数的图象过点 B．当时，函数的单调递增区间为 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 【答案】CD 【分析】明确函数解析式，代入验证可判断A的真假；利用指数函数的单调性，结合复合函数单调性的有关结论，可判断B的真假；明确函数解析式，求函数值域，可判断C的真假；分情况讨论，根据函数的最大值，求参数的值，可判断D的真假. 【详解】对A：当，时，． 将代入可得，， 所以函数的图象不经过点．故A错误； 对B：当时，． 令，二次函数图象的对称轴为，在区间上单调递增，在上单调递减． 又因为指数函数是减函数，所以根据复合函数“同增异减”的原则，可知的单调递增区间为．故B错误； 对C：当时，，令． 因为函数是减函数，所以. 所以函数的值域为．故C正确； 对D：当时，． 若，则，此时函数无最大值． 若，令， 要使有最大值2，则在t取最小值时取最大值，所以． 对于二次函数，其图象的对称轴为， 当时，， 因为的最大值为2，所以，所以，解得．故D正确. 故选：CD 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 指数运算与指数函数 知识点一、n次方根，n次根式 1..a的n次方根的定义 一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式： 式子叫做 ，这里n叫做 ，a叫做 . 知识点二：根式的性质及分数指数幂 1.根式的性质 ①负数没有 方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③.()n＝a(n∈N*，且n>1). ④.＝a(n为大于1的奇数). ⑤.＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 ①.规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识点三：指数幂的分类及运算 1.有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． 2.有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 知识点四：指数函数的定义及特征 1.指数函数的概念 定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.指数函数三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是. 知识点五：指数函数的图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点 ，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于 对称 知识点六：指数函数的单调性 1.指数函数单调性 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)（a＞1）在定义域上是单调 函数;y＝ax(a>0，且a≠1)（0＜a＜1）在定义域上是单调 函数. 2.与指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： ①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. ②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调3.求指数函数复合的函数单调性区间方法： ①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域 ②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数 ③分别将两个函数的单调区间求出来 ④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。 4.解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 【易错点】01 指数运算错误 辨析：指数运算忽略底数的范围，不会进行指数与指数幂的运算与化简，从而出现错误. 【典例1】化简：. 【典例2】下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【易错点】02 忽视对底数的讨论 辨析：指数函数中底数的讨论不全面或未进行底数讨论，单调性判断有误，误用指数函数的性质致错. 【典例1】若函数且在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【易错点】03 忽视函数定义域、值域等隐含条件 辨析：在解决函数、方程等问题中忽视了指数函数的值域，定义域等隐含条件，造成条件不全，不等式漏解等问题. 【典例1】求函数的定义域和值域． 【典例2】求函数的值域． 重难点01 指数幂的计算 指数幂运算的一般原则 (1)将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一． 1．（25-26高一·江苏盐城·阶段练习）若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高三·江苏淮安·阶段练习） . 3．【多选】（25-26高三·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·江苏·专题练习）（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 重难点02 指数实际应用 1.两类指数模型 （1）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型． （2）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 2.解决有关增长率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较． (2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可． (3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 5．（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 6．（25-26高三·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 7．（25-26高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 8．（2025高一·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 重难点03 指数函数的概念及应用 1、判断一个函数是否为指数函数的方法 ①看形式:只需判断其解析式是否符合(a>0，且a≠1)这一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． (1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求． 2、已知某函数是指数函数求参数值的方法 ①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程； ②求参数值：解不等式与方程求出参数的值． 注：解决指数函数问题时，要特别注意底数大于0且不等于1这一条件. 3、求指数函数的解析式或函数值 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 9．（2025高一·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025高一·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 11．（2025高二·新疆·学业考试）若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 重难点04 指数（型）函数的定义域 形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． 12．（2025高一·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 13．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 15．（2025高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 16．（2025高二·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 重难点05 指数（型）函数的值域 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 2、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 17．（2025高二·云南·期末）已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 20．（2025高一·全国·专题练习）设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 21．（2025高二·陕西西安·期末）定义一种运算则函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 22．（2025高一·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 重难点06 指数（型）的图像及应用 指数函数的图象及其应用要点 （1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断； （2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象； （3）根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断. 24．（2025高三·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高一·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．  B．   C．  D．   26．（2025·浙江·模拟预测）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 27．（25-26高一·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 28．（2025高二·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 29．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 32．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 33．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 重难点07 求指数（型）函数的单调性 与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调区间； (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)． 34．（2025高一·陕西·期末）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 35．（2025高三·全国·专题练习）函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 36．（2025高二·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 37．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 38．（2025高一·重庆江北·期末）函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 39．（2025高一·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 重难点08 已知指数（型）函数的单调性求参数范围 先明确指数型函数基本形式，如（a>0且a≠1），单调性由底数a和内层函数f(x)共同决定。 当a>1时，指数函数单调递增，故单调性与f(x)一致，据此列关于参数的不等式；当0<a<1时，指数函数单调递减，单调性与f(x)相反，再列不等式。解不等式，结合参数其他限制条件，确定参数范围。 40．（25-26高一·全国·期中）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 41．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（2025高一·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A．B．C． D． 43．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 44．（25-26高三·河北衡水·阶段练习）函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是 . 重难点09 比较大小 比较两个幂的大小：①如果底数相同，可利用指数函数的单调性比较;②如果指数相同，可作除法，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象比较;③如果指数不同，底数也不同，则要对原式作变形，或利用中间量比较. 45．（2025高一·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高三·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 47．（2025高一·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 48．（2025高二·江苏无锡·阶段练习）若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 重难点10 解指数（型）不等式 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 49．（25-26高三·广东·阶段练习）集合，，则 （    ） A． B． C． D． 50．（25-26高三·四川遂宁·阶段练习）不等式的解集为 ． 51．（25-26高三·重庆·开学考试）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为 . 52．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中表示中的较大者.则不等式的解集为 . 重难点11 已知指数（型）函数奇偶性求值或解析式 根据奇偶函数的定义，结合已知条件，代入计算，即可求出具体值或解析式。 53．（2025高三·辽宁·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：时，，则（   ） A． B．0 C． D． 54．（2025高一·云南曲靖·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 55．（2025高二·浙江宁波·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 56．（2025高一·云南昆明·期中）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 重难点12 指数（型）函数奇偶性求参数 （1）先确保指数型函数的定义域关于原点对称，这是判断奇偶性的前提，由此初步确定参数的可能范围。 （2）根据函数奇偶性的定义，若为偶函数，则自变量取相反数时函数值不变；若为奇函数，则自变量取相反数时函数值也变为相反数。 （3）将自变量替换后整理等式，由于等式需对定义域内所有自变量成立，可得到函数系数间的关系，结合已知条件求解参数。 57．（25-26高一·全国·课后作业）若是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．0 58．（2025·天津和平·模拟预测）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 59．（2024高三·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则（    ） A．0 B．2 C． D．1 60．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 61．（2025·北京·模拟预测）已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 重难点13 指数（型）函数的综合应用 指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 62．【多选】（25-26高三·吉林长春·阶段练习）已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．关于对称 D． 63．【多选】（25-26高二·安徽阜阳·开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 64．【多选】（25-26高三·吉林延边·开学考试）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C．为奇函数 D．无最值 65．【多选】（25-26高一·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 66．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当，时，函数的图象过点 B．当时，函数的单调递增区间为 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $