高一数学上学期期中模拟卷（北师大版必修第一册第1～3章：集合逻辑不等式+函数及其性质+指数及指数函数，高效培优提升卷）

2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修第一章第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（    ）分钟进行消毒工作. A． B． C． D． 8．定义在上的函数满足，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 11．游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一带的护栏，南北绵延约1公里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色．德国数学家莱布尼兹把这种架在等高两柱间，自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小值为a D．的单调增区间为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数在上是减函数，则实数 ． 13．已知，则 ； ． 14．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．（15分） 若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 17．（15分） 设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 18．（17分） 已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 19．（17分） 已知函数，记（）. (1)若，解不等式：； (2)设为实数，当时，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求正数的最小值及此时、的值. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ， 故选：A 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为，. 故选：C 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，函数有意义，等价于， 解得，即函数的定义域为. 故选：D 4．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则； 则， 因此， 所以函数在上单调递减，最大值为． 故选：C 5．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，在上单调递增， ，故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 6．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增，又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 7．友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（    ）分钟进行消毒工作. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，当时，过点， 则，解得，所以， 当时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至毫克， 当时，空气中每立方米的含药量逐渐降低， 由，解得， 又，所以工作人员至少在会议开始时提前分钟进行消毒工作. 故选：. 8．定义在上的函数满足，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，令，可得, 即， 所以. 又，所以, 所以. 因为，所以， 所以. 因为，当时，， 所以， 所以， 所以. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为，则，又因为，所以，故A正确； 对于B，因为函数在单调递增，所以，故B错误； 对于C，因为函数在单调递增，所以，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递减，所以，故D正确； 故选：AD 10．（多选题）已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为是上的偶函数，又因为函数是定义在上的增函数，则是上的增函数， 所以图象是关于对称的，且在单调递增， 故选:BC． 11．游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一带的护栏，南北绵延约1公里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色．德国数学家莱布尼兹把这种架在等高两柱间，自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小值为a D．的单调增区间为 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称且， 为偶函数，故A错误，B正确； ，， 当且仅当 时，即取等号，故C正确； 因为，对于函数，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增，且当时，当时； 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调增区间为，故D正确. 故选： BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数在上是减函数，则实数 ． 【答案】 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意. 13．已知，则 ； ． 【答案】, 【详解】， ， ，且， ， 14．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图， 当时，， 由图可知，，即， 得，则. 由，即，得，求得， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得，（1分） 因为， 当时，，解得，符合题意；（4分） 当时，则，解得， 综上，.（7分） 故实数的取值范围为．（8分） （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集，（9分） 又，， 则，（11分） 解得， 故实数的取值范围是．（13分） 16．（15分） 若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，因为函数是奇函数，故，满足条件；（2分） 当时，， 由是奇函数，得， 所以.(7分) （2）由（1）的解析式，作出的图象： 可知函数的在上单调递增，在上单调递减， 要使在上不单调， 则，解得．（12分） 或，解得．（14分） 所以实数的取值范围是.(15分) 17．（15分） 设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）恒成立等价于，恒成立. 当时，不等式可化为，满足题意.（3分） 当时，有，即，解得，（5分） 综上，a的取值范围是.（6分） （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；（7分） 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为；（9分） 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或 ；（14分） 综上，当时，原不等式的解集为或 ； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.（15分） 18．（17分） 已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【详解】（1）函数是奇函数，（1分） 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数．（5分） （2）函数在上单调递减，（6分） 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，，（10分） ，即，即， 在上单调递减；（12分） （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则，（14分） 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为．（17分） 19．（17分） 已知函数，记（）. (1)若，解不等式：； (2)设为实数，当时，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求正数的最小值及此时、的值. 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，， 【详解】（1）因为，， 当时，， 由，得，整理得， 即，所以 ，即， 故不等式的解集为.（5分） （2）当时，， 则， 因为存在实数，使得成立， 所以在上有解， 整理得到在上有解，（7分） 因为在上为增函数，则， 而为增函数，则， 而为减函数，则， 所以的值域为， 故.（10分） （3）因为， 所以， 令，，则， 因为对于任意的，均有， 所以对任意的恒成立， 分别取，得， 故 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为，（13分） 此时，整理得， 故，故，从而，所以.（15分） 下证：在上恒成立. 设， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故在上恒成立. 综上，，.（17分） 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D C D D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．-3 13．, 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由，可得，（1分） 因为， 当时，，解得，符合题意；（4分） 当时，则，解得， 综上，.（7分） 故实数的取值范围为．（8分） （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集，（9分） 又，， 则，（11分） 解得， 故实数的取值范围是．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）当时，因为函数是奇函数，故，满足条件；（2分） 当时，， 由是奇函数，得， 所以.(7分) （2）由（1）的解析式，作出的图象： 可知函数的在上单调递增，在上单调递减， 要使在上不单调， 则，解得．（12分） 或，解得．（14分） 所以实数的取值范围是.(15分) 17．（15分） 【详解】（1）恒成立等价于，恒成立. 当时，不等式可化为，满足题意.（3分） 当时，有，即，解得，（5分） 综上，a的取值范围是.（6分） （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；（7分） 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为；（9分） 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或 ；（14分） 综上，当时，原不等式的解集为或 ； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.（15分） 18．（15分） 【详解】（1）函数是奇函数，（1分） 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数．（5分） （2）函数在上单调递减，（6分） 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，，（10分） ，即，即， 在上单调递减；（12分） （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则，（14分） 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为，， 当时，， 由，得，整理得， 即，所以 ，即， 故不等式的解集为.（5分） （2）当时，， 则， 因为存在实数，使得成立， 所以在上有解， 整理得到在上有解，（7分） 因为在上为增函数，则， 而为增函数，则， 而为减函数，则， 所以的值域为， 故.（10分） （3）因为， 所以， 令，，则， 因为对于任意的，均有， 所以对任意的恒成立， 分别取，得， 故 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为，（13分） 此时，整理得， 故，故，从而，所以.（15分） 下证：在上恒成立. 设， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故在上恒成立. 综上，，.（17分） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $