4.3相似多边形（导学案）数学北师大版九年级上册

4.3 相似多边形 导学案 1. 理解相似多边形的定义，掌握相似比的概念，能识别和判断两个多边形是否相似，并运用相似性质解决简单几何问题. 2. 经历猜想对应角、对应边的关系，再通过测量、推理等方式验证猜想，体会数形结合思想和归纳推理思想，提升从具体情境中抽象数学概念的直观感知能力与逻辑推理能力. 3. 感受数学与生活的联系，体会几何图形的美感，增强学习数学的兴趣；在合作探究中培养逻辑推理能力和数学表达能力. 学习重点：理解并掌握相似多边形的定义及其性质. 学习难点：能从具体图形中抽象出相似关系，并会将相似比灵活运用. 第一环节 自主学习 温故知新： 1. 线段的比是指用同一长度单位度量的两条线段的长度的比；若线段，，则b=1:2 2. 成比例线段的定义：若四条线段 满足 ​，则称这四条线段成比例. 3. 全等多边形的定义：两个多边形如果对应边都相等，且对应角都相等，那么这两个多边形叫做全等多边形 新知自研：自研课本第86-87页的内容． 【学法指导】 情景引入 如图，计算机显示屏上的多边形，投影到银幕上后成为了多边形.它们的形状相同吗？ 自研课本P86-87页的内容，思考： ●探究一：相似多边形的本质特征 问题展示：根据图中信息，完成下列任务 ◆1. 这两个六边形形状相同，大小不同. ◆2. 用量角器测量图中两个六边形的各内角并记录测量结果： 原六边形（） 测量值（°） 投影六边形（） 测量值（°） ◆3. 根据测量出的角度，可以发现对应位置的角相等，即，，，，，. ◆4. 用直尺测量两个六边形的各边长度并记录数据 原六边形边长（） 长度（cm） 投影六边形边长（） 长度（cm） ◆5. 计算每组对应线段的比值，可以发现 ◆6. 总结前面两个环节发现的结果： ① 两个六边形对应角相等； ② 两个六边形对应边成比例. ◆7. 知识归纳 相似多边形的定义： 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.如：六边形与六边形相似，记作：  ，其中“”读作相似于. 相似比的定义： 相似多边形对应边的比叫做相似比. 练一练 1.判断对错. （1）两个形状 “看起来差不多” 的多边形是相似多边形. （ ） （2）若四边形ABCD四边形 A'B'C'D'，则∠A =∠ A'，∠B = ∠B'，∠ C = ∠ C'，∠ D = ∠ D'. （√） （3）若五边形M和五边形N的相似比为，则五边形N和五边形M的相似比为.（√） 2. 已知四边形ABCD与四边形相似，AB = 4cm， A'B' = 6cm， BC = 5cm： （1）求四边形ABCD与四边形的相似比. （2）求B'C'的长度. 解：（1）求相似比 相似比是前一个多边形与后一个多边形对应边的比 （2）设，则： 交叉相乘得： ●探究二 特殊多边形的相似性判断 ◆1. （1）等边三角形：每个内角都是60°，三边长度相等； （2）正方形：每个内角都是90°，四边长度相等； （3）正n边形：每个内角都为，每条边长度相等. ◆2. 若两个等边三角形的边长分别为a和b，则对应角均为60°（各角相等），对应边的比为，因此相似；同理，所有的正方形也都相似；任意两个同边数的正多边形，都满足各角分别相等、各边成比例，因此任意两个同边数的正多边形都相似 . ◆3. 菱形的四边长度相等，但角的大小不确定，只能确定角的关系为对角相等、邻角互补，因此两个菱形不一定相似. ◆4. 若菱形的边长为2cm，；菱形的边长为4cm， ，则： 对应角：，； 对应边的比：； 由于对应角不相等，这两个菱形不相似. ◆5. 知识归纳 任意两个正多边形都相似，相似的条件必须是对应角相等+对应边成比例，缺一不可. 练一练 1. （1）任意两个等腰三角形相似吗？为什么？ （2）请尝试总结：什么样的特殊四边形一定相似？什么样的特殊四边形不一定相似？ 解：（1）任意两个等腰三角形不一定相似。 因为相似三角形的定义是对应角相等，对应边成比例。等腰三角形的特点是“两腰相等，两底角相等”，但不同等腰三角形的顶角或底角可能不相等，导致对应角不满足相似条件。 （2）一定相似的特殊四边形：正四边形（正方形），因为所有正方形都满足“对应角相等+对应边成比例”。 不一定相似的特殊四边形：矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形，因为它们都仅满足其中一个条件，或两个条件都不满足. ●探究三 实际场景中的相似多边形判断 问题情境：一块长3 m、宽1.5m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗?为什么? ◆1. 矩形的所有内角均为90°；要判断各边成比例，需要边框内外矩形的长和宽. ◆2. 内矩形（黑板）：长a = 3m = 300cm，宽b = 1.5m = 150cm 外矩形（黑板 + 边框）：边框宽7.5cm，因此长a' = 315cm，宽b' = 165cm. ◆3. 矩形的长的比： = ；宽的比： = 边框内外的矩形，虽“各角分别相等”，但各边不成比例，因此不相似. 练一练 针对以上问题，若边框宽改为x cm，当x为何值时，边框内外矩形相似？ 【分析】矩形是特殊多边形，对应角均为直角（相等），因此相似的关键条件是对应边成比例（即长宽比相等）.设内外矩形相似，则： 【解答】将，，，代入比例式： 移项化简： 当且仅当时，边框内外矩形相似 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.小组合作，共同测量多边形的角度与长度； B.交流探究三中实际情境问题的解决方法.. 1. 下列关于相似多边形的说法， 正确 的是（ C ） A. 所有矩形都相似 B. 所有菱形都相似 C. 所有正五边形都相似 D. 所有平行四边形都相似 2. 若多边形多边形，相似比为，则多边形多边形的相似比为（ B ） A. B. C. D. 3. 两个多边形相似的 充要条件 是（ D ） A. 形状相同 B. 对应角相等 C. 对应边成比例 D. 对应角相等且对应边成比例 4. 若两个相似多边形的周长比为，则它们的相似比为（ A ） A. B. C. D. 5. 下列各组多边形中， 一定不相似 的是（ D ） A. 两个正三角形 B. 两个正方形 C. 两个等腰梯形（底角均为） D. 两个矩形（长宽比为和） 6. 四边形四边形，若，，则相似比 7. 两个相似多边形的相似比为，则它们的周长比为，面积比为 8. 矩形的长为，宽为，矩形与矩形相似，若矩形的宽为，则其长为 9. 已知正六边形的边长为，正六边形的边长为，判断它们是否相似，并求相似比和周长比。 解： 正六边形的各角相等、各边成比例，因此相似。 相似比： 周长比：正六边形的周长为边长，因此周长比等于相似比，即 题型一：相似多边形定义的辨析 1. (2023·山东青岛模拟) 下列图形中一定相似的是（ C ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正五边形 D. 两个平行四边形 【分析】要判断“一定相似”的图形，需严格依据相似多边形的定义（对应角相等、对应边成比例）： 【解答】A. 两个等腰三角形：等腰三角形的顶角或底角可能不同（如顶角30°与顶角60°的等腰三角形），对应角不相等，故不一定相似。 B. 两个直角三角形：直角三角形的锐角可能不同（如30°-60°-90°与45°-45°-90°的直角三角形），对应角不相等，故不一定相似。 C. 两个正五边形：正五边形的所有内角均为108°（(5-2)×180°/5=108°），所有边均相等，因此对应角相等、对应边成比例，一定相似。 D. 两个平行四边形：平行四边形的角（如60°与90°）或边的比例可能不同（如边长1:2与2:3的平行四边形），故不一定相似。 【点评】本题考查相似多边形的本质特征（对应角相等+对应边成比例）。正多边形（如正五边形、正方形）因角和边的统一性，一定相似；而等腰三角形、直角三角形、平行四边形等特殊图形需满足额外条件才相似． 2. (2022·江苏苏州中考模拟) 已知四边形ABCD和四边形A'B'C'D'，不能判定它们相似的是（ D ） A. 各角分别相等且各边成比例 B. 各边成比例且∠A=∠A' C. 两组邻边成比例且夹角相等 D. 一组对边成比例且∠A=∠A' 【分析】逐一分析选项是否满足相似四边形的判定条件（对应角相等+对应边成比例）. 【解答】A. 各角分别相等且各边成比例：这是相似多边形的定义，直接判定相似，能判定. B. 各边成比例且∠A=∠A'：若四边形各边成比例，则连接对角线分成的两个三角形均相似（SSS），从而对应角相等（如△ABC∽△A'B'C'，△ACD∽△A'C'D'），故四边形对应角相等，能判定. C. 两组邻边成比例且夹角相等：如AB/A'B'=BC/B'C'，∠B=∠B'（夹角相等），则△ABC∽△A'B'C'（SAS），同理若CD/C'D'=DA/D'A'，∠D=∠D'，则△ACD∽△A'C'D'，从而四边形对应角相等、对应边成比例，能判定. D. 一组对边成比例且∠A=∠A'：仅一组对边成比例（如AB/A'B'=CD/C'D'）和一组角相等（∠A=∠A'），无法保证其他边成比例或其他角相等（如梯形与平行四边形，一组对边成比例、∠A相等，但其他边/角不同），不能判定. 【点评】本题考查四边形相似的判定逻辑。相似四边形需满足“全角相等+全边成比例”，仅部分边或角的条件（如一组对边成比例、一组角相等）无法保证整体相似。选项D是典型的“不充分条件”，需重点识别。 3. (2021·湖北武汉模拟) 下列说法正确的是（ C ） A. 所有矩形都相似 B. 所有菱形都相似 C. 所有正方形都相似 D. 所有等腰梯形都相似 【分析】判断“所有XX都相似”的关键是是否满足相似多边形的定义（对应角相等+对应边成比例）： 【解答】A. 所有矩形：矩形的角均为90°（对应角相等），但边的比例不一定相等（如长2宽1的矩形与长3宽1的矩形，边比不同），故不一定相似。 B. 所有菱形：菱形的边均相等（对应边成比例），但角不一定相等（如角60°的菱形与角90°的菱形，对应角不同），故不一定相似。 C. 所有正方形：正方形的角均为90°（对应角相等），边均相等（对应边成比例），一定相似。 D. 所有等腰梯形：等腰梯形的底角不一定相等（如底角60°的等腰梯形与底角45°的等腰梯形，对应角不同），故不一定相似。 【点评】本题考查特殊多边形的相似性。正多边形（如正方形、正五边形）因角和边的统一性，必然满足相似条件；而矩形、菱形、等腰梯形等图形仅满足部分条件，需额外约束（如矩形的长宽比相等、菱形的角相等）才相似。 4. (2020·广东广州中考改编) 若两个四边形内角分别相等，，，，，，，且相似，则的长度为（ B ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【分析】相似四边形的核心性质是对应边成比例（对应角相等已满足）。需先确定对应边的顺序： 【解答】四边形的边按顺时针（或逆时针）顺序排列，即对应，对应，对应，对应（因内角分别相等，边的顺序需对应）。 计算相似比：，，故相似比（原四边形:相似四边形）。 求：，已知，则。 【点评】本题考查相似四边形的对应边成比例。关键是确定对应边的顺序（需与内角顺序一致），通过已知边的比例求出相似比，再计算未知边。若对应边顺序错误（如对应），则会得到错误结果（如是正确的，若对应错误则可能选C或D） 题型二： 特殊多边形的相似判断 5.（2023·浙江杭州中考）判断下列说法正确的是（ A ） A. 任意两个正六边形都相似； B. 任意两个菱形都相似； C. 任意两个等腰三角形都相似； D. 任意两个矩形都相似 【分析】解题关键：相似多边形的定义——对应角相等，对应边成比例。 【解答】A.正六边形的每个内角均为 （计算公式：），因此对应角相等；正六边形的边均相等，因此对应边成比例（比例为边长之比）。满足相似条件，正确。 B.菱形的边均相等，因此对应边成比例，但菱形的角不一定相等（如一个菱形的角为 ，另一个为 ）。不满足对应角相等的条件，错误。 C. 等腰三角形的两腰相等，因此对应边成比例，但顶角不一定相等（如一个顶角为 ，另一个为 ）。不满足对应角相等的条件，错误。 D.矩形的四个角均为 ，因此对应角相等，但对应边的比例不一定相等（如一个矩形长2宽1，另一个长3宽1，边的比例为 和 ，不成比例）。不满足对应边成比例的条件，错误。 【点评】考查特殊多边形的相似判断，核心是掌握相似多边形的定义（对应角相等、对应边成比例）。正多边形（如正六边形）的角和边均满足相似条件，因此任意两个正多边形都相似；而菱形、矩形、等腰三角形等特殊多边形，需同时满足角和边的条件，否则不相似. 6.（2022·四川成都模拟）关于菱形的相似性，正确的是（ A ） A. 有一个角为 的两个菱形一定相似； B. 边长相等的两个菱形一定相似； C. 对角线相等的两个菱形一定相似； D. 任意两个菱形都不相似 【分析】解题关键：菱形相似的核心条件——对应角相等（菱形的边均相等，因此对应边必成比例）。 【解答】A. 菱形的邻角互补、对角相等。若一个角为 ，则其余角分别为 、、，因此对应角相等；菱形的边均相等，对应边成比例（比例为边长之比）。满足相似条件，正确。 B. 边长相等的菱形，对应边成比例（比例为1），但角不一定相等（如一个角为 ，另一个为 ）。不满足对应角相等的条件，错误。 C. 菱形的对角线相等（）时，菱形变为正方形（四个角均为 ），此时两个正方形相似。但“对角线相等”若指两条对角线的长度相等（如菱形1的对角线为 和 ，菱形2的对角线为 和 ），则它们的角互补（，，），不相等。因此“对角线相等的两个菱形”不一定相似，错误。 D. 正方形是特殊的菱形，两个正方形的对应角相等、对应边成比例，因此相似。错误。 【点评】考查菱形的相似性，关键是理解菱形的性质（边相等、角互补）。菱形的边均成比例，因此相似的核心是对应角相等。有一个角相等的菱形，所有对应角均相等，因此一定相似；而边长相等、对角线相等的菱形，不一定满足对应角相等，因此不一定相似。解题时需注意区分“一定相似”与“不一定相似”的情况，避免混淆 7.（2021·山东济南中考模拟）判断下列命题正确的是（ A ） A. 所有正七边形都相似； B. 所有等腰梯形都相似； C. 所有矩形都相似； D. 所有平行四边形都相似 【分析】解题关键：相似多边形的定义（对应角相等、对应边成比例）及特殊多边形的性质。 逐一分析选项： 【解答】A.正多边形的性质：① 每个内角相等（计算公式：，正七边形每个内角为）；② 每条边相等。因此，任意两个正七边形的对应角相等（均为约128.57°），对应边成比例（比例为边长之比），完全满足相似条件。正确。 B.等腰梯形的两腰相等、两底平行，但对应角不一定相等（如一个等腰梯形的底角为60°，另一个为90°）。即使两底比例相同，角不相等则不相似。错误。 C.矩形的四个角均为90°（对应角相等），但对应边比例不一定相等（如矩形1：长2、宽1；矩形2：长3、宽1，边比例为2:3≠1:1）。错误。 D. 平行四边形的对角相等、邻角互补，但对应角不一定相等（如菱形的角为60°，矩形的角为90°），且对应边比例不一定相等。错误。 【点评】重点考查正多边形的相似性。正多边形是特殊的多边形，其角和边的统一性（所有角相等、所有边相等）决定了任意两个同边数的正多边形都相似。而等腰梯形、矩形、平行四边形等非正多边形，需同时满足“角相等”和“边成比例”两个条件才相似，因此“所有”这类多边形都相似的命题不成立。 8．（2012·贵州中考）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（　B　） A．∠E=2∠K B．BC=2HI C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL 【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误； B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确； C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误； D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误． 【点评】本题考查相似多边形的性质． 题型三 相似比的计算与应用 9．（2011·海南·中考真题）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ B ） A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2 【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【解答】 解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE， 则矩形ABDC∽矩形FDCE， 则 设DF=xcm，得到： 解得：x=4.5， 则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2． 【点评】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键． 10.(2023·江苏连云港中考) 如图，正六边形ABCDEF与正六边形A'B'C'D'E'F'相似，已知正六边形ABCDEF的边长为4，正六边形A'B'C'D'E'F'的周长为36. (1) 求两个正六边形的相似比; (2) 若正六边形ABCDEF的面积为24，求正六边形A'B'C'D'E'F'的面积. 【分析】本题考查相似多边形的性质，核心知识点为：相似多边形的周长比等于相似比（对应边的比）；相似多边形的面积比等于相似比的平方正六边形是特殊的多边形，所有边长相等，周长等于边长×6，因此可通过周长快速求边长，进而计算相似比；面积比则需通过相似比的平方推导。 【解答】正六边形的边长为，周长为； 正六边形的周长为，边长为。 相似比为对应边的比（或周长的比），即： (2) 求正六边形的面积 相似多边形的面积比等于相似比的平方，即： 设正六边形的面积为，则： 解得： 【点评】本题是中考常见的基础题，重点考查相似多边形的性质应用，难度较低。解题关键在于：明确“相似比”的定义（对应边/周长的比）；牢记“面积比=相似比的平方”这一核心结论。 11. (2022·四川德阳中考模拟) 已知四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为3∶5，四边形ABCD的周长为27cm，面积为18cm².  (1) 求四边形EFGH的周长;  (2) 求四边形EFGH与四边形ABCD的面积差。 【分析】本题考查相似多边形的基本性质，关键知识点如下：周长比与相似比的关系：相似多边形的周长比等于其相似比（对应边的比）；面积比与相似比的关系：相似多边形的面积比等于其相似比的平方 【解答】（1）相似多边形的周长比等于相似比。 已知四边形与四边形的相似比为，因此它们的周长比为。 设四边形的周长为，则：  解得： (2) 求四边形与四边形的面积差 相似多边形的面积比等于相似比的平方. 相似比为，因此面积比为. 设四边形的面积为，则：  解得： 面积差为： 【点评】本题是相似多边形性质的典型基础题，难度极低，属于中考中的“送分题”.解题的核心是牢记周长比与面积比的规律. 12. (2020·山东泰安模拟) 两个相似多边形的一组对应边分别为6cm和9cm，且较小多边形的面积比较大多边形的面积小45cm².  (1) 求两个多边形的相似比;  (2) 求两个多边形的面积。 【分析】本题考查相似多边形的核心性质，涉及两个关键知识点：相似比的定义；面积比与相似比的关系第(1)问直接利用相似比的定义即可求解； 第(2)问需要结合面积差建立方程，通过相似比的平方关系设变量，进而求出两个多边形的面积，重点考查方程思想在几何中的应用. 【解答】相似比是对应边的比，且对应边需与多边形的大小对应（较小边对应较小多边形，较大边对应较大多边形）。 已知两个相似多边形的一组对应边分别为（较小边）和（较大边），因此相似比为： (2) 求两个多边形的面积 相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此面积比为：  设较小多边形的面积为较大多边形的面积为（根据面积比设变量，简化计算）； 根据题意“较小多边形的面积比较大多边形的面积小”，建立方程：  解得：； 因此，较小多边形的面积为，较大多边形的面积为. 【点评】本题是相似多边形性质的经典应用题型，重点考查相似比的顺序；面积比的平方关系；方程思想的应用. 题型四 实际情境中的相似多边形问题 13.（2010·山东潍坊·中考真题）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么等于（ B ）. A． B． C． D． 【分析】根据矩形ABCD与矩形ABFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得 【解答】∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 故选B 14．（2016·山西·中考真题）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ D ） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【解答】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 15.（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ D ） A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可． 【解答】3m×2m=6m2， ∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， 则面积扩大为原来的9倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元， 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 4.3相似多边形 1. 满足相似多边形的条件：各角分别相等+各边成比例 2. 相似比的定义：相似多边形对应边的比叫做相似比 3. 任意两个正多边形都相似 4. 任意两个菱形不一定相似 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 相似多边形 导学案 1. 理解相似多边形的定义，掌握相似比的概念，能识别和判断两个多边形是否相似，并运用相似性质解决简单几何问题. 2. 经历猜想对应角、对应边的关系，再通过测量、推理等方式验证猜想，体会数形结合思想和归纳推理思想，提升从具体情境中抽象数学概念的直观感知能力与逻辑推理能力. 3. 感受数学与生活的联系，体会几何图形的美感，增强学习数学的兴趣；在合作探究中培养逻辑推理能力和数学表达能力. 学习重点：理解并掌握相似多边形的定义及其性质. 学习难点：能从具体图形中抽象出相似关系，并会将相似比灵活运用. 第一环节 自主学习 温故知新： 1. 线段的比是指用_______________度量的两条线段的长度的比；若线段，，则b=_______ 2. 成比例线段的定义：若四条线段 满足_______ ​，则称这四条线段成比例. 3. 全等多边形的定义：两个多边形如果______________，且______________，那么这两个多边形叫做全等多边形 新知自研：自研课本第86-87页的内容． 【学法指导】 情景引入 如图，计算机显示屏上的多边形，投影到银幕上后成为了多边形.它们的形状相同吗？ 自研课本P86-87页的内容，思考： ●探究一：相似多边形的本质特征 问题展示：根据图中信息，完成下列任务 ◆1. 这两个六边形______________，______________. ◆2. 用量角器测量图中两个六边形的各内角并记录测量结果： 原六边形（） 测量值（°） 投影六边形（） 测量值（°） ◆3. 根据测量出的角度，可以发现______________，即，，，，，. ◆4. 用直尺测量两个六边形的各边长度并记录数据 原六边形边长（） 长度（cm） 投影六边形边长（） 长度（cm） ◆5. 计算每组对应线段的比值，可以发现 ◆6. 总结前面两个环节发现的结果： ① 两个六边形对应角_______； ② 两个六边形对应边_______. ◆7. 知识归纳 相似多边形的定义： ______________、______________的两个多边形叫做相似多边形.如：六边形与六边形相似，记作：  ，其中“”读作_______. 相似比的定义： 相似多边形对应边的比叫做_______. 练一练 1.判断对错. （1）两个形状 “看起来差不多” 的多边形是相似多边形. （ ） （2）若四边形ABCD四边形 A'B'C'D'，则∠A =∠ A'，∠B = ∠B'，∠ C = ∠ C'，∠ D = ∠ D'. （ ） （3）若五边形M和五边形N的相似比为，则五边形N和五边形M的相似比为.（ ） 2. 已知四边形ABCD与四边形相似，AB = 4cm， A'B' = 6cm， BC = 5cm： （1）求四边形ABCD与四边形的相似比. （2）求B'C'的长度. ●探究二 特殊多边形的相似性判断 ◆1. （1）等边三角形：每个内角都是_______，三边长度_______； （2）正方形：每个内角都是_______，四边长度_______； （3）正n边形：每个内角都为______________，每条边长度_______. ◆2. 若两个等边三角形的边长分别为a和b，则对应角均为60°（各角相等），对应边的比为_______，因此_______；同理，所有的正方形_______；任意两个同边数的正多边形，都满足各角分别相等、各边成比例，因此任意两个同边数的正多边形_______ . ◆3. 菱形的四边_______，但角的大小不确定，只能确定角的关系为对角相等、邻角互补，因此两个菱形______________. ◆4. 若菱形的边长为2cm，；菱形的边长为4cm， ，则： 对应角：，； 对应边的比：； 由于对应角不相等，这两个菱形_______. ◆5. 知识归纳 任意两个正多边形都相似，相似的条件必须是______________+______________，缺一不可. 练一练 1. （1）任意两个等腰三角形相似吗？为什么？ （2）请尝试总结：什么样的特殊四边形一定相似？什么样的特殊四边形不一定相似？ ●探究三 实际场景中的相似多边形判断 问题情境：一块长3 m、宽1.5m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗?为什么? ◆1. 矩形的所有内角均为_______；要判断各边成比例，需要边框内外矩形的______________. ◆2. 内矩形（黑板）：长a = 3m = _______，宽b = 1.5m = _______ 外矩形（黑板 + 边框）：边框宽7.5cm，因此长a' = _______，宽b' = _______. ◆3. 矩形的长的比： = _______；宽的比： =_______ 边框内外的矩形，虽“各角分别相等”，但______________，因此不相似. 练一练 针对以上问题，若边框宽改为x cm，当x为何值时，边框内外矩形相似？ 【分析】矩形是特殊多边形，对应角均为直角（相等），因此相似的关键条件是对应边成比例（即长宽比相等）.设内外矩形相似，则： 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.小组合作，共同测量多边形的角度与长度； B.交流探究三中实际情境问题的解决方法.. 1. 下列关于相似多边形的说法， 正确 的是（ ） A. 所有矩形都相似 B. 所有菱形都相似 C. 所有正五边形都相似 D. 所有平行四边形都相似 2. 若多边形多边形，相似比为，则多边形多边形的相似比为（ ） A. B. C. D. 3. 两个多边形相似的 充要条件 是（ ） A. 形状相同 B. 对应角相等 C. 对应边成比例 D. 对应角相等且对应边成比例 4. 若两个相似多边形的周长比为，则它们的相似比为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组多边形中， 一定不相似 的是（ ） A. 两个正三角形 B. 两个正方形 C. 两个等腰梯形（底角均为） D. 两个矩形（长宽比为和） 6. 四边形四边形，若，，则相似比 7. 两个相似多边形的相似比为，则它们的周长比为_______，面积比为_______ 8. 矩形的长为，宽为，矩形与矩形相似，若矩形的宽为，则其长为_______ 9. 已知正六边形的边长为，正六边形的边长为，判断它们是否相似，并求相似比和周长比。 题型一：相似多边形定义的辨析 1. (2023·山东青岛模拟) 下列图形中一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正五边形 D. 两个平行四边形 2. (2022·江苏苏州中考模拟) 已知四边形ABCD和四边形A'B'C'D'，不能判定它们相似的是（ ） A. 各角分别相等且各边成比例 B. 各边成比例且∠A=∠A' C. 两组邻边成比例且夹角相等 D. 一组对边成比例且∠A=∠A' 3. (2021·湖北武汉模拟) 下列说法正确的是（ ） A. 所有矩形都相似 B. 所有菱形都相似 C. 所有正方形都相似 D. 所有等腰梯形都相似 4. (2020·广东广州中考改编) 若两个四边形内角分别相等，，，，，，，且相似，则的长度为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 题型二： 特殊多边形的相似判断 5.（2023·浙江杭州中考）判断下列说法正确的是（ ） A. 任意两个正六边形都相似； B. 任意两个菱形都相似； C. 任意两个等腰三角形都相似； D. 任意两个矩形都相似 6.（2022·四川成都模拟）关于菱形的相似性，正确的是（ ） A. 有一个角为 的两个菱形一定相似； B. 边长相等的两个菱形一定相似； C. 对角线相等的两个菱形一定相似； D. 任意两个菱形都不相似 7.（2021·山东济南中考模拟）判断下列命题正确的是（ ） A. 所有正七边形都相似； B. 所有等腰梯形都相似； C. 所有矩形都相似； D. 所有平行四边形都相似 8．（2012·贵州中考）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（　 　） A．∠E=2∠K B．BC=2HI C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL 题型三 相似比的计算与应用 9．（2011·海南·中考真题）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ） A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2 10.(2023·江苏连云港中考) 如图，正六边形ABCDEF与正六边形A'B'C'D'E'F'相似，已知正六边形ABCDEF的边长为4，正六边形A'B'C'D'E'F'的周长为36. (1) 求两个正六边形的相似比; (2) 若正六边形ABCDEF的面积为24，求正六边形A'B'C'D'E'F'的面积. 11. (2022·四川德阳中考模拟) 已知四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为3∶5，四边形ABCD的周长为27cm，面积为18cm².  (1) 求四边形EFGH的周长;  (2) 求四边形EFGH与四边形ABCD的面积差。 12. (2020·山东泰安模拟) 两个相似多边形的一组对应边分别为6cm和9cm，且较小多边形的面积比较大多边形的面积小45cm².  (1) 求两个多边形的相似比;  (2) 求两个多边形的面积。 题型四 实际情境中的相似多边形问题 13.（2010·山东潍坊·中考真题）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）. A． B． C． D． 14．（2016·山西·中考真题）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 15.（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元 4.3相似多边形 1. 满足相似多边形的条件：______________+______________ 2. 相似比的定义：相似多边形对应边的比叫做_______ 3. 任意两个正多边形_______ 4. 任意两个菱形_______相似 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $