精品解析：吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度上学期月考 高一数学试题 命题人：王乐 审题人：方晓 刘芯彤 时间2025/10/9 本试卷分选择题和非选择题题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则的最大值为2； B. 若，则； C. 不等式的解集是； D. 当且仅当a，b均为正数时，恒成立. 11. （多选题）存在函数满足：对任意都有（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若点，都在反比例函数的图象上，则______（填“”或“”）. 13. 求函数的定义域为______. 14. 如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为，则该等腰三角形的面积最大值为______． 四、解答题（共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数 （1）求，的值； （2）若，求的值； （3）作出函数的大致图象，并求的解集． 17. 已知命题，命题：关于的不等式的解集为， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 18. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 19. 已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. （1）写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期月考 高一数学试题 命题人：王乐 审题人：方晓 刘芯彤 时间2025/10/9 本试卷分选择题和非选择题题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集定义即得. 【详解】因，,则. 故选：B. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定是：， 故选:A. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【详解】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出交点坐标，利用交集的定义求解即可. 【详解】由,解得：,所以， 故选：C 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对不等式进行变形，再根据二次函数性质求解. 【详解】不等式 化为 解得或 所以不等式解集是或 故选： 7. 对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 8. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】①若，则，， 所以”是“”的充分条件； ②若，则或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以或，所以”是“”的不必要条件， 所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐项判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【详解】对于A，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则的最大值为2； B. 若，则； C. 不等式的解集是； D. 当且仅当a，b均为正数时，恒成立. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可得到正确答案. 【详解】选项A：因为，所以,所以的最大值是2.所以选项A正确； 选项B ：因为所以.因为，所以，所以.所以选项B错误； 选项C：因为，所以，即，即解得：.所以选项C正确； 选项D：当时，恒成立，当且仅当时，等号成立.所以同为负数时，也可使恒成立.所以选项D错误. 故选：AC. 11. （多选题）存在函数满足：对任意都有（ ）． A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC，通过赋值说明不符合函数的定义即可判断；对于BD，找到对应的函数解析式即可判断. 【详解】A选项中，当或时，，有或，不符合函数的定义； C选项中，当时，有，当时，，不符合函数的定义； B选项和D选项中，与的图象具有相同的对称轴， 与的图象也具有相同的对称轴，因此不符合函数定义的情况不会发生． 事实上，对于B选项，取即可； 对于D选项，， 令，则，，取即可． 故选：BD． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若点，都在反比例函数的图象上，则______（填“”或“”）. 【答案】> 【解析】 【分析】先将的表达式求出来，然后进行比较大小即可. 【详解】因为点都在反比例函数上， 所以. 由于，所以. 所以. 故答案为：>. 13. 求函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由被开方数非负，解不等式可得答案 【详解】由，即， 解得：或， 所以函数的定义域为：， 故答案为：. 14. 如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为，则该等腰三角形的面积最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】如图所示，作于E，设，，在中利用勾股定理得出一个关于b、h的等式，并用均值不等式放缩得到关于面积的一个不等式，即可得到题目所要求的等腰三角形的面积最大值． 【详解】如图所示，作于E，于F，则，又因为D为中点，所以，设，，故，在中，由可得，，即， 当且仅当等号成立，此时，，所以， ． 故答案为：4． 四、解答题（共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补的定义即可求解， （2）根据子集关系即可求解. 【小问1详解】 由于或，， 故，， ， 【小问2详解】 ∵，∴ 16. 已知函数 （1）求，的值； （2）若，求的值； （3）作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】（1）， （2）或1或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【小问1详解】 因为， 所以，． 【小问2详解】 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． 【小问3详解】 作出函数的图象如图所示： 当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 17. 已知命题，命题：关于的不等式的解集为， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的单调性求值域，可得实数的取值范围. （2）先求出为真命题时的取值范围，再分情况讨论满足条件的实数的取值范围. 【小问1详解】 当命题为真命题时，，. 因为（当时取等号），所以. 所以命题为真命题，则实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题为真命题，则或，所以. 若真假，则；若真假，则. 所以命题有且仅有一个真命题时，. 18. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【答案】（1） （2） 设窗户面积为,地板面积为，增加面积为， ∵，且，∴， 即，所以公寓采光效果变好了. 【解析】 【分析】（1）根据题意列不等式即可求解， （2）利用作差法即可求解. 【小问1详解】 设窗户面积为，则地板面积为. 由题意知且，解得. 所以窗户面积至少为. 【小问2详解】 略 19. 已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. （1）写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】（1） （2） 法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，， 故可设，，两边同时除以得，，因为， 所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立， 元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根，则， 解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2； （3）存在1个，，理由如下： 设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有，满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 【解析】 【分析】(1)令得到答案； (2)法一：利用反证法进行证明；法二：构造一元二次方程利用判别式法证明； (3)设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，，求出答案. 【小问1详解】 不妨令，此时，满足要求； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $