精品解析：广东省深圳市深圳外国语学校2025-2026学年上学期九年级数学第一次月考试卷

2025—2026学年深圳外国语学校九年级上 数学学科教学阶段性评估 一．选择题（共8小题，共24分） 1. 已知是锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知中，，，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，的顶点都是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（a，b为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点A、B、C，则a的值是多少？（ ） A. B. C. 2 D. 二．填空题（共5小题，共15分） 9. 二次函数的图象开口方向向上，则a的取值范围________． 10. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是_____米． 11. 如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为________． 12. 如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，，则的面积是_________________． 13. 如图，在中，，点D在边上且满足，点E在边上，将沿线段折叠至，若，则_________________． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 已知二次函数． （1）该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 、 ，顶点坐标是 ； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点） （3）当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围 ． 16. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求的值． 17. 某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值； （3）点在抛物线上，过点D作直线轴，若直线l与抛物线上A，B两点之间的部分（包含点A，B）有两个交点，则m的取值范围为____________________． 19. 【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 20. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，M为延长线上一点，，连接交于点G，交于点E，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求； （3）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年深圳外国语学校九年级上 数学学科教学阶段性评估 一．选择题（共8小题，共24分） 1. 已知是锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据是锐角，且得出，再求其正切值，即可求解． 【详解】解：∵是锐角，且 ∴， ∴ 故选：C． 2. 已知中，，，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义和勾股定理，根据勾股定理先算出，再根据三角函数的定义分别得到答案即可；解决此题的关键是要熟练应用三角函数的定义． 【详解】解：中，， ∵，， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 3. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移问题．根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，将原抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，即可确定平移后的解析式． 【详解】解：把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是， 故选：B 4. 如图所示，的顶点都是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及正弦的定义是解题的关键；如图，，则有，然后根据正弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 5. 如图，在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形性质，等腰三角形判定，勾股定理，二次根式的运算，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形．过点作于点，利用直角三角形性质、勾股定理，得到，，利用等腰三角形性质，得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的面积为， 故选：D． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（a，b为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数解析式和函数图象之间的关系，掌握函数解析式的系数和函数图象之间的关系即可解题． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，由一次函数图象可知，自相矛盾，不符合题意． B、由二次函数图象可知，由一次函数图象可知，自相矛盾，不符合题意． C、由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，自相矛盾，不符合题意． D、由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，符合题意． 故选：D． 7. 已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解． 【详解】解：二次函数的解析式为， 对称轴为直线，， 该抛物线开口向下， 离对称轴越远的点，其值越小， 点，，， ，，，即， ， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点A、B、C，则a的值是多少？（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，正方形的性质．可得，即，根据正方形的性质以及二次函数的对称性可得，再代入函数解析式求解． 【详解】解：连接，交于点 当， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 将代入，则 解得， 故选：B． 二．填空题（共5小题，共15分） 9. 二次函数的图象开口方向向上，则a的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的开口方向，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据开口向上的条件解题即可． 【详解】解：要使二次函数的图象开口方向向上， 即， 解得． 故答案为：． 10. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是_____米． 【答案】 【解析】 【分析】根据迎水坡AB的坡比是1：，可得＝，即可求得AC的长． 【详解】∵堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：， ∴＝， ∴AC＝BC＝（米）． 故答案为：米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡比的概念． 11. 如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键，根据，求出的长，勾股定理求出的长，再根据等角的余弦相等，求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，，则的面积是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，轴， ， ，则， ， 抛物线交轴正半轴于点，交轴于点， ，对称轴为直线， 轴， ， 则， ， ∴的面积是. 故答案为：． 13. 如图，在中，，点D在边上且满足，点E在边上，将沿线段折叠至，若，则_________________． 【答案】4 【解析】 【分析】如图，过作于，记的交点为，求解，，，，证明，求解，可得，设，则，，证明，进一步可得答案. 【详解】解：如图，过作于，记的交点为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴. 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键：． （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可． （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 15. 已知二次函数． （1）该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 、 ，顶点坐标是 ； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点） （3）当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围 ． 【答案】（1）；； （2） 如图： ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，画二次函数图像． （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图像； （3）结合二次函数图像，写出当时对应的y的取值范围． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：， ∴二次函数图像与轴的交点坐标是，， ∵， ∴该二次函数图像顶点坐标为． 【小问2详解】 解：列表： 描点，连线 【小问3详解】 解：由图像可知，当时，． 16. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的相关计算． （1）证明，根据求出，进一步可得． （2）求解，，进一步即可得出． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 17. 某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）4元 （2）售价为70元时，最大利润为4000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润=单件利润×销售量,列出二次函数解析式． （1）设销售单价提高x元，根据题意由总利润每件利润销量，列出方程求解即可；（2）设销售利润为M元，求得顶点式函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设T恤的销售单价提高x元，依题意得： ， 解得：或， ∵要尽可能减少库存， ∴不合题意，舍去． ∴T恤的销售单价应提高4元， 【小问2详解】 设利润为M元，由题意得： ， ， ∴当时，元， ∴销售单价：（元）， ∴当服装店将销售单价定为70元时，得到最大利润是4000元． 18. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值； （3）点在抛物线上，过点D作直线轴，若直线l与抛物线上A，B两点之间的部分（包含点A，B）有两个交点，则m的取值范围为____________________． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将，代入表达式求解即可. （2）首先表示出点B平移后的坐标，然后代入求解即可. （3）令，求出，，然后求出点A关于直线的对称点坐标为，然后根据题意分情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线为：. 【小问2详解】 解：将点向左平移5个单位长度，再向上平移a个单位长度， 即． 将代入， 得， . 【小问3详解】 解：令，即， 解得，， 点A关于直线的对称点坐标为． 当时，点D在点A左侧，仅有1个交点． 当且时，点D在点A右侧，的左侧（包含），有2个交点． 当时，点D在右侧，（或与点B重合），有1个交点． 当时，为顶点，仅有1个交点． 综上所述，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，m的取值范围为且． 19. 【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 20. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，M为延长线上一点，，连接交于点G，交于点E，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求； （3）若，求． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，再证明，可得，即可得到结论． （2）如图，过作于，证明，，，可得，，证明，求解，可得，，，进一步可得答案． （3）证明四边形为正方形，设，，可得，证明，求解，，进一步可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作于， ∵矩形，，， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：如图， ∵矩形，， ∴四边形为正方形， ∴设，， ∴， 由（1）得：平分． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $