第二章 2 平方根与立方根 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 宁夏专版）

(1)A(一4,5)，B(一2,1)，C(-1,3):(2)如图，△A1B1C1,线段AA1和BB1即为所求； y (3)△ABC和△ABC关于y轴对称，.AA1∥BB1,..四边形 1-5-1-1-1-1-6-6-11 ABB,A是梯形四边形ABBA,的面积为(8十4)×4×分=24： 专练（四）一次函数 1.A2.C3.一64.解：(1)设直线11的函数表达式为y=kx+b。把点A(3,0), B0,-2)代人，得3张+b=0,6=-2,解得=号6=-2。∴直线4的函数表达式为 y-号-2：(2y-号+3：(3)易得四边形ABCD为平行四边形，且BC-5,0A-3, 2 .四边形ABCD的面积为5×3=15.5.解：(1)点C的纵坐标为-1，点C在直线 l1上，.-2.x十1=-1，解得x=1。点C的坐标为(1，-1)。设直线l2的函数表达 式为y=kx十b。:直线l2与y轴交于点B(0,-2),交直线l1于点C,b=一2，k+b =一1，解得k=1,b=一2。.直线12的函数表达式为y=x一2：(2)由题意，得A(0, 1),则AB=3。设D(m,m-2),则E(m,-2m+1)。.DE=2AB,∴.n-2十2m一1 =6,解得m=-1或3。当m=-1时，m-2=-3。当m=3时，m-2=1。∴.点D的 坐标为（一1，一3）或(3,1)。 专练（五）解二（三）元一次方程组 1.解：(1)①十②，得3.x=15,x=5。将x=5代入①，得5+y=6,y=1。∴.原方程组的 解是2=5（2)将@代人①，得3.c十2(x-1D=8,3x十2x-2=8,5x=10,x=2。将x y=1: 巴代人®，得y山。原方程组的解是：3)原方程组整理，图 3.x一y=1,③ ③十④，得3y=6,y=2。将y=2代入③，得3x-2=1,x=1。∴.原 -3x+4y=5。④ 方程组的解是：(40十②，得3一=9。④③-①，得r一=5。⑤④-⑤，得 y=2: 2x=4,x=2。将x=2代入④，得6-之=9,2=一3。将x=2,=一3代入①，得2十y十 x=2, 6。六原方程组的解是3。之解：将”代人方程②，得4× 2=一3。 （-3》-6X(-1D=-2,解得=10。将-5代入方程①得5a十5X4=15,解得a 1y=4 2025 =-1。∴a+(0)=(-10+(-×10) 2025 =1一1=0。 专练（六） 二元一次方程组的应用与求参数值 1.02.子3.解：1)设1辆A型车载满荔枝一次可运走x1,1辆B型车载满荔枝一 次可运走yt。由题意，得2十y=10, 十2y=11解得答：山辆A型车我满荔枝一次可 y=4。 走3,1辆B型车载满荔枝一次可运走4t:(2)由题意，得3a十46=31,4=31,4b。 3 又：a,b均为非负整数，a=9, 6-1,或{分4，或6“该物流公司共有3种用车方 案：方案一：租用9辆A型车，1辆B型车；方案二：租用5辆A型车，4辆B型车；方案 三：租用1辆A型车，7辆B型车。4.解：(1)设轿车出发后xh追上大巴，此时大巴 行驶的时间为(x十1)h。由题意，得60x=40(x十1)，解得x=2,则60.x=60×2=120。 答：轿车出发后2h追上大巴，此时两车与学校相距120km:(2)由(1)知轿车追上大巴 时，大巴行驶了3h,且此时与学校相距120km,∴点B的坐标是(3,120)。由图象，得 第40页（共48页） ,3k+b=120, 点A的坐标为(1,0)。设直线AB的函数表达式为s=kt十b,则 解得 {k+b=0, k=60,直线AB的函数表达式为s=60t-60:(3)由题意，得40(a+1.5)=60X b=-60。 1.5,解得a=子 专练（七）平均数、中位数与方差的应用 1.D2.A3.D4.13.85.解：(1)甲的测试结果从小到大排列为160,165,165， 175,180,185,185,185,甲的中位数4=175十180-177.5.185出现了3次，出现 2 的次数最多，∴.众数b=185。故a=177.5,b=185:(2)应选乙参赛。理由如下：乙的方 差c=日×[2×(175-175)+2×(180-175)2+2×(170-175)2+(185-175)y+ (165-175)]=37.5。:37.5<93.75,.乙的成绩比甲的成绩稳定，.应选乙参赛： (3)(答案不唯一)从平均数和方差相结合看，乙的成绩好些。 专练（八）平行线的性质与判定 1.GDHE2.68°3.解：(1)构造3个命题如下：条件：①AB∥CD:②∠B=∠C:结 论：③∠E=∠F;条件：①AB∥CD:③∠E=∠F;结论：②∠B=∠C:条件：②∠B= ∠C;③∠E=∠F;结论：①AB∥CD;(2)(答案不唯一)选择条件：①AB∥CD;②∠B= ∠C:结论：③∠E=∠F。此命题是真命题。证明如下：，AB∥CD,∴.∠C=∠BAE。 又∠B=∠C,.∠B=∠BAE,∴.EC∥BF,.∠E=∠F。4.解：(1)115°(2)EF 平分∠DFP,理由如下：：DE平分∠MDF,∠EDF=30°，∴.∠MDF=2∠EDF=60°。 :MN∥PQ,∴.∠MDF=∠DFQ=60°。：∠EFD=60°，.∠EFP=180°-60°-60°= 60°，∴.∠EFP=∠EFD,即EF平分∠DFP;(3)延长EB交MN于点G。由题意，得 ∠DBE=60°，∠ABC=45°，∠DEG=90°，∴.∠CBE=∠ABC+∠DBE=105°， ∴.∠CBG=180°-∠CBE=75°。'MN∥PQ,∴.∠MGE+∠DEG=180°，∴.∠MGE= 180°-∠DEG=90°，∴.∠BCG=180°-∠CBG-∠MGE=180°-75°-90°=15°，即 ∠BCN=15°。 期末复习综合测试（一） 1.D2.B3.A4.B5.C6.A7.D8.B9.(-2,3)10.>11.412.√74 13.解：1原式=4÷5-√分×12+2v5=4-6+25=4+6:(2)原式=5+9 -6√3+3=12-5√3.14.解：设AB的长为xm,则BC的长为(x-2)m。:AC= 14m,△ABC是直角三角形，∠C=90°，.由勾股定理，得AC+BC=AB,.14+(x -2)2=x2,解得x=50。答：滑雪台的长度AB为50m。15.解：设租住了三人间客 300a+300b=6300 房a间，双人间客房b间。根据题意，得 3a+2b=50, 0解得4-8：答：租住了 1b=13。 三人间客房8间，双人间客房13间。 期末复习综合测试（二） 1.C2.B3.B4.D5.D6.A7.D8.C9.510.1411.112.913.解： 2a-3的平方根为士3，.2a-3=9,∴a=6。,a十b-2的算术平方根为4，.a+b -2=16。“a=66+6-2=166=12a+名6=6+日×12=8。：8的立方根 是2，∴a十合b的立方根是2.14.证明：CE∥AD,“∠E=∠BAD。AD平分 ∠BAC,.∠BAD=∠CAD,.∠E=∠CAD。,'∠E=∠F,.∠CAD=∠F,∴.AD∥ BF。15.解：(1)300600(2)设直线OD的函数关系式为y=k.x。将点(17,340) 代人y=kx,得340=17k,解得k=20。.直线OD的函数关系式为y=20x。设直线 DE的函数关系式为y=m.x十n。将点(22,340)，(30,300)分别代人y=.x+n,得 /22m十1=340解得m=-5·:直线DE的函数关系式为y=-5x十450。由 130n+n=300, n=450。 y=20.x, 解得=18，点D的坐标为(18,360。y与工之间的函数关系 y=-5.x+450 y=360。 /20x(0x18), 式为y= -5.x+450(18x30)。 第41页（共48页） 随堂反馈答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 ①勾股弦②平方和平方a2+b2=c2 当堂练习 1.D2.D3.B4.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AB-AC=5-3 =16BC=4cm:(2)Sac=号AC.BC=号X3X4=6(cm). 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 1.B2.D3③4.解：由题意，得∠BAC=90,在R△ABC中，AC=×16= 8(n mile),BC=17 n mile,由勾股定理，得AB2=BC2-AC=17-82=225,.AB= l5 n mile。乙船的航速为15÷之=30(mile/h)。 2一定是直角三角形吗 知识梳理 ①a2+b2=c2②正整数 当堂练习 1.B2.A3.直角4.45°5.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=AB2十 BC=4+32=25,.AC=5cm。:AC+CD=52+122=25+144=169,AD2=132 =169,即AC2+CD2=AD,∴.△ACD是直角三角形，∠ACD=90°。 3勾股定理的应用 1.C2.1.73.解：由题意，得AB=10m,AC=20m。设BD=xm,则树高AD=(10 十x)m。由题意，得BD+CD=AB+AC,∴.x+CD=10+20,.CD=(30-x)m。在 Rt△ACD中，∠A=90°，由勾股定理，得AC+AD=CD2,即202+(10+x)=(30- x)2,解得x=5。.AD=10十5=15(m)。答：这棵树有15m高。 第二章实数 1认识实数 第1课时无理数的产生 知识梳理 ①整数分数 ②无限不循环小数 当堂练习 1.D2.B3.B4.22.22.35.10 第2课时实数 知识梳理 ①无限不循环 ②有理数无理数有理数无理数③一a 工它本身它的相 反数0④一一对应 当堂练习 1.C2.D3.x元-3.144.245.解：1)如图， AC,AD的 长是无理数。理由如下：：AB2=32+4=25=5,AC=32+1=10,AD=3+2= 13,没有任何一个有理数的平方为10或13，.AC,AD的长是无理数：(2)如图，△BCD 是等腰三角形。理由如下：，BC=12+22=5,CD=12+2=5,BD=2,∴.BC=CD, .△BCD是等腰三角形；(3)，AC=10,3<10<42,.线段AC的长介于3和4之间。 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 知识梳理 ①正正√a②0gaa-a 第42页（共48页） 当堂练习 1.A2.B3.934.解：(1)122=144，.144的算术平方根是12，即√144=12： )-碧…8的算术平方根是即V需专 2()= ,5=4.5.解：1)原式=2×6= 12:(2)原式=7X号-2 第2课时平方根 知识梳理 ①平方根 二 ②两一0本身没有√a一√ā互为相反数士√a目平方根 被开方数 当堂练习 1.A2.C3.44.解：(1)：（士20）2=400，.400的平方根是士20，即士√400= 士20；(2)（±0.9）2=0.81，∴.0.81的平方根是±0.9，即±√0.8T=±0.9.5.解： 1)r=2.x=士8，(2)号=8d=16x=士4. 第3课时立方根 知识梳理 ①立方根三 ②ā③正0负数④立方根被开方数 当堂练习 1.A2.D3.-3434.解：(1)(0.6)3=0.216，∴.0.216的立方根是0.6，即 025=0,6:2-15号=-1图，(-号)=-1要-15号的立方限是-号， 即15言=-多。5解：1原式=5：(2)原式=-n8。 第4课时估算与用计算器开方 1.C2.C3.54.√5-25.解：这个足球场能用作国际比赛。理由如下：设足球场 的宽为xm,则足球场的长为1.5xm。由题意，得1.5x2=7560,.x2=5040。.x> 0,∴x=√5040。又702=4900,712=5041，.70<√5040<71，.70<x<71, .105<1.5.x<106.5,∴.这个足球场的长和宽都符合要求，即这个足球场能用作国际 比赛。 3二次根式 第1课时二次根式的乘除法 知识梳理 ①a(a≥0) 当堂练习 1.C2.A3.A4.245.解：1)原式=V5;(2)原式=66：(3)原式=√26 :(0原式=√18×号×号=西=4。 第2课时二次根式的化简及加减法 知识梳理 ①a·vb a ②分母能开得尽方的因数或因式 b 当堂练习 1.B2.D3.解：1)原式=4×V25=2×15=30:(2)原式=万= /10010° 4.解： (1)原式=32+4②=7②：(2)原式=25+2_25=43+2 2 3 3 21 第3课时二次根式的混合运算 知识梳理 ①乘方乘除加减 当堂练习 1.D2.8√63.√2y+y√4.解：(1)原式=√14-2：(2)原式=2V2+√6；(3)原式 =45-V2-3+V2=3V3:(4)原式=5-(W5+5)×1×√2=5-(W3+√15) 6 ×方5-1-5-1. 第43页（共48页） 第三章位置与坐标 1确定位置 知识梳理 两 当堂练习 1.D2.D3.9排8号4.南偏西60°且距离超市500m5.解：(1)小红家的位置是 (2,4),小涛家的位置是(6,4)：(2)从小涛家向南走10m到小刚家。 2平面直角坐标系 第1课时平面直角坐标系 知识梳理 ①互相垂直且有公共原点向右向上x轴y轴坐标轴原点②唯一的一个 当堂练习 1.A2.B3.A4.解：如图； 该图形像宝塔松：图形的面积为弓 A O12345678x ×1x1+7×4x2+3×2×1=号+4+1=号. 1 第2课时平面直角坐标系中点的坐标特点 1.A2.D3.A4.解：(1)，点M(2m-3,m+1),点M到y轴的距离为1，.|2m-3 =1,解得m=1或m=2。当m=1时，点M的坐标为(-1,2)；当m=2时，点M的坐 标为(1,3)。综上所述，点M的坐标为(-1,2)或(1,3)：(2)，点M(2m-3,m+1),点 N(5,-1),且MN∥x轴，.m十1=-1，解得m=-2。故点M的坐标为(-7，-1)。 第3课时建立适当的坐标系描述图形的位置 1.A2.D3.（-4,2)或(-2,2)或(-1,1)4.(0,3) 3轴对称与坐标变化 知识梳理 ①相同互为相反数②相同互为相反数 当堂练习 1.A2.D3.A4.解：(1)A与B是对称点，对称轴是直线y=3,如图： 1 X- (2)C与D是对称点，对称轴是直线x=一1，如图：(3)点M(一1， 4--B 1=3 寸2234x D 4 一3)关于x=2对称的对称点N的坐标是(5，一3)，关于直线y=1对称的对称点Q的 坐标是(-1,5)。 第四章一次函数 1函数 知识梳理 ①唯一 ②列表关系式图象③函数值 当堂练习 1.C2.4士23.y=60一35t4.解：(1)，在气温T(℃)随时间t(时)的变化过程中 有两个变量T和t,并且对于变量t的每一个值，变量T都有唯一的值与它对应，符合 函数的定义，.气温T(℃)是时间t(时)的函数：(2)14时的气温最高，是10℃：4时的 气温最低，是一2℃：(3)8时、22时的气温是4℃。 2认识一次函数 第1课时一次函数与正比例函数 知识梳理 y=kx+b 0 当堂练习 1.C2.B3.-14.25.解：(1)y=10(x+5),即y=10x+50:y是x的一次函数； (2)根据题意，得10，x+50=10×5+30,解得x=3。 第44页（共48页） 第2课时分段函数与方案选择 1.A2.解：(1)1.56(2)当0≤x≤6时，y=1.5.x;当x>6时，y=1.5×6+6(x-6) =6x-27;(3)8>6,.当x=8时，y=6×8-27=21,.该户11月份应缴水费21元。 3一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象和性质 知识梳理 ①横纵②原点(0,0)原点③增大减小 当堂练习 1.B2.C3.y=3x(答案不唯一)4.二5.解：(1)，正比例函数y=kx的图象过点 P(-√2，W2),√2=-√2k,解得k=-1。∴.该函数的表达式为y=-x;(2):点A(a, 一4)，B(一2√2，b)都在y=一x的图象上，.一4=一a,b=一(-2√2)，解得a=4,b= 2√2。 第2课时一次函数的图象和性质 知识梳理 ①直线两两②平行增大减小 当堂练习 1.A2.B3.<4.解：(1)把(0,0)代人y=(m-1)x十m-3,得m-3=0,解得m= 3;(2)由题意，得m一1=3，解得m=4;(3)m可取0（答案不唯一）。 4一次函数的应用 第1课时确定一次函数的表达式 1.C2.B3.y=2.x+14.解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=k.x+b。将(0， 3),(2,7)代入y=k.x十b,得b=3,2k+b=7,解得k=2,b=3。∴y与x之间的函数表 达式为y=2x+3;(2)当x=4时，y=2x+3=2×4+3=11。 第2课时借助单个一次函数图象解决有关问题 1.C2.53.解：1盒内原来有40元：(2)设函数表达式为y=kx十6，将(0,40)，(8， 200)代入可得b=40,8k十b=200,解得k=20,故y与x之间的函数表达式为y=20.x +40;(3)令20x十40=120，解得x=4,即小明经过4个月才能存够120元。 第3课时借助两个一次函数图象解决有关问题 1.D2.慢号km3解：1)5010(2)设货车与轿车在货车出发xh后相遇。根 据题意，得50x=100(x一2)。解得x=4。答：货车与轿车在货车出发4h后相遇。 第五章二元一次方程组 1认识二元一次方程组 知识梳理 ①两1②两③相等④公共解 当堂练习 1.B2.A3A4.解：1)5(2)方程2x十y=5的正整数解为一1 和=2， y=3 y=1. 2二元一次方程组的解法 第1课时代入消元法 知识梳理 消元二 当堂练习 1.A2.B3.D4.解：(1)将②代入①，得4.x一(2.x+3)=1,x=2。将x=2代入②， 得y=4+3=7。所以原方程组的解是(T=2, =7,2)由①，得m= 3。③将③代人②，得 1-3m=1,n=3。将n=3代入③，得m=5。所以原方程组的解是m=5, 10 n=3。 第2课时加减消元法 知识梳理 相加（或相减） 第45页（共48页）2平方根与立方根 第1课时算术平方根 知识梳理 ①一般地，如果一个 数x的平方等于a,即x2=a,那么这个 数x就叫作a的 算术平方根，记作 ,读作“根号a”。 ②0的算术平方根是 3当a≥0时，√a= ,(Va)2=;当a<0时，√a= 当堂练习 1六的算术平方根是 A司 B一吉 c±后 D.±6 2.下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③α2的算术 平方根是α；④（π一4）2的算术平方根是π一4；⑤算术平方根不可能是负数。其中，不正 确的有 ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 3.81的算术平方根是 ；√/81的算术平方根是 4.求下列各数的算术平方根： (1)144: 16 (2) 5.求下列各式的值： (1)2√36； (2)7 4 49° ·7· 第2课时平方根 知识梳理 ①一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作a的 (也叫作 次方根)。 ②一个正数有 个平方根；0只有 个平方根，它是 ；负数 方根。 注：正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根 ,另一个是 ,它们 。这两个平方根合起来可以记作 ,读作“正、负根号a”。 3求一个数a的 的运算，叫作开平方，a叫作 当堂练习 1.25的平方根是 A.±5 B.±√5 C.5 D.25没有平方根 2.下列说法正确的是 ) ①一√2是2的一个平方根；②一4的算术平方根是2；③√16的平方根是士2；④0没有平 方根。 A.①②③ B.①④ C.①③ D.②③④ 3.若某一个正数的两个不同的平方根是2m一4与3m一1，则这个数是 4.求下列各数的平方根： (1)400; (2)0.81。 5.求下列各式中x的值： (1)x2-2=0; (2) x2-8=0。 ·8· 第3课时立方根 知识梳理 ①一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a的 （也 叫作 次方根)。 ②每个数a都有一个立方根，记作 ,读作“三次根号a”。 ③正数的立方根是 数；0的立方根是 ；负数的立方根是 ④求一个数a的 的运算叫作开立方，a叫作 当堂练习 1.下列说法错误的是 A.27的立方根为士3 B.√16的平方根是士2 C.9的算术平方根是3 D.立方根等于1的数是1 2.下列说法正确的是 A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B.一个数的立方根不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 3.若a=-7,则a= 4.求下列各数的立方根： (1)0.216; ②-158 5.求下列各式的值： (1)8/125: (2)8-0.512。 ·9 第4课时估算与用计算器开方 知识梳理 ①对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算，采用两边逐渐逼 近的方法。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位、百分位等小数部分。 ②用估算的方法比较两个数的大小，若其中一个是无理数，则一般先采用分析的方法，估 算出无理数的大致范围，再进行具体的比较。 当堂练习 1.估计√38的值在 ( A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 2.用计算器求√3.489的结果为（精确到0.001） A.12.170 B.±1.868 C.1.868 D.-1.868 3.m,n是连续的两个整数，若m<√6<n,则m十n的值为 4.我们知道√2的整数部分为1，小数部分为√2一1，则√5的小数部分是 5.国际比赛的足球场长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间。为了迎接某次 奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560m,请你判 断这个足球场能用作国际比赛吗？请说明理由。 ·10·