第一章 勾股定理 数学思想专题&类型强化专题&问题解决策略-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 宁夏专版）

参考答案 正文答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 基础过关 1.C【变式】82.D3.A4.2.5m5.66.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AB2=AC-BC=202-122=256,∴.AB=16;(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=AC+BC2=72+242=625,.AB=25.7.848.解：在Rt△ABC中，由勾股 定理，得BC=AC-AB=172-82=225,∴.BC=15cm。.Sm影=15×3=45(cm)。 9.169或119 能力提升 10.B11.3112.解：(1)CD⊥AB于D,∴∠CDA=∠CDB=90°。在Rt△CDB 弥中，CD2+BD=BC,.CD+92=15,.CD=144,.CD=12;(2):在Rt△CDA 帐 中，CD2+AD2=AC,.122+AD=202,.AD=256,.AD=16,.AB=AD+BD= 16十9=25.13.解：过点A作AD⊥BC于点D。在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AB2-BD=AD。在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC-CD=AD。.AB BD2=AC-CD,即252-BD2=17-(28-BD)2,∴BD=20。.AD2=AB2 BD2=25-20=25,AD=15。Sae=号BC·AD=7×28X15=210. 思维拓展 14.解：①当高AD在△ABC内部时，如答图①。在Rt△ABD中，由勾股定理，得 她 BD=AB-AD=202-122=256,.BD=16。在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD=AC-AD2=152-122=81,.CD=9,.BC=BD+CD=16+9=25,.△ABC 的周长为BC+AB+AC=25+20+15=60:②当高AD在△ABC外部时，如答图②。 封 同理可得BD=16,CD=9,∴BC=BD-CD=16-9=7,∴.△ABC的周长为BC+ AB+AC=7+20+15=42。综上所述，△ABC的周长为60或42。 物 B C 答图① 答图② 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 基础过关 1.D2.(1)a+bc(2)(a+D24×2ab+c2(3)(a+b)=4×号ab+2c2= 1 a2十63.A4.2.6m5.x2+22=(x十0.5)26.解：由题意，得∠ABC=90°。在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC=5十122=169。.AC=13km。 线12÷60=0.2(h),13÷0.2=65(km/h)。答：我边防海警船的速度为65km/h时， 才能恰好在C处将可疑船只截住。 能力提升 7.C8.8[解析：设全等的直角三角形的两条直角边长为a,b且a>b。由题意可知： S,=(a十b)2,S2=a2+b2,S=(a-b)2。S,+S2+S3=24,即(a+b)2+a2+b2+ (a-b)2=24,.3(a+十b)=24,.3S2=24,.S2=8]9.解：如图， 树 4甲树过 点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D。在Rt△BDC中，由勾股定理，得BD= BC-CD2=132-122=25,.BD=5m,.AD=AB+BD=4十5=9(m)。在 Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD十CD2=92十122=225，.AC=15m。故甲树 原来的高度为AC+AB=15+4=19(m)。 思维拓展 10.解：(1)是(2)28(3)数量关系：AB2+CD2=AD2+BC。证明如下：在Rt△AOB 第1页（共48页） 中，AB=OA2+OB,在Rt△BOC中，BC=OB2+OC2,在Rt△COD中，CD2=OC2+ OD,在Rt△AOD中，AD=OA2+OD,∴.AB+CD=OA2+OB2+OC+OD,BC 十AD=OA2+OB+OC+OD,.AB2+CD=AD+BC。 2一定是直角三角形吗 基础过关 1.B2.B3.C4.没有变形5.解：(1)不是。理由如下：4+5=41≠6， ∴△ABC不是直角三角形；(2)是，∠B是直角。理由如下：：92十402=41，即a2十c =,.△ABC是直角三角形，∠B=90°；(3)是，∠C是直角。理由如下：：(8k)十 (15k)2=(17k)2,即a2+b2=c2,∴.△ABC是直角三角形，∠C=90°。6.证明：在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,AB=13,.BC=AB-AC2=132-12=25, .BC=5。在△BCD中，CD=4,DB=3,BC=5,.CD2十BD2=42+32=25=BC, △BCD是直角三角形，∠D=90°。7.D8.170 能力提升 9.B10.C11.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AD-AB=9-6=45。 在△BCD中，BC十CD=3十6=45，∴.BC+CD=BD,.△BCD是直角三角形， 且∠BCD=90°，∴.BC⊥CD。故该车符合安全标准。 思维拓展 12.解：(1)由题中等式的规律可得(n2一1)2十(2n)2=(n十1)2。理由如下：等式左边 =n一2n2十1+4n2=n十2n十1=(n十1)2=等式右边；(2)它的三边长能为勾股数。 :35=36-1=62-1,把n=6代入上式，得(62-1)2+(2×6)2=(6+1)2，即352+122 =37,.它的三边长能为勾股数，为35,12,37；(3)(1)中得出的表示上面规律的等式 不是表达所有勾股数的关系式，如9,12,15,9十12=152,9,12,15是勾股数，但并不 满足表示上面规律的等式，故(1)中得出的表示上面规律的等式不是表达所有勾股数 的关系式。 3勾股定理的应用 基础过关 1.B2.B3.44.(x十1)42十x2=(x十1)27.57.58.55.解：如 答图，当筷子按图示方式放置时，筷子露在杯子外面的长度最短.在 R△ABD中，BD=6cm,AD=8cm,由勾股定理，得AB=BD十AD= 62+82=100,.AB=10cm。BC=13cm,.AC=BC-AB=13-10=B∈ 3(cm),∴.筷子露在杯子外面的长度至少为3cm。 答图 能力提升 6.C7.26cm8.解：过点B作BC⊥AD于点C。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC ED=15 m,AB=17 m,..AC2=AB2-BC=172-152=64,..AC=8 m,..AD=AC +CD=AC+BE=8+1.8=9.8(m)。 思维拓展 9.解：(1)在Rt△OAB中，OA2=AB2-OB=252-20=225,∴.OA=15m。:AA'= 8m,.OA'=OA-AA'=15-8=7(m)。在Rt△A'OB'中，OB2=A'B2-OA'2=252 -7=576,∴.OB=24m,∴.BB=OB'-OB=24-20=4(m)。答：BB的长度为4m; (2)当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理，得252一24=49，∴.云梯的底 端离墙的距离为7m。:25×号=5(m）,7m>5m,在相对安全的前提下，云梯的顶 端能到达24m高的窗口去救援被困人员。 数学思想专题方程思想在勾股定理中的运用 1.5-x4+x=(6-x)是【变式】日2.解：110-2289-(9+x (2)由(1)可得100-x2=289-(9+x)2,解得x=6..AD=8..△ABC的面积为 BC,AD=×9X8=36.【变式243.解：在△ABC中，AB=15,BC=14,AC 13,设BD=x,则有CD=14-x.由勾股定理，得AD=AB-BD2=152-x2,AD= AC2-CD=132-(14-x)2,.15-x2=132-(14-x)2,解得x=9..AD=12.. SAANc=2 BC AD=2X14X12=84. 第2页（共48页） 类型强化专题利用勾股定理解决折叠问题 1.AD-A形64BC-BD22g号2.A3.C4.解：设BN=x,由折 叠的性质，可得DN=AN=AB-BN=9-x:D是BC的中点BD=号BC=号× 6=3.在Rt△BND中，由勾股定理，得BN+BD=ND,即x2+32=(9-x)2,解得x =4.∴.线段BN的长为4,5.解：：点M是AB边上的中点，AB=12,.ME=AM= BM=6.易得Rt△CDN≌Rt△EDN,.CN=NE.设BN=x,则CN=NE=12-x.在 Rt△MBN中，由勾股定理，得BMP十BN2=MN,即62十x2=(12-x十6)2，解得x= 8..BV的长为8. ☆问题解决策略：反思一利用勾股定理解决最短路径问题 1.4.82.解：如图， 作点A关于河岸的对称点A',连接BA'交 C D 河岸于点P,连接PA,则PB十PA=PB十PA'=BA'最短，故将军应将马赶到河边的点 P饮水。过点A'作A'B'⊥BF的延长线于点B',则BB=2十3=5(km),A'B′=EF= 12km。在Rt△BBA'中，由勾股定理，得AB2=A'B2+BB2=122十52=169，.A'B =13km。答：将军回营最短需要走13km。3.15cm4.130cm5.解：如答图①， AB2=(3十3)2+82=100。如答图②，AB=32十(8十3)2=130。如答图③，AB=(3 +8)2+32=130.100<130,100=10,.它从A处爬到B处的最短路线长为10cm。 3 cm 8 cm 3 cm 43 cm 3 cm 3 cm 8 cm 3 cm 答图① 答图② 答图③ 第一章整合与提升 宁夏常考题型演练 1.472.C3.解：设“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为x。由题意，得x =(6十6)2十52=169，解得x=13(负值已舍去)。∴.“数学风车”的外围周长是(13+6) ×4=76.4.解：，CD是AB边上的高，.∠BDC=∠ADC=90°。在Rt△ADC中， AC=20,CD=12,由勾股定理，得AD2=AC-CD2=202-12=256,.AD=16。在 Rt△BCD中，BC=15,CD=12,由勾股定理，得BD2=BC-CD=15-122=81, .BD=9。AE=AC=20,AD=16,.DE=AE-AD=20-16=4。BF=BC=15, BD=9,DF=BF-BD=15-9=6,.EF=DE+DF=4+6=10.5.D6.B 7.248.解：(1)5(2)△ABC是直角三角形。理由如下：由勾股定理，得AB=12+ 22=5,AC2=42+22=20,BC=4+32=25,.AB+AC=BC,∴.△ABC是直角三 角形。9.B10.26m11.解：(1)连接AC。.∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, .AC=AB2+BC=92+122=225。∴.AC=15m。∴.AB+BC-AC=9+12-15= 6(m)。答：居民从点A到点C将少走6m的路程：(2)CD=17m,AD=8m,AC= 15m,AD+AC=CD。∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90。∴Sm=号AD· AC=号×8X15=60(m).Sam=号AB·BC=×9X12=54(m).Sm S△Ac十SAcB=60+54=114(m2)。答：这片绿地的面积是114m。 易错易混专攻 1.225或632.150或42 新趋势·新题型·新考向 1.解：(1)勾股(2)如答图， B易得AC=3×5=15(尺)，BC=20尺，AB 答图 =AC十BC=152十20=625，∴.AB=25。答：问题中葛藤的最短长度是25尺。 第3页（共48页）数学思想专题 方程思 类型1单勾股列方程求解 1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AC边的垂直 平分线DE与AB,AC分别交于点D和E. 若AB=5,BC=4,求BD的长 解题思路：连接CD,设BD=x,则AD=5 x,CD= 根据勾股定理，得BC+BD=CD, 可列方程为 解得x= (第1题图) (变式题图) 【变式】如图，在等腰三角形ABC中，AB AC,CD LAB,且CD=4cm,BD=3cm,则 AD的长为 cm. 类型2双勾股列方程求解 (一)作高，利用勾股定理构建方程 方法指得 已知△ABC的三边长。 作法：作AD⊥BC,垂足为D. 结论：AD=AB2-BD=AC2-CD 2.下面是小航同学的错题，请你帮助他完成错 题整理： 错题：如图，在△ABC中，已 知AB=10,BC=9,AC=17, 求△ABC的面积. 分析：作辅助线，构造直角三 角形，设未知数并列方程，求 解，最后求出面积 正解： 解：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D, 则∠ADC=90°， 设BD=x,则CD=9十x, 9第一章勾股定理 想在勾股定理中的运用 (1)根据勾股定理可得，AD= 或 ;(用含x的代数式表示) (2)请你补全上面的过程，并求出△ABC的 面积. 【变式】如图，在△ABC中，BC=4, AC=13,AB=15,则△ABC的面积 为 (二)共边，利用勾股定理构建方程 B 方法指导 有共边，利用勾股定理构造方程 已知：∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. 结论：(1)CD=AC2-AD2=BC-BD2, (2)AC2=AB2-BC2=AD2CD2; (3)BC2=AB2-AC2=BD2+CD2. 3.如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC= 13,求△ABC的面积. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题 思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程. 作AD⊥BC于点D,设BD=x,用含x的代 数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作 为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股 定理求出AD的长，再计算三角形的面积. 类型强化专题 利用 方法指得 解决折叠问题的关键是抓住对称性.求线段的长 时，可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股 定理列出方程，运用方程思想解决问题 1.在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小 组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾 股定理来解决 如图，在长方形ABCD中，AB=6,AD=10, 点E是CD边上一点，将△ADE沿AE折 叠，使点D落在BC边上的D'处，求CE的 长.乐思数学小组的解题思路如下： 解：由折叠可知：△D'AE≌△DAE, .'.AD'=AD=10,ED'=ED. ∠B=90°，AB=6, .BD2= ∴.BD=8, .CD'= 在Rt△CED'中，设CE=x,则DE=DE=6一x. 由勾股定理可得：CD2十CE=DE,即 ( )2十x2=(6-x)2, 解得x= ,即CE的长为 B (第1题图) (第2题图) 2.如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°， AC=4cm,BC=3cm,将斜边AB翻折，使 点B落在直角边AC的延长线上的点E处， 折痕为AD,则CE的长为 ( A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.3 cm 勾股定理解决折叠问题 3.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD= 9cm,将此长方形折叠，使点D与点B重合， 折痕为EF,则△ABE的面积为 ( A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 4.如图，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6, ∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中 点D重合，折痕为MN,求线段BN的长. A---- 5.如图，在正方形ABCD中，点M是AB边上 的中点，将正方形ABCD沿DM折叠，使点 A落在点E处，延长ME交BC于点N,连 结DN.若AB=12,求BN的长. 数学1八年级上册(BS)10 ☆问题解决策略：反思— 利用勾股定理解决最短路径问题 类型1 平面内最短路径问题 模型归纳 长方体 从A到E 1.如图，小明从A点出发向西走8m到达岸 梯问 边，向北走6m到达岸边，那么小明到达岸 从A到B 边的最短距离为 m。 3.(2024·银川北塔中学期中)如图， 小彬用3D打印机制作了一个底面 岸边 周长为12cm,高为9cm的圆柱体 A 模型，现要在此模型的侧面从点A出发到点 2.经典题将军饮马)如图，将军在B处放马，晚 B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最 上回营前，需要将马赶到小河CD去饮水，再 短为 回到营地A。已知A到河岸的距离AE= 4.如图，这是一个台阶的示意 2km,B到河岸的距离BF=3km,EF= 图，每一层台阶的高是20cm、 40 12km,求将军回营最短需要走多少千米。 长是50cm、宽是40cm,一只 20】 50 B 蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B,其爬行的 C E 最短路线的长度是 5.(教材P22复习题T。变式)如图，一只蚂蚁在 长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体 上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食 物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你根 据图中所示数据计算出它从A处爬到B处 的最短路线长为多少。 cm cm cm 类型2 立体图形中的最短路径问题 模型归纳 星 展开 从A到B 11第一章勾股定理