第一章 3 勾股定理的应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 宁夏专版）

参考答案 正文答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 基础过关 1.C【变式】82.D3.A4.2.5m5.66.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AB2=AC-BC=202-122=256,∴.AB=16;(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=AC+BC2=72+242=625,.AB=25.7.848.解：在Rt△ABC中，由勾股 定理，得BC=AC-AB=172-82=225,∴.BC=15cm。.Sm影=15×3=45(cm)。 9.169或119 能力提升 10.B11.3112.解：(1)CD⊥AB于D,∴∠CDA=∠CDB=90°。在Rt△CDB 弥中，CD2+BD=BC,.CD+92=15,.CD=144,.CD=12;(2):在Rt△CDA 帐 中，CD2+AD2=AC,.122+AD=202,.AD=256,.AD=16,.AB=AD+BD= 16十9=25.13.解：过点A作AD⊥BC于点D。在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AB2-BD=AD。在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC-CD=AD。.AB BD2=AC-CD,即252-BD2=17-(28-BD)2,∴BD=20。.AD2=AB2 BD2=25-20=25,AD=15。Sae=号BC·AD=7×28X15=210. 思维拓展 14.解：①当高AD在△ABC内部时，如答图①。在Rt△ABD中，由勾股定理，得 她 BD=AB-AD=202-122=256,.BD=16。在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD=AC-AD2=152-122=81,.CD=9,.BC=BD+CD=16+9=25,.△ABC 的周长为BC+AB+AC=25+20+15=60:②当高AD在△ABC外部时，如答图②。 封 同理可得BD=16,CD=9,∴BC=BD-CD=16-9=7,∴.△ABC的周长为BC+ AB+AC=7+20+15=42。综上所述，△ABC的周长为60或42。 物 B C 答图① 答图② 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 基础过关 1.D2.(1)a+bc(2)(a+D24×2ab+c2(3)(a+b)=4×号ab+2c2= 1 a2十63.A4.2.6m5.x2+22=(x十0.5)26.解：由题意，得∠ABC=90°。在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC=5十122=169。.AC=13km。 线12÷60=0.2(h),13÷0.2=65(km/h)。答：我边防海警船的速度为65km/h时， 才能恰好在C处将可疑船只截住。 能力提升 7.C8.8[解析：设全等的直角三角形的两条直角边长为a,b且a>b。由题意可知： S,=(a十b)2,S2=a2+b2,S=(a-b)2。S,+S2+S3=24,即(a+b)2+a2+b2+ (a-b)2=24,.3(a+十b)=24,.3S2=24,.S2=8]9.解：如图， 树 4甲树过 点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D。在Rt△BDC中，由勾股定理，得BD= BC-CD2=132-122=25,.BD=5m,.AD=AB+BD=4十5=9(m)。在 Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD十CD2=92十122=225，.AC=15m。故甲树 原来的高度为AC+AB=15+4=19(m)。 思维拓展 10.解：(1)是(2)28(3)数量关系：AB2+CD2=AD2+BC。证明如下：在Rt△AOB 第1页（共48页） 中，AB=OA2+OB,在Rt△BOC中，BC=OB2+OC2,在Rt△COD中，CD2=OC2+ OD,在Rt△AOD中，AD=OA2+OD,∴.AB+CD=OA2+OB2+OC+OD,BC 十AD=OA2+OB+OC+OD,.AB2+CD=AD+BC。 2一定是直角三角形吗 基础过关 1.B2.B3.C4.没有变形5.解：(1)不是。理由如下：4+5=41≠6， ∴△ABC不是直角三角形；(2)是，∠B是直角。理由如下：：92十402=41，即a2十c =,.△ABC是直角三角形，∠B=90°；(3)是，∠C是直角。理由如下：：(8k)十 (15k)2=(17k)2,即a2+b2=c2,∴.△ABC是直角三角形，∠C=90°。6.证明：在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,AB=13,.BC=AB-AC2=132-12=25, .BC=5。在△BCD中，CD=4,DB=3,BC=5,.CD2十BD2=42+32=25=BC, △BCD是直角三角形，∠D=90°。7.D8.170 能力提升 9.B10.C11.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AD-AB=9-6=45。 在△BCD中，BC十CD=3十6=45，∴.BC+CD=BD,.△BCD是直角三角形， 且∠BCD=90°，∴.BC⊥CD。故该车符合安全标准。 思维拓展 12.解：(1)由题中等式的规律可得(n2一1)2十(2n)2=(n十1)2。理由如下：等式左边 =n一2n2十1+4n2=n十2n十1=(n十1)2=等式右边；(2)它的三边长能为勾股数。 :35=36-1=62-1,把n=6代入上式，得(62-1)2+(2×6)2=(6+1)2，即352+122 =37,.它的三边长能为勾股数，为35,12,37；(3)(1)中得出的表示上面规律的等式 不是表达所有勾股数的关系式，如9,12,15,9十12=152,9,12,15是勾股数，但并不 满足表示上面规律的等式，故(1)中得出的表示上面规律的等式不是表达所有勾股数 的关系式。 3勾股定理的应用 基础过关 1.B2.B3.44.(x十1)42十x2=(x十1)27.57.58.55.解：如 答图，当筷子按图示方式放置时，筷子露在杯子外面的长度最短.在 R△ABD中，BD=6cm,AD=8cm,由勾股定理，得AB=BD十AD= 62+82=100,.AB=10cm。BC=13cm,.AC=BC-AB=13-10=B∈ 3(cm),∴.筷子露在杯子外面的长度至少为3cm。 答图 能力提升 6.C7.26cm8.解：过点B作BC⊥AD于点C。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC ED=15 m,AB=17 m,..AC2=AB2-BC=172-152=64,..AC=8 m,..AD=AC +CD=AC+BE=8+1.8=9.8(m)。 思维拓展 9.解：(1)在Rt△OAB中，OA2=AB2-OB=252-20=225,∴.OA=15m。:AA'= 8m,.OA'=OA-AA'=15-8=7(m)。在Rt△A'OB'中，OB2=A'B2-OA'2=252 -7=576,∴.OB=24m,∴.BB=OB'-OB=24-20=4(m)。答：BB的长度为4m; (2)当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理，得252一24=49，∴.云梯的底 端离墙的距离为7m。:25×号=5(m）,7m>5m,在相对安全的前提下，云梯的顶 端能到达24m高的窗口去救援被困人员。 数学思想专题方程思想在勾股定理中的运用 1.5-x4+x=(6-x)是【变式】日2.解：110-2289-(9+x (2)由(1)可得100-x2=289-(9+x)2,解得x=6..AD=8..△ABC的面积为 BC,AD=×9X8=36.【变式243.解：在△ABC中，AB=15,BC=14,AC 13,设BD=x,则有CD=14-x.由勾股定理，得AD=AB-BD2=152-x2,AD= AC2-CD=132-(14-x)2,.15-x2=132-(14-x)2,解得x=9..AD=12.. SAANc=2 BC AD=2X14X12=84. 第2页（共48页） 类型强化专题利用勾股定理解决折叠问题 1.AD-A形64BC-BD22g号2.A3.C4.解：设BN=x,由折 叠的性质，可得DN=AN=AB-BN=9-x:D是BC的中点BD=号BC=号× 6=3.在Rt△BND中，由勾股定理，得BN+BD=ND,即x2+32=(9-x)2,解得x =4.∴.线段BN的长为4,5.解：：点M是AB边上的中点，AB=12,.ME=AM= BM=6.易得Rt△CDN≌Rt△EDN,.CN=NE.设BN=x,则CN=NE=12-x.在 Rt△MBN中，由勾股定理，得BMP十BN2=MN,即62十x2=(12-x十6)2，解得x= 8..BV的长为8. ☆问题解决策略：反思一利用勾股定理解决最短路径问题 1.4.82.解：如图， 作点A关于河岸的对称点A',连接BA'交 C D 河岸于点P,连接PA,则PB十PA=PB十PA'=BA'最短，故将军应将马赶到河边的点 P饮水。过点A'作A'B'⊥BF的延长线于点B',则BB=2十3=5(km),A'B′=EF= 12km。在Rt△BBA'中，由勾股定理，得AB2=A'B2+BB2=122十52=169，.A'B =13km。答：将军回营最短需要走13km。3.15cm4.130cm5.解：如答图①， AB2=(3十3)2+82=100。如答图②，AB=32十(8十3)2=130。如答图③，AB=(3 +8)2+32=130.100<130,100=10,.它从A处爬到B处的最短路线长为10cm。 3 cm 8 cm 3 cm 43 cm 3 cm 3 cm 8 cm 3 cm 答图① 答图② 答图③ 第一章整合与提升 宁夏常考题型演练 1.472.C3.解：设“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为x。由题意，得x =(6十6)2十52=169，解得x=13(负值已舍去)。∴.“数学风车”的外围周长是(13+6) ×4=76.4.解：，CD是AB边上的高，.∠BDC=∠ADC=90°。在Rt△ADC中， AC=20,CD=12,由勾股定理，得AD2=AC-CD2=202-12=256,.AD=16。在 Rt△BCD中，BC=15,CD=12,由勾股定理，得BD2=BC-CD=15-122=81, .BD=9。AE=AC=20,AD=16,.DE=AE-AD=20-16=4。BF=BC=15, BD=9,DF=BF-BD=15-9=6,.EF=DE+DF=4+6=10.5.D6.B 7.248.解：(1)5(2)△ABC是直角三角形。理由如下：由勾股定理，得AB=12+ 22=5,AC2=42+22=20,BC=4+32=25,.AB+AC=BC,∴.△ABC是直角三 角形。9.B10.26m11.解：(1)连接AC。.∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, .AC=AB2+BC=92+122=225。∴.AC=15m。∴.AB+BC-AC=9+12-15= 6(m)。答：居民从点A到点C将少走6m的路程：(2)CD=17m,AD=8m,AC= 15m,AD+AC=CD。∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90。∴Sm=号AD· AC=号×8X15=60(m).Sam=号AB·BC=×9X12=54(m).Sm S△Ac十SAcB=60+54=114(m2)。答：这片绿地的面积是114m。 易错易混专攻 1.225或632.150或42 新趋势·新题型·新考向 1.解：(1)勾股(2)如答图， B易得AC=3×5=15(尺)，BC=20尺，AB 答图 =AC十BC=152十20=625，∴.AB=25。答：问题中葛藤的最短长度是25尺。 第3页（共48页）3 勾股定 ②基础过关⊙逐点击破 知识点应用勾股定理解决实际问题 1.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽 水站A,在水塔O的东南方向24m处有一 建筑工地B,在A,B间建一条直水管，则水 管的长为 A.45m B.40m C.50m D.56m 2.情境题感应门铃)如图①，某超市为了吸引顾 客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有 一个由传感器控制的门铃A,人只要移至该 门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出 语音“欢迎光临”。如图②，一个身高1.5m 的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD 的长为 图① 图② A.3 m B.4m C.5 m D.7 m 3.情境题建桥如图，原来从A村到B村，需要 沿路A→C→B(∠C=90°)，绕过两地间的一 片湖，现在在A,B间建好桥后，就可直接从 A村到B村。若AC=5km,BC=12km,那 么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路 程为 km 7第一章勾股定理 理的应用 4.(2024·银川校级期末)有一个小朋友拿着 一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹 竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门 的对角线长，已知门宽4尺，求竹竿高与 门高。 解：设门高x尺，则竹竿高 尺。 由勾股定理，可列关于x的方程： 解得x= 答：门高 尺，竹竿高 尺。 5.如图，将一根长为13cm的筷子，置于底面 直径为6cm,高为8cm的圆柱形水杯中，则 筷子露在杯子外面的长度至少为多少厘米？ 习能力提升©整合运用 6.(教材P4随堂练习T,变式)五根小木棒，其 长度（单位：cm)分别为8,9,12,15,17。现将 它们摆成两个直角三角形，下列摆法中，正 确的是 起 7.如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤 静止时，它离底座的垂直高度DE=6cm,当 摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高 度BF=8cm,此时摆锤与静止位置时的水 平距离BC=10cm时，钟摆AD的长度是 8.新考向项目式学习)小明同学在延时课上进行 了项目式学习实践探究，并绘制了如下记 录表。 课题在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD 测绘 图示 ①测得水平距离ED的长为15m; ②根据手中剩余线长，计算出风筝线AB的 测绘 长为17m; 数据 ③牵线放风筝的手到地面的距离BE为 1.8m。 请根据表格信息，求线段AD的长。 父思维拓展。学科素养 9.【问题情境】消防云梯主要用于高层建筑火 灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层 救援现场。如图，已知一架云梯AB长25m 斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距 离OB=20m,∠AOB=90°。 【深入探究】 (1)消防员接到命令，按要求将云梯从顶部 A下滑到A'位置上（云梯长度不玫变）， 则底部B沿水平方向向前滑动到B'位置 上。若AA'=8m,求BB'的长度； 【问题解决】 (2)在演练中，墙边距地面24m的窗口有求 救声，消防员需调整云梯去救援被困人 员。经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云 梯底端离墙的距离不小于云梯长度的}， 则云梯和消防员相对安全，在相对安全 的前提下，云梯的顶端能否到达24m高 的窗口去救援被困人员？ 数学I八年级上册(BS)8