第一章 1 探索勾股定理-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 宁夏专版）

第一章 1探索 第1课时 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1勾股定理的认识 1.在一个直角三角形中，如果两条直角边长分 别是3和4，那么斜边长的平方是( A.9 B.16 C.25 D.49 【变式】在△ABC中，若∠A=90°，BC=2,则 AB2+AC”+BC= 2.下列说法正确的是 A.若a,b,c是△ABC的三边，则a2+b=c2 B.若a,b,c是Rt△ABC的三边，则a+ b2=c2 C.若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A=90°， 则a2+b=c2 D.若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A=90°， 则c2+b=a2 3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组 成的网格中，点A,B都是格点，则线段AB 的长为 A.5 B.6 C.7 D.25 4.情境题栅栏门如图，某农舍的大门是一个木 制的长方形栅栏，它的高为2m,宽 为1.5m,现需要在相对的顶点间用一块木 板加固，则木板的长为 B (第4题图) (第5题图) 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10, BC=8,则点A到边BC的距离为 1第一章勾股定理 勾股定理 勾股定理 认识勾股定理 6.（教材Pg习题T,变式)如图，求出下列直角 三角形中未知边AB的长。 120 24 (1) (2) 知识点2利用勾股定理求面积 7.(教材P3随堂练习T,变式)如图， 56 三个正方形围成一个直角三角 形，图中的数据是它们的面积，则 正方形A的面积为 8.(教材P14习题T,变式)如图，以Rt△ABC 的直角边BC为一边作长方形BCDE,求阴 影部分的面积。 17 cm !易错点受思维定式的影响，误认为在 Rt△ABC中，c总表示斜边而致错 9.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c, 已知a2=25,b2=144,则c2= 网能力提升。整合运用 10.如图，OC平分∠AOB,P是OC上一点， PM⊥OB于点M,N是射线OA上的一个 动点。若OM=4,OP=5,则PN的最小值 为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 B M B (第10题图) (第11题图) 11.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形，其中正方形A,B,C, D的面积分别为10,8,9,4，则正方形E的 面积为 12.(2024·中卫校级期中)如图，在△ABC中， CDLAB于D,AC=20,BC=15,BD=9。 (1)求CD的长； (2)求AB的长。 13.数学思想方程思想（教材P,习题T6变式）如 图，在△ABC中，AB=25,BC=28,AC= 17,求△ABC的面积。 ⊙ 思维拓展⊙学科素养 14.数学思想分类讨论)在△ABC中，AB=20, AC=15,AD为BC边上的高，且AD=12, 求△ABC的周长。 数学I八年级上册(BS)2 第2课时 勾股定理 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1勾股定理的验证 1.下列图形不能用来验证勾股定理的是( 2.用4个如图①所示的形状、大小完全一样的 直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图 ②所示的正方形，下面我们利用这个图形验 证勾股定理。 a b 图① 图② (1)图②中大正方形的边长为 ,里面 小正方形的边长为 (2)大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 ； (3)对比这两种表示方法，可得出 ,整理，得 知识点2勾股定理的实际应用 3.(教材Pg习题T3变式)如图，一棵高为8m的 大树被台风刮断。若树在离地面3m的点C 处折断，则树顶端落在离树底部 A.4m处 B.5m处 C.6m处 D.7m处 4.(2024·中卫期末)如图，一天傍晚，小方和 家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身 体时，牵绳的手离地面的高度AB=1.3m, 3第一章勾股定理 的验证及其简单应用 小狗的高CD=0.3m,小狗与小方的距离 AC=2.4m,则牵狗绳的长为 （绳子一直是直的) 5.跨学科语文图①中有一首古算诗，根据诗中的 描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其 示意图如图②，其中AB=AB,AB⊥B'C于点 C,BC=0.5尺，B'C=2尺。设AC的长度为 x尺，可列方程为 9诗文：波平如镜一湖面： 半尺高处生红莲.亭亭多 姿湖中立，突遭狂风吹 一边。离开原处二尺远， 花贴湖面似睡莲。 图① 图② 6.(教材P例题变式)如图，在海上观察所A 处，我边防海警发现正北5km的B处有一 可疑船只正在向正东方向12km的C处行 驶，我边防海警即刻派船前往C处拦截。若 可疑船只的行驶速度为60km/h,则我边防 海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将 可疑船只截住？ B12kmS↑北 5 km 网能力提升。整合运用 7.(2024·吴忠第三中学期中)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°。若AB=15,则正方形ADEC 和正方形BCFG的面积和为 A.150 B.200 C.225 D.无法计算 8.(2025·银川北塔中学一模)如图②是由图 ①的赵爽弦图变化得到的，它是用八个全等 的直角三角形拼接而成，记图②中正方形 ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面 积分别为S1,S2,S3。若S1十S2十S3=24,则 S2的值为 弦 股勾 图① 图② 9.(教材Pg习题T3变式)如图，山坡上的一棵 甲树被风从点A处拦腰折断，其顶点恰好落 在一棵乙树的底部C处。已知AB=4m, BC=13m,两棵树的水平距离是12m,求甲 树原来的高度。 ⑧ 思维拓展。学科素养 10.新视角新定义综合与实践课上，老师给出定 义：若一个四边形的两条对角线互相垂直， 则称这个四边形为“垂美四边形”。同学们 以此开展了探究活动。 B 图① 图② 【概念理解】 (1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD, CB=CD,判断四边形ABCD （选填“是”或“不是”)“垂美四边形”； 【问题应用】 (2)如图②，四边形ABCD的对角线AC, BD交于点O,AC⊥BD。若OA=1, OB=5,OC=7,OD=2,则四边形 ABCD的面积是 【性质探究】 (3)小明结合勾股定理的知识探究猜想：垂 美四边形ABCD中，两组对边AB,CD 与BC,AD这四条边具有一定的数量关 系，请你写出它们的数量关系，并给出 证明。 数学I八年级上册(BS)4参考答案 正文答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 基础过关 1.C【变式】82.D3.A4.2.5m5.66.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AB2=AC-BC=202-122=256,∴.AB=16;(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=AC+BC2=72+242=625,.AB=25.7.848.解：在Rt△ABC中，由勾股 定理，得BC=AC-AB=172-82=225,∴.BC=15cm。.Sm影=15×3=45(cm)。 9.169或119 能力提升 10.B11.3112.解：(1)CD⊥AB于D,∴∠CDA=∠CDB=90°。在Rt△CDB 弥中，CD2+BD=BC,.CD+92=15,.CD=144,.CD=12;(2):在Rt△CDA 帐 中，CD2+AD2=AC,.122+AD=202,.AD=256,.AD=16,.AB=AD+BD= 16十9=25.13.解：过点A作AD⊥BC于点D。在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AB2-BD=AD。在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC-CD=AD。.AB BD2=AC-CD,即252-BD2=17-(28-BD)2,∴BD=20。.AD2=AB2 BD2=25-20=25,AD=15。Sae=号BC·AD=7×28X15=210. 思维拓展 14.解：①当高AD在△ABC内部时，如答图①。在Rt△ABD中，由勾股定理，得 她 BD=AB-AD=202-122=256,.BD=16。在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD=AC-AD2=152-122=81,.CD=9,.BC=BD+CD=16+9=25,.△ABC 的周长为BC+AB+AC=25+20+15=60:②当高AD在△ABC外部时，如答图②。 封 同理可得BD=16,CD=9,∴BC=BD-CD=16-9=7,∴.△ABC的周长为BC+ AB+AC=7+20+15=42。综上所述，△ABC的周长为60或42。 物 B C 答图① 答图② 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 基础过关 1.D2.(1)a+bc(2)(a+D24×2ab+c2(3)(a+b)=4×号ab+2c2= 1 a2十63.A4.2.6m5.x2+22=(x十0.5)26.解：由题意，得∠ABC=90°。在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC=5十122=169。.AC=13km。 线12÷60=0.2(h),13÷0.2=65(km/h)。答：我边防海警船的速度为65km/h时， 才能恰好在C处将可疑船只截住。 能力提升 7.C8.8[解析：设全等的直角三角形的两条直角边长为a,b且a>b。由题意可知： S,=(a十b)2,S2=a2+b2,S=(a-b)2。S,+S2+S3=24,即(a+b)2+a2+b2+ (a-b)2=24,.3(a+十b)=24,.3S2=24,.S2=8]9.解：如图， 树 4甲树过 点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D。在Rt△BDC中，由勾股定理，得BD= BC-CD2=132-122=25,.BD=5m,.AD=AB+BD=4十5=9(m)。在 Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD十CD2=92十122=225，.AC=15m。故甲树 原来的高度为AC+AB=15+4=19(m)。 思维拓展 10.解：(1)是(2)28(3)数量关系：AB2+CD2=AD2+BC。证明如下：在Rt△AOB 第1页（共48页） 中，AB=OA2+OB,在Rt△BOC中，BC=OB2+OC2,在Rt△COD中，CD2=OC2+ OD,在Rt△AOD中，AD=OA2+OD,∴.AB+CD=OA2+OB2+OC+OD,BC 十AD=OA2+OB+OC+OD,.AB2+CD=AD+BC。 2一定是直角三角形吗 基础过关 1.B2.B3.C4.没有变形5.解：(1)不是。理由如下：4+5=41≠6， ∴△ABC不是直角三角形；(2)是，∠B是直角。理由如下：：92十402=41，即a2十c =,.△ABC是直角三角形，∠B=90°；(3)是，∠C是直角。理由如下：：(8k)十 (15k)2=(17k)2,即a2+b2=c2,∴.△ABC是直角三角形，∠C=90°。6.证明：在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,AB=13,.BC=AB-AC2=132-12=25, .BC=5。在△BCD中，CD=4,DB=3,BC=5,.CD2十BD2=42+32=25=BC, △BCD是直角三角形，∠D=90°。7.D8.170 能力提升 9.B10.C11.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AD-AB=9-6=45。 在△BCD中，BC十CD=3十6=45，∴.BC+CD=BD,.△BCD是直角三角形， 且∠BCD=90°，∴.BC⊥CD。故该车符合安全标准。 思维拓展 12.解：(1)由题中等式的规律可得(n2一1)2十(2n)2=(n十1)2。理由如下：等式左边 =n一2n2十1+4n2=n十2n十1=(n十1)2=等式右边；(2)它的三边长能为勾股数。 :35=36-1=62-1,把n=6代入上式，得(62-1)2+(2×6)2=(6+1)2，即352+122 =37,.它的三边长能为勾股数，为35,12,37；(3)(1)中得出的表示上面规律的等式 不是表达所有勾股数的关系式，如9,12,15,9十12=152,9,12,15是勾股数，但并不 满足表示上面规律的等式，故(1)中得出的表示上面规律的等式不是表达所有勾股数 的关系式。 3勾股定理的应用 基础过关 1.B2.B3.44.(x十1)42十x2=(x十1)27.57.58.55.解：如 答图，当筷子按图示方式放置时，筷子露在杯子外面的长度最短.在 R△ABD中，BD=6cm,AD=8cm,由勾股定理，得AB=BD十AD= 62+82=100,.AB=10cm。BC=13cm,.AC=BC-AB=13-10=B∈ 3(cm),∴.筷子露在杯子外面的长度至少为3cm。 答图 能力提升 6.C7.26cm8.解：过点B作BC⊥AD于点C。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC ED=15 m,AB=17 m,..AC2=AB2-BC=172-152=64,..AC=8 m,..AD=AC +CD=AC+BE=8+1.8=9.8(m)。 思维拓展 9.解：(1)在Rt△OAB中，OA2=AB2-OB=252-20=225,∴.OA=15m。:AA'= 8m,.OA'=OA-AA'=15-8=7(m)。在Rt△A'OB'中，OB2=A'B2-OA'2=252 -7=576,∴.OB=24m,∴.BB=OB'-OB=24-20=4(m)。答：BB的长度为4m; (2)当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理，得252一24=49，∴.云梯的底 端离墙的距离为7m。:25×号=5(m）,7m>5m,在相对安全的前提下，云梯的顶 端能到达24m高的窗口去救援被困人员。 数学思想专题方程思想在勾股定理中的运用 1.5-x4+x=(6-x)是【变式】日2.解：110-2289-(9+x (2)由(1)可得100-x2=289-(9+x)2,解得x=6..AD=8..△ABC的面积为 BC,AD=×9X8=36.【变式243.解：在△ABC中，AB=15,BC=14,AC 13,设BD=x,则有CD=14-x.由勾股定理，得AD=AB-BD2=152-x2,AD= AC2-CD=132-(14-x)2,.15-x2=132-(14-x)2,解得x=9..AD=12.. SAANc=2 BC AD=2X14X12=84. 第2页（共48页） 类型强化专题利用勾股定理解决折叠问题 1.AD-A形64BC-BD22g号2.A3.C4.解：设BN=x,由折 叠的性质，可得DN=AN=AB-BN=9-x:D是BC的中点BD=号BC=号× 6=3.在Rt△BND中，由勾股定理，得BN+BD=ND,即x2+32=(9-x)2,解得x =4.∴.线段BN的长为4,5.解：：点M是AB边上的中点，AB=12,.ME=AM= BM=6.易得Rt△CDN≌Rt△EDN,.CN=NE.设BN=x,则CN=NE=12-x.在 Rt△MBN中，由勾股定理，得BMP十BN2=MN,即62十x2=(12-x十6)2，解得x= 8..BV的长为8. ☆问题解决策略：反思一利用勾股定理解决最短路径问题 1.4.82.解：如图， 作点A关于河岸的对称点A',连接BA'交 C D 河岸于点P,连接PA,则PB十PA=PB十PA'=BA'最短，故将军应将马赶到河边的点 P饮水。过点A'作A'B'⊥BF的延长线于点B',则BB=2十3=5(km),A'B′=EF= 12km。在Rt△BBA'中，由勾股定理，得AB2=A'B2+BB2=122十52=169，.A'B =13km。答：将军回营最短需要走13km。3.15cm4.130cm5.解：如答图①， AB2=(3十3)2+82=100。如答图②，AB=32十(8十3)2=130。如答图③，AB=(3 +8)2+32=130.100<130,100=10,.它从A处爬到B处的最短路线长为10cm。 3 cm 8 cm 3 cm 43 cm 3 cm 3 cm 8 cm 3 cm 答图① 答图② 答图③ 第一章整合与提升 宁夏常考题型演练 1.472.C3.解：设“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为x。由题意，得x =(6十6)2十52=169，解得x=13(负值已舍去)。∴.“数学风车”的外围周长是(13+6) ×4=76.4.解：，CD是AB边上的高，.∠BDC=∠ADC=90°。在Rt△ADC中， AC=20,CD=12,由勾股定理，得AD2=AC-CD2=202-12=256,.AD=16。在 Rt△BCD中，BC=15,CD=12,由勾股定理，得BD2=BC-CD=15-122=81, .BD=9。AE=AC=20,AD=16,.DE=AE-AD=20-16=4。BF=BC=15, BD=9,DF=BF-BD=15-9=6,.EF=DE+DF=4+6=10.5.D6.B 7.248.解：(1)5(2)△ABC是直角三角形。理由如下：由勾股定理，得AB=12+ 22=5,AC2=42+22=20,BC=4+32=25,.AB+AC=BC,∴.△ABC是直角三 角形。9.B10.26m11.解：(1)连接AC。.∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, .AC=AB2+BC=92+122=225。∴.AC=15m。∴.AB+BC-AC=9+12-15= 6(m)。答：居民从点A到点C将少走6m的路程：(2)CD=17m,AD=8m,AC= 15m,AD+AC=CD。∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90。∴Sm=号AD· AC=号×8X15=60(m).Sam=号AB·BC=×9X12=54(m).Sm S△Ac十SAcB=60+54=114(m2)。答：这片绿地的面积是114m。 易错易混专攻 1.225或632.150或42 新趋势·新题型·新考向 1.解：(1)勾股(2)如答图， B易得AC=3×5=15(尺)，BC=20尺，AB 答图 =AC十BC=152十20=625，∴.AB=25。答：问题中葛藤的最短长度是25尺。 第3页（共48页）