2026-2027学年八年级上学期北师大版数学预习：1.勾股定理

第一课时勾股定理 考点1勾股定理 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.如果用a,b和℃分别表示直角三 角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2 【例1】 如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB于点A,BD⊥CD于点D,AD=3,AB=4, BC=13' 求四边形ABCD的面积 D 解：由题意，得∠A=∠BDC=90° .AD=3'AB=4' :在Rt△ABD中， BD2=AD2+AB=3+4=25' ∴.BD=5 又.BC=13, :.在RLABDC中，CD2=BC2-BD2=132-52=144 ∴.CD=12, 则S四边形R ABD+SABD= =1x3×4+1×12×5=36, 2 【练习】 1.已知直角三角形的斜边长为6.5cm,一条直角边的长为6cm,则另一条直角边的长 为_cm. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=3把△ABC沿直线BC向右移动 3个单位长度得到△A'B'C:则四边形ABCA,的面积是一 B B'C 3.一个等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° (1)若AC=5,BC=12,求AB的长： (2)若AB=25,AC=20,求BC的长 B考点2勾股定理与面积 【例2】 如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形.若正方形A,C,D的面 积依次为4,6,18，则正方形B的面积为8 [解析]由勾股定理，得 S正方威S正方形露S正方形 SE方5S正方形CS正方形 .∴SE方S正方形第S正方防S正方形 .正方形A'C'D的面积依次为4618' .4+S正方E18-61 S正方形露8. 【练习】 5.现有五张正方形纸片，面积分别是1,2,3,4,5，选取其中三张（可重复选取）按如 图所示的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三张纸片 的面积分别是() A1'4’5 B.2'3'5 C.3'45 D.1'3'4 6.如图所示是某班级美术科代表在办黑板报时设计的图案，在Rt△ABC中， ∠BCA=90'△ABC的面积为24m2:在AB同侧分别以AB'BC'AC为直径 作三个半圆，则阴影部分的面积和为 cm。 考点③利用勾股定理求线段长 【例3】如图，将长方形ABCD折叠，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE。 已知BC=5cm,AB=4cm。求： (1)BF与FC的长； (2)EC的长。 解：(1)由题意，得AF=AD,AD=BC, .∴.AF=BC=5cm 在Rt△ABF中， BF2=AF2-AB2=52-42=9 .∴.BF=3cm ∴.FC=BC-BF=5-3=2(cm)° (2)设EC=xcm,则DE=(4-x)cm, .∴.EF=DE=4-x)cm9 在Rt△ECF中，EC2+FC2=EF2, 即x+2=4-x 解得x=1.5, ∴.EC=1.5cm° 【练习】 7.如图，有一块直角三角形纸片ABC,两直角边AC=6cm,BC=8cm。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE=一am” 练习7题图 练习8题图 8.如图，小巷左、右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 为0.7m,顶端距离地面2.4m。如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶 端距离地面2m,那么小巷的宽度为() A.0.7m B.1.5m C.2.2m D.2.4m 9.如图，OP=1,过点P作PP1⊥OP且PP1=1,再过点P1作PP2⊥OP1且 P,P,=1'又过点P,作P,P,⊥OP,且P,P,=I…,如此继续作下去，连接OP: OP,',0P'0P0则0P+0P+0P5+0P++0p。=—· 练习9题图 练习10题图 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,三个顶点分别在相互平行的三条直 线1,12,13上，且1,12之间的距离为2,12,13之间的距离为3，则AC2= 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点P在斜边AB上，连接CP, 以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,∠PCQ=90°。求PA2,PB,PC2三者 之间的数量关系。 考点4勾股定理的验证 【例4】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献 和地位.如图所示的“弦图”被古人用于论证勾股定理，“弦图”是由4个全等的直角三 角形拼成的，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，设AB=C,AC=b,BC=Q,请你利用这 个图形解答下列问题： (1)试说明a2+b2=c2; (2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求a+bP的值 解：(1).大正方形的面积为c2, 1个直角三角形的面积为2ab, 小正方形的面积为(b-a2, ∴.c2=4× ab+(b-aP=2ab+b-2qb+a,Wg+b-c2 (2)由题意可知2=10'(b-a2=2 .4×1ab=10-2=8,2ab=8, .(a+b2=(b-a2+4ab=2+2×8=18 【练习】 12.如图，在正方形ABCD中，图中的4个三角形都是直角三角形，设每个直角三角形中， 较短直角边长为a,较长直角边长为b,斜边长为C,利用该图形中面积的不同表示方法， 验证勾股定理. 考点5等面积法 【例5】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上 若BD是△ABC的高，求BD的值 解：由勾股定理，得 AC2=22+32=13 :SAm=3x3-号x1×2-x1x3-×2x3=7 2 六Ac-B0 2 AC2.BD2=49 .BD2=49 13 【练习】 13.如图，△ABC的顶点A,B,C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点 D'BD的长为 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,且AB=13,BC=12,求 CD的长 第一课时勾股定理答案 【练习】 1.2.5 2.15 3.5 4.解：(1)在Rt△ABC中，.AC=5,BC=12, ∴.AB2=AC2+BC2=52+122=169.AB=13 (2)在Rt△ABC中，.AB=25,AC=20, .BC2=AB2-AC2=252-202=225'.BC=15 5.B 6.24 7.3 8.c 9.65 10.26 11.解：如图，连接BQ 由题意，得∠ACB=∠PCQ=90, ∴.∠ACB-∠PCB=∠PCQ-∠PCB, 即∠ACP=∠BCQ. .AC=BC'PC=QC' .∴.△ACP=△BCQ(SAS), ∴.AP=BQ'∠A=∠CBQ=45 .∠CBP=45o ∴.∠CBP+∠CBQ=90o :APBQ是直角三角形， BQ+PB=PQPA+PB=PQ △PCQ是等腰直角三角形， ∴.PQ=2PC2 ∴.PA2+PB2=2PC2 12.解：：SE方形AcD=(a+b}=4×b+cd, .'.a2+2ab+b2=2ab+c2' ∴.a2+b2=c2 13.16 14.解：，∠ACB=90°，AB=13,BC=12, .AC2=AB2-BC2=132-12=25 ∴.AC=5 CD1AB.S方ACBC=方aB-D. ∴.AC·BC=AB·CD, 即5×12=13CD,解得CD=60 Γ13