精品解析：辽宁省区盘锦市兴隆台区兴隆中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年兴隆中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 科克曲线 C. 河图幻方 D. 谢尔宾斯基三角形 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列说法错误的是（　　） A. 开口向上 B. 顶点坐标为 C. 最小值为1 D. 与y轴交点为 4. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角到的位置，这时点恰好落在边的中点，则旋转角的度数为( )． A. B. C. D. 5. 小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 11 6. 如图，已知是的直径，为圆上一点，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则n的值不可能的是（ ） A. 120 B. 180 C. 240 D. 360 8. 国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，则∠ABC的度数是（　　） A. 32° B. 24° C. 16° D. 48° 10. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知是关于x的方程的根，则a的值是______． 12. 下列说法中正确的有__（填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 13. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________秒才能停下来． 14. 在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有_____家公司出席了这次交易会？ 15. 如图，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是______________； 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出将绕点逆时针旋转后得到的，并写出的坐标； 18. 赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米， (1)尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O(保留作图痕迹)； (2)求桥AB所在圆的半径R． 19. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF． 20. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 21. 网络直播带货已经成为一种热门的销售方式．某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克．设销售枇杷的日获利为w（元）． 销售单价x（元） 22 27 日销量y（千克） 200 150 （1）求日销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？ 22. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为________； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年兴隆中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 科克曲线 C. 河图幻方 D. 谢尔宾斯基三角形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 3. 已知二次函数，下列说法错误的是（　　） A. 开口向上 B. 顶点坐标为 C. 最小值为1 D. 与y轴交点为 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得二次函数的开口向上，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为；函数有最小值1，把代入解析式求得，则与y轴交点为，即可对各命题进行判断． 【详解】解：抛物线中， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，y有最小值1， 把时，， ∴抛物线与y轴交点为， 故D选项错误； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 4. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角到的位置，这时点恰好落在边的中点，则旋转角的度数为( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是直角三角形的性质、旋转的性质和等边三角形的判定及性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据旋转的性质可得，，即可证出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出结论． 【详解】解：∵点恰好落在边中点上，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴ ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 5. 小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：∵半径为5的圆，直径为10， ∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0<AB≤10， ∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径． 6. 如图，已知是的直径，为圆上一点，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则n的值不可能的是（ ） A. 120 B. 180 C. 240 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的定义，根据：“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，”进行判断即可． 【详解】解：由图可得，该图形被平分三部分，每部分的度数为， ∴旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故选：B． 8. 国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原价为18，第一次降价后的价格是18×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2，则即可求得函数关系式． 【详解】解：原价为18， 第一次降价后的价格是18×（1-x）； 第二次降价是第一次降价后的价格的基础上降价：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2， 则函数解析式是：y=18（1-x）2， 则A、B、D选项错误，C选项正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的增长率问题.本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 9. 如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，则∠ABC的度数是（　　） A. 32° B. 24° C. 16° D. 48° 【答案】B 【解析】 【分析】首先连接OD，由AB是圆O的直径，AB＝2DE，即可得OD＝DE，根据等边对等角的性质，可得∠EOD＝∠E＝16°，然后由圆周角定理，即可求得∠C的度数，然后又三角形外角的性质，即可求得∠ABC的度数 【详解】连接OD， ∵AB是圆O的直径， ∴AB＝2OD， ∵AB＝2DE， ∴OD＝DE， ∴∠EOD＝∠E＝16° ∴∠C＝∠BOD＝8°， ∴∠ABC＝∠C+∠E＝8°+16°＝24°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】D 【解析】 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知是关于x的方程的根，则a的值是______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据方程根的定义把代入方程,组成一个新的方程,再解出a来即可. 【详解】解:把代入,得 -a-2=0 解得:a=-2. 故答案为a=-2. 【点睛】本题考查了方程根的定义,正确理解方程根的定义是解题的关键. 12. 下列说法中正确的有__（填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【解析】 【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可． 【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 13. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________秒才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式即可求解． 【详解】解：无人机着陆后滑行的距离指的是最大距离， ∴， ∴当时，无人机着陆后滑行的最大距离为米停下， 故答案为： ． 14. 在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有_____家公司出席了这次交易会？ 【答案】13． 【解析】 【分析】设有x家公司参加，则每个公司要签（x−1）份合同，签订合同共有x（x−1）份，由此列出方程解答即可． 【详解】设有x家公司出席了这次交易会， 依题意，得：x（x﹣1）＝78， 整理得：x2﹣x﹣156＝0， 解得：x1＝13，x2＝﹣12（舍去）， 即共有13家公司出席了这次交易会． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点（没有三点共线）之间连线，所有线段的条数．解答中注意舍去不符合题意的解． 15. 如图，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是______________； 【答案】 【解析】 【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，交于点，连接 根据题意，得：， ∵ ∴ ∴ ∵正方形绕点顺时针旋转到 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质，从而完成求解． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握根据方程特点选择适当的解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 17. 如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出将绕点逆时针旋转后得到的，并写出的坐标； 【答案】（1） 解：如图所示：，即为所求；； （2） 如图所示：，即为所求；． 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形， （1）分别确定关于原点的对称点 再顺次连接，再根据的位置可得答案； （2）分别确定绕原点逆时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米， (1)尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O(保留作图痕迹)； (2)求桥AB所在圆的半径R． 【答案】 (1)如图1所示； (2)桥弧AB所在圆的半径R为25米． 【解析】 【分析】(1)由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AB，BC的中垂线交于点O，则点O是桥弧所在圆的圆心； (2)首先连接OA，由(1)可得：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10，即可求得AD的长，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，即可求得拱桥的半径R． 【详解】(1)略 (2)连接OA．如图2． 由(1)中的作图可知：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10， ∴AD=AB=20． ∵CD=10， ∴OD=R-10． 在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2， ∴R2=202+(R-10)2． 解得：R=25． 即桥弧AB所在圆的半径R为25米． 【点睛】考查垂径定理，勾股定理等，找出圆心的位置是解题的关键． 19. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF． 【答案】 分别连接OA、OC， ∵＝， ∴AB＝CD， ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°， ∴AE＝CF ， 又∵OA＝OC， ∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL）， ∴OE＝OF． 【解析】 【分析】分别连接OA、OC，证明Rt△AEO≌Rt△CFO，可得OE＝OF． 【详解】略 【点睛】本题主要考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【答案】（1） （2） 解：不能，理由如下： 根据题意则有，即， ， 不能围成500平方米的矩形花园． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意得到，即可得到的长； （2）根据题意可得方程，将其转化为一般形式，再利用根的判别式即可判断． 【小问1详解】 解：设矩形花园，则， 则有， 解得：或， 墙最长可利用28米， ， ， 的长为； 【小问2详解】 略 21. 网络直播带货已经成为一种热门的销售方式．某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克．设销售枇杷的日获利为w（元）． 销售单价x（元） 22 27 日销量y（千克） 200 150 （1）求日销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利最大，最大利润为1210元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先根据利润销售量（销售单价成本价）求出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：设日销售量与销售单价的函数关系式为， 由题意得：，解得， 则日销售量与销售单价的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵，， ∴由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为1210， 答：当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利最大，最大利润为1210元． 22. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 【答案】（1） ， （2）成立， 理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）通过证明，即可求证； （3）过点C作，垂足为C，交AD于点H，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 ，，证明如下： 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H， 由旋转性质可得：，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 在中：， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为________； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【答案】（1）8 （2） （3）函数纵横值 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点坐标以及最值，正确理解题意，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． （1）点的“纵横值”为，即可求解； （2）由题意得，解得，，进而得，即可求解； （3）由题意得，解得，，进而得，即可求解． 【小问1详解】 解：点的“纵横值”为， 故答案为：8； 【小问2详解】 二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 最优纵横值为5， ， 解得； 【小问3详解】 二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 当时可知， 当时，， 当时，， 函数纵横值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $