4.2.1 等差数列的概念（五大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

4.2.1 等差数列的概念 、 题型一：判断等差数列 1．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（   ） A．该数列是公差为的等差数列 B．该数列的图象只能在第一象限 C．该数列是个有穷数列 D．该数列的图象是直线上满足的点集 【答案】D 【详解】由知数列为等差数列，公差为1，故A错误； 因为，所以数列的图象上有点在x轴上，故B错误； 由通项公式是知，数列是无穷数列，故C错误； 由通项公式是知该数列的图象是直线上满足的点集，故D正确. 故选：D 2．设为数列的前项和，. (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列. 【详解】（1）由得，即， 当时，， 又时，，不符合， 故； （2）由（1）得， 则， 故数列不是等差数列. 题型二：等差中项及其应用 3．在等差数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等差中项的性质可得，则. 故选：B. 4．已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由已知可得，. 设a，b的等差中项为， 根据等差中项的定义，有. 故选：B. 5.已知A为a+5和a+11的等差中项，则A= . 【答案】 【详解】因A为a+5和a+11的等差中项，于是得， 所以. 故答案为： 6．（23-24高二上·江苏·期中）写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式 ．①；②． 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为，所以数列为等差数列， 因为，所以数列数列为递减数列， 则可取. 故答案为：.（答案不唯一） 7.已知数列的前项和为，且满足：． （1）求数列的通项公式； （2）令，是否存在，使得为等差数列？ 【详解】（1）在数列中，因为， 当时，， 当时，， 又符合上式， 所以； （2）因为， 假设存在，使得为等差数列， 则有，所以，化简得：， 由，则为奇数， 所以只能取3、9，即取1、7， 若，得，舍； 若，得，经检验符合题意； 综上，存在，，使得为等差数列 题型三：求等差数列中的最大（小）项 8.设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 9．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 10.已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 【详解】（1）证明：因为，， 所以当时， . 又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，则. 设函数，在区间和上单调递减， 结合函数的图象可知， 当时，取得最小值； 当时，取得最大值3. 题型四：利用等差数列的性质计算 11．（24-25高二上·江苏常州·期末）等差数列中，若，则等于（ ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为为等差数列，且， 所以，所以， 所以. 故选：B. 12．（24-25高二上·江苏南京·期末）若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】设数列的公差为， 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 13．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【详解】因为，可得， 因为，解得. 故选：C. 14．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B 15．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知等差数列中，，则的值为 . 【答案】8 【详解】根据等差数列性质可得，可得； 所以可得. 故答案为：8 16.①在数列中，若是常数，，则数列是等差数列；②设数列是等差数列，若，则；③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；④若数列是等差数列，则，…也成等差数列，上述命题中，其中正确的命题的序号为 . 【答案】①②③④ 【详解】对于①：根据等差数列的定义，后一项与前一项的差为同一个常数，即是常数，，故①正确； 对于②：若数列是等差数列，则，所以，，，所以，. 因为，所以.故②正确； 对于③：由等差中项的定义可知：数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；故③正确； 对于④：若数列是等差数列，则. 令，则，，所以为同一个常数， 所以是等差数列，所以，…也成等差数列.故④正确. 故答案为：①②③④. 题型五：由递推关系证明数列是等差数列 17．数列满足，则 . 【答案】 【详解】，， 是数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以. 故答案为： 18．（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以， 则， 故， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 19．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 【详解】（1）解：由题设，，. （2）证明：因为， 所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列. （3）由（2）得：， 所以. 20.已知数列中，，，设． (1)求证：数列是等差数列； (2)求的通项公式． 【详解】（1）证明：因为，所以． 则， 所以是首项为，公差为的等差数列． （2）解：由知，所以，解得， 所以的通项公式为. 21．（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列． （2），且，所以． 当时，，． 时，不满足上式， 所以． 22．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知数列满足，且. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【详解】（1）由， ， 又， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. （2）由（1）知，数列是以为首项，以为公差的等差数列 ， ，. 23．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是数列的前项和. 已知，当时，满足 . (1)若，求数列的通项公式； (2)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由，可得，故， ， 由，故， 当时，由， 有，即， 所以 ； （2）当时，有，即， 当时，，即， 若数列为等差数列，则有， 即，解得， 故有，即， 又因为 ，所以，即数列为等差数列， 故存在，使得数列为等差数列. 24．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知数列的前n项和（），数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数入，使得数列是单调递增数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，， 相减得到， ，， 数列是等差数列，，故，，验证时，满足， 故. （2），故 假设存在满足条件， ， 当时，，即，即； 当时，，即，即； 综上所述：，为非零整数，故. 一、单选题 1．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（    ） A．3斤 B．6斤 C．9斤 D．12斤 【答案】C 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，， 根据等差数列的性质可知， 中间三尺为. 故选：C 2．在等差数列中，若，，则的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设等差数列的公差为，由，得， 所以 解得 故选：B. 二、多选题 3．在数列中，若（，p为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断，其中正确的有（    ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．是等方差数列 C．是等方差数列 D．若的等方差数列，则（，k为常数）也是等方差数列 【答案】ABD 【详解】若是等方差数列，则（，p为常数），所以是等差数列，A正确； ，则，，是等方差数列，B正确； 时，，是公比为4的等比数列，不满足等方差数列的定义，C错； 是等方差数列，则是等差数列，因此（，k为常数）也是等差数列，从而是等方差数列，D正确． 故选：ABD． 4．（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）圆，抛物线，过圆心的直线与两曲线的四个交点自下向上依次记为，若构成等差数列，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】如图所示：    由题意圆的标准方程为，其圆心为，半径为， 所以抛物线的焦点为圆心， 又构成等差数列， 所以， 又因为， 所以，即， 不妨设，由抛物线定义可知：，即， 当直线斜率不存在时：； 当直线斜率存在时：设直线的方程为， 代入抛物线方程得， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 故选：CD. 三、填空题 5．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列的通项公式： ． （1）是无穷等差数列； （2）数列为单调递减数列； （3）数列的最小项有且仅有第5项． 【答案】 (答案不唯一) 【详解】由题意可得，满足（1）是无穷等差数列；（2）数列为单调递减数列；（3）数列的最小项有且仅有第5项， 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题 6．已知数列的前n项和为，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，如果对任意都有成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或． 【详解】（1）由， 即， 所以， 所以， 即， ∴是公差为1的等差数列. （2）由（1）可得 ∴ 当时，符合通项，∴． （3）； 当时，，，当时，，， 当时，， ∴，当或4时，有最大值，如果对任意都有成立，则只需成立，解得或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 等差数列的概念 、 题型一：判断等差数列 1．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（   ） A．该数列是公差为的等差数列 B．该数列的图象只能在第一象限 C．该数列是个有穷数列 D．该数列的图象是直线上满足的点集 2．设为数列的前项和，. (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列. 题型二：等差中项及其应用 3．在等差数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 5.已知A为a+5和a+11的等差中项，则A= . 6．（23-24高二上·江苏·期中）写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式 ．①；②． 7.已知数列的前项和为，且满足：． （1）求数列的通项公式； （2）令，是否存在，使得为等差数列？ 题型三：求等差数列中的最大（小）项 8.设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 9．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 10.已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 题型四：利用等差数列的性质计算 11．（24-25高二上·江苏常州·期末）等差数列中，若，则等于（ ） A． B．0 C． D．1 12．（24-25高二上·江苏南京·期末）若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 13．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 14．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知等差数列中，，则的值为 . 16.①在数列中，若是常数，，则数列是等差数列；②设数列是等差数列，若，则；③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；④若数列是等差数列，则，…也成等差数列，上述命题中，其中正确的命题的序号为 . 题型五：由递推关系证明数列是等差数列 17．数列满足，则 . 18．（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列. 19．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 20.已知数列中，，，设． (1)求证：数列是等差数列； (2)求的通项公式． 21．（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 22．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知数列满足，且. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 23．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是数列的前项和. 已知，当时，满足 . (1)若，求数列的通项公式； (2)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 24．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知数列的前n项和（），数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数入，使得数列是单调递增数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 一、单选题 1．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（    ） A．3斤 B．6斤 C．9斤 D．12斤 2．在等差数列中，若，，则的公差为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．在数列中，若（，p为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断，其中正确的有（    ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．是等方差数列 C．是等方差数列 D．若的等方差数列，则（，k为常数）也是等方差数列 4．（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）圆，抛物线，过圆心的直线与两曲线的四个交点自下向上依次记为，若构成等差数列，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列的通项公式： ． （1）是无穷等差数列； （2）数列为单调递减数列； （3）数列的最小项有且仅有第5项． 四、解答题 6．已知数列的前n项和为，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，如果对任意都有成立，求实数t的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $