精品解析：广西壮族自治区北海市民附高级中学2025-2026学年高二上学期10月段考数学试题

北海民附高中2025年秋季学期10月段考 高二数学试题 (考试时长：120分钟 试卷满分：150分) 命题人：王文昌 审核人：李勇 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 过点的直线的斜率为，则等于 A. B. 10 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接应用斜率公式，解方程即可求出的值. 【详解】因为过点的直线的斜率为，所以有，故本题选B. 【点睛】本题考查了直线斜率公式，考查了数学运算能力. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 3. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 4. 在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面的性质列式求解. 【详解】因为，且点P在平面内， 根据共面向量定理的推论，若空间四点共面，点为空间任意一点，则，且, ，解得 故选：B. 5. 如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，，得，， 又因为， 所以 ， 所以，即． 故选：C. 6. 直线与轴交于点，直线与轴交于点，线段的中点为，则点的坐标满足的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求M,N坐标，再得P点坐标，最后代入选项验证. 【详解】由题意得，因此,满足，选B. 【点睛】本题考查中点坐标公式以及动点轨迹，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解. 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以， 所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 8. 如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为4，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（ ） A. 为正三角形 B. 平面 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,还原圆锥原图,找出对应线段长度关系,位置关系.很容易得解. 【详解】选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示， 设圆锥底面半径为，则，∴，∴， ∵为的中点，为的中点，∴，且， ∴，为等腰直角三角形，选项A错误； 选项B，若平面，则，直角中，， ∴，选项B错误； 选项C，∵，∴平面，选项C正确； 选项D，∵，，∴平面，∴平面平面， ∴到直线的距离即为到平面的距离， 又∵，∴到直线的距离等于到直线的距离，为，选项D错误； 故选:C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 在轴上的截距为 C. 原点到的距离为1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用直线的倾斜角与斜率的关系求解；选项B，利用直线的截距求解即；选项C，利用点到直线的距离公式求解；选项D，利用直线与坐标轴的围成面积求解即可. 【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确； 选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； 选项C：原点到的距离为，故选项C正确； 选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确； 对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 11. 在四棱锥中，面，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为 D. 与面交于点则 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，由向量的数量积可得A正确；求出平面的法向量，再由空间点到平面的距离公式可得B正确；由几何关系找到各外接球圆心位置求出半径可得C错误；设，求出平面的法向量，再由可得D正确. 【详解】 因为面所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 又面，，点为的中点，点为的中点， 则， 由中点坐标公式可得， 对于A，，， 所以，即，故A正确； 对于B，设平面的法向量为， 由可得， 令，可得， 又， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，因为面，所以三棱锥的外接球的球心为中点， 又，所以其外接球半径为； 因为，，， 所以， 又面所以三棱锥的外接球的球心为的中点， ，所以其外接球半径为， 所以外接球半径之比为，故C错误； 对于D，设，，则，， 设平面的法向量为， ， 由可得， 令，则， 因为，解得， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出直线的一个单位方向向量,利用点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又, 则点到直线的距离为. 故答案为：. 13. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】 方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得． 方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 14. 已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，由，得，由，得，画出曲线的图像，利用对称性可设，即，解出即可. 【详解】由，得，则曲线表示圆的上半部分， 由，得，则曲线表示圆的上半部分， 由，得，则曲线表示圆的上半部分， 画出曲线，如图所示.根据对称性可知，圆的圆心在轴的正半轴上， 设圆的标准方程为，则，解得， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据向量平行得到关于的方程，求解即可； （2）直接根据向量垂直得到关于的方程,然后解出即可; 【小问1详解】 因为，，所以， ， 因为，则，解得. 【小问2详解】 若，则，解得. 16. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 17. 如图所示，直三棱柱，，． （1）求证：； （2）若，E为中点，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 因为直三棱柱中，， 所以四边形为正方形，， 又，，且，AB、平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，且、平面， 所以平面，且平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明， 可得平面，进而得到； （2）以B点为原点建立空间直角坐标系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，由及勾股定理得， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 得，，，，，， 设平面的法向量，而，， 所以可得，令，得， 设平面的法向量，而，， 所以可得，令，得， 结合图形可知，二面角余弦值． 18. 过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． （1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； （2）求弦的中点M的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【小问1详解】 由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． 【小问2详解】 设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 19. 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角大小为，求的值. 【答案】（1），，为的中点， 四边形为平行四边形，， 又，，即， 又平面平面，平面平面，平面，平面， 平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，首先证明四边形为平行四边形，从而得到.再利用，证明.最后利用平面平面的条件，证明平面，进而证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量表示点的位置，通过向量的点积和夹角公式，求解二面角大小为时，的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，为的中点，， 平面平面，平面平面，平面，平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 易知平面的法向量为， 又，，，，， 设，， ，又， 设平面的法向量为，则，即. 令，得， 二面角为，，解， 即，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北海民附高中2025年秋季学期10月段考 高二数学试题 (考试时长：120分钟 试卷满分：150分) 命题人：王文昌 审核人：李勇 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 过点的直线的斜率为，则等于 A. B. 10 C. 2 D. 4 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 4. 在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 6. 直线与轴交于点，直线与轴交于点，线段的中点为，则点的坐标满足的方程为 A. B. C. D. 7. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为4，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（ ） A. 为正三角形 B. 平面 C. 平面 D. 点到平面的距离为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 在轴上的截距为 C. 原点到的距离为1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2 10. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 11. 在四棱锥中，面，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为 D. 与面交于点则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为_____． 13. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 14. 已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 17. 如图所示，直三棱柱，，． （1）求证：； （2）若，E为中点，求二面角的余弦值． 18. 过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． （1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； （2）求弦的中点M的轨迹方程． 19. 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角大小为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $