精品解析：江苏省赣榆高级中学2025-2026学年高二上学期10月学情检测数学试题

2025~2026学年第一学期高二年级10月学情检测 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 因为直线的倾斜角大于等于小于， 故经过两点的直线的倾斜角是， 故选：D 2. 若两条不同的直线：与直线：平行，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】两直线与平行的判定方法，但要验证是否重合. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得， 当时，：，：，两直线平行， 当时，：，：，两直线重合， 所以. 故选：B. 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心到直线的距离 . 故选：A 4. 过直线和直线的交点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两直线联立可求得交点坐标，根据垂直关系可得直线斜率，由此可得直线方程. 【详解】由得：，即与交点为； 斜率为，则所求直线斜率为， 所求直线方程为：，即. 故选：C. 5. 椭圆的焦距为4，则的值为（ ） A. 12 B. 4 C. 12或4 D. 10或6 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆焦点的位置进行分类讨论，利用标准方程确定的值，进而解得的值. 【详解】由题意得，，，则，即， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 综上所述，或， 故选：C. 6. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为4， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 故求的最小值，转化为求的最小值， 设关于直线的对称点为，设坐标为， 则 ，解得，故， 因为，可得， 当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 7. 已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线所过定点和知，由此得轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得，结合向量数量积的运算律求得最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径； 由得：，恒过定点； 由得：，恒过定点； 由直线方程可知：，，即， 设，则，， ，整理得：， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在， 点轨迹不包含； 若点为弦的中点，则，位置关系如图： 连接，由知：， 则， （当在处取等号）， 即的最小值为. 故选：A. 8. 如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点M是该图案上一动点，N是其图象上点M关于直线的对称点，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到，设直线与函数相切，得到，再根据平行线间距离公式求解即可. 【详解】函数经过点，所以. 设直线与函数相切， 联立消去y，得． ，解得． 则直线与直线间的距离为． 故MN的最大值为． 故选：B 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 9. 已知直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 当时，不经过第一象限 D. 使得原点到的距离为2. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用直线平行、垂直关系列式计算判断AB；由直线的斜率、纵截距情况判断C；求出直线过的定点，计算原点到距离的最大值判断D. 【详解】直线， 对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由于时，直线与直线重合，B错误； 对于C，当时，直线的斜率，纵截距，则不经过第一象限，C正确； 对于D，直线恒过定点，原点到直线距离的最大值为，D错误. 故选：AC 10. 已知点A，B在圆上，点P在直线上，则（ ） A. 直线l与圆O相离 B. 当时，的最小值是 C. 当PA、PB为圆O的两条切线时，为定值 D. 当PA、PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离，可判断A的真假；结合向量加法的几何运算与模的意义，可判断B的真假；结合向量数量积的定义，可判断C的真假；求直线的方程，判断直线是否经过定点，判断D的真假. 【详解】对A：圆心到直线：的距离：. 所以直线l与圆O相离，故A正确； 对B：如图： 当时，设中点为D，则，. 所以的最小值为，故B错误； 对C：如图： 当PA、PB为圆O的两条切线时，，. 所以为定值.故C正确； 对D：如图： 当PA、PB为圆O的两条切线时，，是圆与以为直径的圆的交点. 设，则以为直径的圆的方程为：即， 由得直线的方程为：. 即. 由，所以直线经过定点.故D正确. 故选：ACD 11. 若曲线是由方程和共同构成，则下列结论不正确的是（    ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则的取值区间是 C. 若与直线有公共点，则 D. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线的方程可得曲线的图形，利用图形的对称性，即可结合选项逐一求解. 【详解】由，，得或， 当时，，，是圆心为，半径为1的半圆， 同理可得的其他部分，分别为圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆； 作曲线的图形如下图： 图中虚线部分是边长为2的正方形； 对于A，图形的面积，错误； 对于B，由图可知的取值范围是,，错误； 对于C,根据曲线的对称性可知，当直线与相切时，此时 或（舍去）， 故要使曲线与直线有公共点，则，C错误， 对于D，覆盖住曲线的圆的半径的最小值显然是2，正确； 故选：ABC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则， 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 已知圆与圆恰有三条公切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切， 由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径， 则，解得. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系xOy中，设直线与圆交于A，B两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将平方化简得，利用二倍角余弦公式得，再结合圆心到直线的距离和勾股定理列式计算r即可. 【详解】因为， 所以， 即，整理化简得， 过点O作AB的垂线交AB于D， 则，得. 又圆心到直线的距离为，所以， 所以，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5大题，满分77分. 15. 已知的三个顶点为，，. （1）求边上的高AD的直线方程； （2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程. 【答案】（1） （2）和. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）利用两定点到直线距离相等的特性，分情况求解即可. 【小问1详解】 由点B、C的坐标，得直线的斜率， 由，得直线的斜率， 由点斜式方程得直线的方程为，整理得， 所以边上的高AD的直线方程为. 【小问2详解】 由点A、C的坐标，得线段的中点E坐标为， 显然点A，C到直线的距离相等，而直线轴，于是直线的方程为； 又点A，C到与直线平行的直线的距离也相等，而直线轴，此时所求直线方程为， 所以过点B且与A、C距离相等的直线方程为和. 16. 已知方程. （1）若此方程表示圆，求正整数m的值； （2）在（1）的条件下，方程表示的圆为圆C，若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 【答案】（1）1 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般式满足的条件即可求解， （2）根据对称求解M关于直线的对称点，即可求解. 【小问1详解】 若此方程表示圆，则，解得， 因为为正整数，故； 【小问2详解】 在（1）的条件下，方程表示圆： 由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即， 半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得， 此时切线的方程为：， 即， 综上所述：过的切线方程为或. 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦长. 18. 如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为. （1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标； （2）求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】（1），定点 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算以为圆心，为半径的圆方程，与圆的方程相减得到直线方程. （2）线段的中点为，根据得到在以为直线的圆上，计算圆心的半径即可. （3）设出切线方程，根据相切得到，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，得到最值. 【小问1详解】 圆，即，圆心，半径， ，， 故以为圆心，为半径的圆方程为：， 即， 故直线的方程为， 化简得到，直线过定点 【小问2详解】 设线段的中点为，则，即在以为直线的圆上， 圆心为，即，半径为 故的轨迹方程为：. 【小问3详解】 设切线方程为 , 即 ， 故到直线 的距离，即， 设的斜率分别为，由韦达定理可得 ，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用两圆方程相减求弦所在的方程是解题的关键，韦达定理的应用也是考查的重点. 19. 已知定点，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点． （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）在定直线上 【解析】 【分析】（1）根据点点距离公式即可列方程，化简可得结论， （2）（i）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算的长度,即可根据面积公式得表达式,结合不等式即可求解最值, （ii）联立直线与圆的方程得韦达定理,即可根据点斜式求解直线的方程,联立两直线方程即可求解定直线. 【小问1详解】 设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即： 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即， 则直线为，设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则，，所以，， 所以， 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为. （ii）设，，联立，得， 则，，， 因为曲线与轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 所以在定直线上 【点睛】方法点睛:解析几何简化运算的常见方法： （1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； （2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算； （3）巧用定义，简化运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期高二年级10月学情检测 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若两条不同的直线：与直线：平行，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 0 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 过直线和直线的交点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆的焦距为4，则的值为（ ） A. 12 B. 4 C. 12或4 D. 10或6 6. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 7. 已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点M是该图案上一动点，N是其图象上点M关于直线的对称点，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 9. 已知直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 当时，不经过第一象限 D. 使得原点到的距离为2. 10. 已知点A，B在圆上，点P在直线上，则（ ） A. 直线l与圆O相离 B. 当时，的最小值是 C. 当PA、PB为圆O的两条切线时，为定值 D. 当PA、PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点 11. 若曲线是由方程和共同构成，则下列结论不正确的是（    ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则的取值区间是 C. 若与直线有公共点，则 D. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 13. 已知圆与圆恰有三条公切线，则______. 14. 在平面直角坐标系xOy中，设直线与圆交于A，B两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则______. 四､解答题：本题共5大题，满分77分. 15. 已知的三个顶点为，，. （1）求边上的高AD的直线方程； （2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程. 16. 已知方程. （1）若此方程表示圆，求正整数m的值； （2）在（1）的条件下，方程表示的圆为圆C，若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 18. 如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为. （1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标； （2）求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 19. 已知定点，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点． （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $