精品解析：浙江省绍兴市建功中学教育集团2025--2026学年上学期九年级月考数学试卷

绍兴市建功中学教育集团2025学年学科素养竞赛试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 3. 在平面直角坐标系中，已知圆的半径为4，原点为圆心，点为，则点在（　　） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 4. 如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A. B. C. D. 5. 将抛物线y=（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A. y=（x+1）2﹣13 B. y=（x﹣5）2﹣3 C. y=（x﹣5）2﹣13 D. y=（x+1）2﹣3 6. 已知抛物线 的对称轴为直线，则关于x的方程 的解是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，当时，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为 （ ） A. B. 2 C. D. 9. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是______． 12. 已知点在函数的图象上，那么的大小关系是（用“”连接）___________． 13. 如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 14. 如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____秒． 15. 如图，在半径为6cm的⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB=_____cm． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是3． （1）求这个二次函数的表达式． （2）判断点是否在该抛物线上． 18. 已知二次函数． （1）把它化成的形式为______； （2）直接写出抛物线的顶点坐标______；对称轴：______． （3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． （1）圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． （2）判断点与的位置关系，并写出过程． 20. 如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点A及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出时x的取值范围． 21. 如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 22. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 23. 某汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．研发小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）求汽车刹车后，行驶了多远距离； （3）若驾驶员发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绍兴市建功中学教育集团2025学年学科素养竞赛试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如的函数（a，b，c是常数，），叫做二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值． 【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， ∴函数有最小值为6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值． 3. 在平面直角坐标系中，已知圆的半径为4，原点为圆心，点为，则点在（　　） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出点到原点的距离，再判断与半径的大小关系，从而得出答案．本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握点与圆的3种位置关系，设圆的半径为，点到圆心的距离为，当，点在圆外，当，点在圆上，当，点在圆内． 【详解】解：∵点为， ∴由勾股定理可得点到圆心的距离为， 又∵圆的半径为， ∴， ∴点在圆外． 故选：A． 4. 如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可. 【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键． 5. 将抛物线y=（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A. y=（x+1）2﹣13 B. y=（x﹣5）2﹣3 C. y=（x﹣5）2﹣13 D. y=（x+1）2﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=（x-2）2-8向左平移3个单位所得直线的解析式为： y=（x+1）2-8； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x-5）2-8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为： y=（x+1）2-3． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6. 已知抛物线 的对称轴为直线，则关于x的方程 的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解一元二次方程，解题的关键是正确求出m的值．由抛物线的对称轴，可求得，然后将代入方程得到关于x的一元二次方程，最后解方程即可． 【详解】解：抛物线 的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∴，； 故选：D． 7. 已知抛物线，当时，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，从而得到当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，再分别求出当时，当时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 当时，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 8. 如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OD，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可． 【详解】连接OD，如图，设圆O的半径为r， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO=90°， ∴CD=， ∴当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小， 此时D、B重合，则由垂径定理可得：CD=CB=AC=AB=2， ∴CD的最大值为2. 故答案为：2． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，作辅助线构造直角三角形应用勾股定理，并熟记垂径定理内容是解题的关键. 9. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可． 【详解】对称轴在y轴的右侧， ， 由图象可知：， ，故不正确，不符合题意； 当时，， ，故正确，符合题意； 由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确，符合题意； ， ， ， ， ，故不正确，不符合题意； 当时，y的值最大此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故正确，符合题意， 故正确， 故选B． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 10. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出的解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案. 【详解】抛物线与x轴交于点A、B， ∴=0， ∴x1=5，x2=9， ， 抛物线向左平移4个单位长度后的解析式， 当直线过B点，有2个交点， ， ， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， ， 相切， ， ， 如图， 若直线与、共有3个不同的交点， --， 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键. 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法，理解坐标轴上点的坐标的特点是解题关键． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴交点坐标是， 故答案为：． 12. 已知点在函数的图象上，那么的大小关系是（用“”连接）___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，得出图象的对称轴是直线，根据二次函数的对称性，得出点关于对称轴直线的对称点的坐标是，然后根据函数的性质，得出图象开口向上，当时，随的增大而减小，再根据二次函数的增减性即可得到答案． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解本题的关键． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴是直线， ∴点关于对称轴直线的对称点的坐标是， ∵ ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵ ∴． 故答案为：． 13. 如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 14. 如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____秒． 【答案】36 【解析】 【详解】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B， ∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同， ∴A，B关于对称轴对称． 则从A到B需要16秒，从A到D需要8秒． ∴从O到D需要10+8=18秒．∴从O到C需要2×18=36秒． 15. 如图，在半径为6cm的⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB=_____cm． 【答案】8 【解析】 【详解】解：过O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，则四边形OMNE是矩形． ∵CE=3cm，DE=7cm，∴CD=10cm． ∵ON⊥CD于点N，∴CN= CD=5cm，∴OM=NE=CN﹣CE=5﹣3=2cm． 在直角△OBM中，OB2=OM2+BM2，∴62=22+BM2，∴BM=cm，∴AB=2BM=cm．故答案为． 点睛：本题主要考查了垂径定理的应用，利用垂径定理可以把求弦长或圆心角的问题转化为解直角三角形的问题． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理， 先作点C的对称点，当点三点共线，且时，值最小，再求出点，即可求出直线，然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】解：如图所示，作点C的对称点，可知， 当点三点共线，且时，值最小， 当时，， ∴点. ∵抛物线的对称轴是， ∴点. ∵直线，且， ∴直线. ∵直线经过点， ∴， ∴直线. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点， 则. 故答案为：. 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是3． （1）求这个二次函数的表达式． （2）判断点是否在该抛物线上． 【答案】（1） （2）点不在抛物线上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）把两组x，y值代入解析式得到关于b，c的二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）把代入求出y，再和所给点的纵坐标比较即可得解． 【小问1详解】 解：当时，函数值是4；当时，函数值是3， ， 解得， 这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 点不在该抛物线上． 18. 已知二次函数． （1）把它化成的形式为______； （2）直接写出抛物线的顶点坐标______；对称轴：______． （3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）、 （3）抛物线与x轴的交点坐标为，；抛物线与y轴的交点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）根据二次函数的性质，利用二次函数的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标与对称轴； （3）把代入，解方程求出x的值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；把代入，求出y的值，从而得到抛物线与y轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知， 顶点坐标：；对称轴：， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，，解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，； 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，熟练运用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． （1）圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． （2）判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】（1）， 画图如下： （2）点D在内，证明如下： 解：圆的半径， 线段， 点D在内． 【解析】 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点A及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握函数图象上点的坐标特征以及通过图象比较函数值大小是解题的关键． （1）对于二次函数，将点代入其表达式求出，进而得到二次函数解析式，再求出点坐标，根据对称轴求出点坐标，最后将、代入一次函数求出解析式． （2）通过观察图象，找出二次函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入，可得 解得， 所以二次函数解析式为，展开得． 当时，， 所以． 二次函数的对称轴为直线， 因为点与关于对称轴对称， 所以． 把，代入，可得 解得，， 所以一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴由图象可知，时的取值范围是或． 21. 如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）如图：作，垂足为E，由垂径定理可得，，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到的值，即可解答． 【小问1详解】 解：如图：作，垂足为， 由垂径定理知，点是的中点，也是的中点， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图：连接， 在中，，， ． 在中， ，， ,即小圆的半径为． 22. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）依题意得；（也正确）且为正整数，（2）每件玩具的售价定为35元时，每个月可获得最大利润．最大的月利润是2250元． 【解析】 【分析】（1）根据题意知每件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（200-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式． （2）把y=-10x2+100x+2000化成顶点式，求得当x=5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，计算出当x=5时 y的值即可． 【详解】解：（1）依题意得； 自变量x的取值范围是：（也正确）且为正整数， （2）， ， 当时，y有最大值， （也正确）且为正整数， 当时，，（元）． 所以，每件玩具的售价定为35元时，每个月可获得最大利润．最大的月利润是2250元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和配方法． 23. 某汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．研发小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）求汽车刹车后，行驶了多远距离； （3）若驾驶员发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1） （2）汽车刹车后，行驶了 （3） 解：不会．理由： ， ∴当时，，即汽车停下时，行驶了． ， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的性质，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）根据表格数据，利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）求当时的函数值即可求解； （3）先求解函数的最大值，即求得刹车后行驶的最远距离，进而比较大小可得答案． 【小问1详解】 解：设y关于t的函数表达式为． 将代入，得， 解得， 关于t的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，． 答：汽车刹车后，行驶了． 【小问3详解】 略 24. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）能．或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $