24.1 测 量 课件 2025-2026学年 华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“测量”主题，系统讲解利用相似三角形判定与性质、直角三角形知识解决测高测距问题，通过影子法、标杆法等实际测量情境导入，衔接相似三角形性质与勾股定理，构建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于以多种测量方案（如镜子法测距离、收绳问题用勾股定理）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过典例剖析与归纳总结发展推理能力和模型意识，助力学生从实际问题中抽象数学关系，教师可借助系统案例提升教学实效。

● 考点清单解读 ● 重难题型突破 24.1 测 量 目 录 ■考点一 利用相似三角形的判定与性质进行测量 方法 图示 影子测量法：如图，在阳光下，利用同一时刻物高和影长成比例求解.测量出人的高度 A′B′、人的影长 B′C′、物体的影长 BC，然后根据相似三角形的知识求解 24.1 测 量 利用三角形的相似可以解决一些不易直接测量的物体 （如旗杆、楼房等）的高度问题.常用的测量方法如下表： 考点清单解读 返回目录 续表 24.1 测 量 标杆测量法：如图，取一根比自己略高 一些的标杆，把它竖直地插在要测量 的物体前，使自己的眼睛与标杆顶点、 物体顶点在一条直线上，测量出人眼 的高度 EC、标杆长 FD、人到标杆的距 离 CD、标杆到被测物体的距离 DB，利 用相似三角形的知识求解 考点清单解读 返回目录 续表 24.1 测 量 标尺法：如图，拿一把有刻度的小尺， 把手臂向前伸直，小尺竖直，观察小尺 上有多少刻度恰好遮住物体，测量出 臂长 MC、人到物体的距离 NB、遮住物 体部分的尺长 CD，利用相似三角形的 知识求解 考点清单解读 返回目录 续表 24.1 测 量 镜子法：如图，在观察者和被测物体之 间放一面镜子，观察者通过镜子看到物 体的顶端，测量出人眼的高度 DE、人到 镜子的距离 EC、镜子到物体的距离 BC，利用相似三角形的知识求解 考点清单解读 返回目录 24.1 测 量 归纳总结 相似三角形的应用主要有测高和测距两个方面.当不能直接使用测量工具测量物体的高时，关键要掌握测高的方法，构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的三边长，运用相似三角形的性质列出比例式求解． 考点清单解读 返回目录 24.1 测 量 典例1 如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点 E 处有一棵小树，他们想利用皮尺、测倾器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即 DE 的长度），小华站在点 B处，让同伴移动平面镜至点 C 处，此时小华在平面镜内可以看到点E.B，C，D 三点在同一条直线上，且测得 BC=6 m，CD=22 m，∠CDE=135°.已知小华的身高 AB=1.6 m，请根据以上数据，求小树到山脚下的距离.（结果保留根号） 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 24.1 测 量 考点清单解读 返回目录 24.1 测 量 ［答案］ 解：如图，过点 E 作 EF⊥BD， 交 BD 的延长线于点 F． ∵∠CDE=135°，∴∠EDF=45°． ∴∠DEF=∠EDF=45°. ∴DF=EF. 设 EF=x m，则 DF=x m， CF=CD+DF=22+x（ｍ）． ∵∠B=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECD， ∴△ABC∽△EFC， 考点清单解读 返回目录 24.1 测 量 ∴ = ，即 = ， 解得 x=8，∴DE= =8 m． 答：小树到山脚下的距离为 8 m． 考点清单解读 返回目录 ■考点二 利用直角三角形进行测量 24.1 测 量 利用直角三角形测量物体的高度时，常用的方法有： （1）借助等腰直角三角形的两直角边相等，把物体的高度转移到地面，从而方便测量； （2）借助勾股定理，求物体的高度． 考点清单解读 返回目录 24.1 测 量 归纳总结 利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：在直角三角形中，若已知两边求第三边，则可直接用勾股定理及其变形公式求解；若已知一边，另两边可用含同一个字母的代数式表示，再运用勾股定理列方程求解即可. 考点清单解读 返回目录 24.1 测 量 典例2 如图，在离水面高度 为5 m 的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13 m，此人以 0.5 m/s 的速度收绳，10 s 后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动了 _________ m.（假设绳子是直的，结果保留根号） 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 24.1 测 量 ［答案］12- 考点清单解读 返回目录 ■题型 物体高度的测量方案问题 例 某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上悬挂国旗的旗杆高度的活动.甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示， 甲组测得图中 BO=60 m，OD=3.4 m，CD=1.7 m；乙组测得图中，CD=1.5 m，同一时刻影长 DF=0.9 m，BE=18 m；丙组测得图中，EF∥AB，FH∥BD，BD=90 m，EF=0.2 m，人的臂长（FH）为 0.6 m.请你任选一种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度. 24.1 测 量 重难题型突破 返回目录 24.1 测 量 重难题型突破 返回目录 24.1 测 量 ［答案］解：选择甲组方案计算：在△ABO 和△CDO 中，∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO， ∴ = ． 又 ∵BO=60 m，OD=3.4 m，CD=1.7 m，∴AB=30 m. 答：该校的旗杆高 30 m． 选择乙组方案计算：连结 AE，CF，在△ABE 和△CDF 中，∵∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD，∴△ABE∽△CDF， ∴ = ．又 ∵CD=1.5 m，DF=0.9 m，BE=18 m，∴AB=30 m. 答：该校的旗杆高 30 m． 重难题型突破 返回目录 24.1 测 量 选择丙组方案计算：由 FH∥BD，可得∠CFH=∠CBD，∠FCH=∠BCD， ∴△CFH∽△CBD， = ．又∵EF∥AB，可得∠FEC=∠BAC，∠FCE=∠BCA，∴△CFE∽△CBA， = ，∴ = ． 又 ∵BD=90 m，EF=0.2 m，FH=0.6 m，∴AB=30 m. 答：该校的旗杆高 30 m． 重难题型突破 返回目录 24.1 测 量 变式衍生 如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树 A 和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树 A 与树 B 之间的距离，于是他们采取如下方式：①在树 B 所在的河岸边选择一点 C，观测对岸的树 A，并记录下BC 的距离为 2a；②在树 B 所在的河岸内侧，选择两点 D，E，从点 D 观测树 A，且 A，D 以及 C 三点共线，然后从点 E 观测树 B 与树 A，并使 E，B，A 三点共线；③调整 D，E 的位置，使 DE∥BC，记录下 DE 的距离为 5a； 重难题型突破 返回目录 24.1 测 量 ④测量出 BE之间的距离大约为 27 m.数学兴趣小组的方案能否得出树A 与树 B 之间的距离？ 请通过分析与计算说明． 重难题型突破 返回目录 24.1 测 量 解：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，∠ACB=∠D， ∴△ABC∽△AED，∴ = ，∴ = ，解得 AB=18，∴ 能得出树 A 与树 B 之间的距离，距离为 18 m. 重难题型突破 返回目录 $