24.2 直角三角形的性质课件 2025-2026学年 华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形性质，核心讲解斜边上中线等于斜边一半及含30°角直角三角形中30°角对边等于斜边一半，通过回顾直角三角形定义，以“中线”情境衔接三角形中线旧知，搭建学习支架引入新知。 亮点是结合典例剖析（如用中线性质解AB长问题）、实际应用（航海、木棍滑动问题）培养数学眼光，推理过程（30°角性质推导）发展数学思维，符号语言与图示结合强化数学语言。归纳总结与易错分析助学生构建体系，教师可直接用于考点突破，提升教学效率。

● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 24.2 直角三角形的性质 目 录 ■考点一 直角三角形斜边上的中线的性质 内容 图示 性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 符号 语言 在△ABC 中，∵∠ACB=90°，点 D 是AB 的中点，∴CD= AB=AD=BD 24.2 直角三角形的性质 考点清单解读 返回目录 续表 24.2 直角三角形的性质 注意 事项 该性质的前提是直角三角形，对一般三角形不适用 此性质可用来解决有关线段的倍分关系 任意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且其中线将直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形 此性质的逆命题也是真命题，即如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 考点清单解读 返回目录 24.2 直角三角形的性质 归纳总结 当题目中出现“中线”时，要看题目中是否存在直角三角形，若有，则可直接考虑是否可以用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”进行解题；若没有，则需考虑是否可以通过构造直角三角形解题． 考点清单解读 返回目录 24.2 直角三角形的性质 典例1 如图， 在 Rt △ABC 中 ，∠ACB=90°，D 是 AB 的中点，连接CD，过点 D 作 DE⊥CD 交 BC 于点E，若 CE＝ ，DE＝，则 AB 的长为 _______. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 24.2 直角三角形的性质 ［解题思路］在 Rt△CDE 中，CE= ，DE= ，∴CD= =2，∵∠ACB=90°，D 是 AB 的中点，∴CD= AB，∴AB=2CD=4． ［答案］ 4 考点清单解读 返回目录 ■考点二 含 30°角的直角三角形的性质 24.2 直角三角形的性质 内容 图示 性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 符号 语言 在△ABC 中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC= AB 考点清单解读 返回目录 续表 24.2 直角三角形的性质 注意 事项 该性质是含有 30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用 该性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系 考点清单解读 返回目录 24.2 直角三角形的性质 归纳总结 当直角三角形中给出的一个角是 15°时，往往先构造等腰三角形，运用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得到 30°角，再利用含 30°角的直角三角形的性质解题． 考点清单解读 返回目录 24.2 直角三角形的性质 典例2 如图，在 Rt△ABC 中，CM平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN平分∠AMC，若 AN=1，则 BC 的长为 _________. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 24.2 直角三角形的性质 ［答案］ 6 ［解题思路］∵ 在 Rt△ABC 中，CM平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分 ∠AMC，∴ ∠AMN = ∠NMC = ∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC， ∴∠B=∠AMN=30°，∵AN=1， ∴ 在 Rt△AMN 中，MN=2AN=2，∴NC=2.∴AC=AN+NC=3， ∴BC=2AC=6. 考点清单解读 返回目录 ■题型 利用直角三角形的性质解决实际问题 例 如图，一条船上午 8 h 从海岛 A 出发，以每小时 15 海里的速度向正北方向航行，上午 10 时到达海岛 B 处，分别从 A，B 处望灯塔 C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°.若这条船到达海岛 B 处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，船与灯塔 C 之间的距离最短？ 24.2 直角三角形的性质 重难题型突破 返回目录 24.2 直角三角形的性质 重难题型突破 返回目录 24.2 直角三角形的性质 ［答案］解：根据题意，得 AB=15×（10-8）=30（海里）．∵∠NBC=60°，∠NAC =30° ，∴ ∠ACB = ∠NBC - ∠NAC =60° -30° =30° ，∴ ∠ACB =∠NAC，∴BC=AB=30 海里，如答案图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D．根据垂线段最短，线段 CD 的长为船与灯塔 C 之间的最短距离，∠BDC=90°． 又 ∵∠NBC=60°，∠BCD=180°-∠BDC-∠NBC=180°-90°-60°=30°，在 Rt△BCD 中，∠BCD=30°，∴DB＝ BC＝ ×30＝15（海里），∴15÷15=1（h）， 答：还要经过 1 h，船与灯塔 C 之间的距离最短． 重难题型突破 返回目录 24.2 直角三角形的性质 变式衍生 如图，一根长 2.5 m的木棍 AB，斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角 O 与木棍 B 端的距离为 1.5 m，设木棍的中点为 P．此时木棍 A 端沿墙下滑，B 端沿地面向右滑行． （1）木棍在滑动的过程中，线段 OP的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求 OP 的长； （2）如果木棍的底端 B 向右滑出0.9 m，那么木棍的顶端 A 沿墙下滑多少距离？ 重难题型突破 返回目录 24.2 直角三角形的性质 重难题型突破 返回目录 24.2 直角三角形的性质 解：（1）不变． 理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，∵ 斜边 AB 不变，∴ 斜边上的中线 OP 不变. ∴OP= AB=1.25 m； 重难题型突破 返回目录 24.2 直角三角形的性质 （2）由题意画出示意图如图所示，已知 AB=2.5 m，BO=1.5 m，∴OD=1.5+0.9=2.4（m），CD=AB=2.5 m， 在 Rt△COD 中，OC= =0.7（m）， 在 Rt△AOB 中，OA==2（m）， ∴AC=OA-OC=1.3 m. 答：木棍的顶端 A 沿墙下滑 1.3 m. 重难题型突破 返回目录 ■因未分情况讨论导致漏解 例 如图，已知∠AOB=30°，点 P 在边 OA 上，OP=14，点 E，F在边 OB 上，PE=PF，EF=6．若点 D 是边 OB 上一动点，则∠PDE=45°时，DF 的长为 ________. 24.2 直角三角形的性质 易错易混分析 返回目录 24.2 直角三角形的性质 ［解析］如解析图，过点 P 作 PH⊥OB 于点 H，∵PE=PF，∴EH=FH= EF=3，∵∠AOB=30°，OP=14，∴PH= OP=7，①当点 D 运动到点 F 右侧时，∵∠PDE=45° ，∴∠DPH=45° ，∴PH=DH=7，∴DF =DH-FH=7-3=4；②当点 D 运动到点 F 左侧时，D′F=D′H+FH=7+3=10．∴DF 的长为 4 或 10． 易错易混分析 返回目录 24.2 直角三角形的性质 ［答案］ 4 或 10 ［易错］ 4 ［错因］ 未分情况讨论导致漏解. 易错易混分析 返回目录 24.2 直角三角形的性质 易错警示 在动点未指明运动方向时，没有考虑分情况讨论，或者分情况类型不全. 领悟提能 在遇到动点问题或未给出图形的题目时，因为具有不确定性，所以在解题时要充分考虑到由已知条件而产生的各种情况. 易错易混分析 返回目录 $