第六章第3节 等比数列 专题练习 2026届高三数学一轮复习

第3节　等比数列 基础练 1.(2025·福建泉州模拟)在等比数列{an}中,a1+a4=0,a2=-2,记Sn为{an}的前n项和,则S4等于(　　) A.-8 B.-5 C.-4 D.0 2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=51,则公比q等于(　　) A. B. C.2 D.3 3.(2025·福建福州模拟)在数列{an}中,“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2025·四川雅安模拟)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a1+a5+a9=9, b2b5b8=3,则=(　　) A.2 B. C. D. 5.(多选题)记递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则(　　) A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2n-1 C.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-1 6.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn+1=2Sn+1,则S7等于(　　) A.63 B.127 C.128 D.256 7.(2025·山东聊城模拟)已知数列{an}各项均为正数,若a1=1,且ln an+1=ln an+1(n∈N*),则{an}的通项公式为　　　　.  8.有一座六层高的商场,若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍,一共开了1 890盏,则底层所开灯的数量为　　　　.  9.已知一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=　　　　.  10.(2024·全国甲卷改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{Sn}的通项公式. 强化练 11.(2025·江苏苏州模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且Sn=2n+1+a,则a1a2-a2a3+ a3a4-…+a9a10=(　　) A. B. C. D. 12.(多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是(　　) A.数列{an}为等比数列 B.数列{Sn+n}为等比数列 C.数列{an+1}为等比数列 D.数列{2Sn}的前n项和为2n+2-n2-n-4 13.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若S5=,求λ. 拓展练 14.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=m-25-n,则a1a2·…·an的最大值为　　　　.  15.(2025·安徽合肥模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1, +mSn+1=,其中m为常数. (1)证明:Sn+1=2Sn+m. (2)是否存在实数m,使得数列{an}为等比数列?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节　等比数列 基础练 1.(2025·福建泉州模拟)在等比数列{an}中,a1+a4=0,a2=-2,记Sn为{an}的前n项和,则S4等于(　　) A.-8 B.-5 C.-4 D.0 【答案】 D 【解析】 设等比数列{an}的公比为q,则a1+a4=a1+a1q3=0,因为a1≠0,则q=-1,又a2=-2,故a1=2,a3=2,a4=-2,则S4=a1+a2+a3+a4=0.故选D. 2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=51,则公比q等于(　　) A. B. C.2 D.3 【答案】 C 【解析】 由题意知,q>0且q≠1,则===,解得q=2.故选C. 3.(2025·福建福州模拟)在数列{an}中,“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 对于数列{an},若an+1=2an,当a1=0时,可得a2=a3=…=an=0,此时{an}不是公比为2的等比数列;若{an}是公比为2的等比数列,则=2,即an+1=2an,故“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件.故选B. 4.(2025·四川雅安模拟)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a1+a5+a9=9, b2b5b8=3,则=(　　) A.2 B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意可得解得所以===. 故选C. 5.(多选题)记递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则(　　) A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2n-1 C.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-1 【答案】 BC 【解析】 设等比数列{an}的公比为q,因为数列{an}为递增的等比数列,且a2+a4=10>0,所以an>0.因为a2a3a4=64,所以=64,解得a3=4,因为a2+a4=10,所以+4q=10,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.又数列{an}为递增的等比数列,故q=2,a1===1,an=2n-1,Sn==2n-1, Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n.故选BC. 6.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn+1=2Sn+1,则S7等于(　　) A.63 B.127 C.128 D.256 【答案】 B 【解析】 在Sn+1=2Sn+1中,令n=1,得S2=3, 所以a2=2. 由Sn+1=2Sn+1得Sn+2=2Sn+1+1, 两式相减得an+2=2an+1,即=2. 又a1=1,=2, 所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以S7==127.故选B. 7.(2025·山东聊城模拟)已知数列{an}各项均为正数,若a1=1,且ln an+1=ln an+1(n∈N*),则{an}的通项公式为　　　　.  【答案】 an=en-1 【解析】 由已知可得ln an+1-ln an=ln =1,所以=e,所以数列{an}是等比数列,且该数列的首项为1,公比为e,an=1·en-1=en-1. 8.有一座六层高的商场,若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍,一共开了1 890盏,则底层所开灯的数量为　　　　.  【答案】 30 【解析】 依题意,从下往上每层灯的数量构成等比数列{an},公比q=2,n=6,前6项和S6= 1 890,于是S6===1 890,解得a1=30,所以底层所开灯的数量为30. 9.已知一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=　　　　.  【答案】 12 【解析】 由题意可得所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和S偶的4倍, 所以S奇+S偶=4S偶,故S偶=S奇. 设等比数列{an}的公比为q,该等比数列共有2k(k∈N*)项,则S偶=a2+a4+…+a2k= q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=S奇,所以q=, 因为=a1a2a3=64,所以a2=4,所以a1==12. 10.(2024·全国甲卷改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{Sn}的通项公式. 【解】(1)因为2Sn=3an+1-3,故2Sn-1=3an-3(n≥2),所以2an=3an+1-3an(n≥2),即5an=3an+1,故等比数列的公比q=,故2a1=3a2-3=3a1×-3=5a1-3,故a1=1,所以an=()n-1. (2)由等比数列求和公式得Sn==·()n-. 强化练 11.(2025·江苏苏州模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且Sn=2n+1+a,则a1a2-a2a3+ a3a4-…+a9a10=(　　) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由题意得an=Sn-Sn-1=2n+1+a-2n-a=2n(n≥2),因为{an}为等比数列,a1=4+a,a2=4, 所以==2,解得a=-2,a1=2, 易知a1a2,-a2a3,a3a4,…,-a8a9,a9a10构成首项为8,公比为-4的等比数列, 所以a1a2-a2a3+a3a4-…-a8a9+a9a10==.故选A. 12.(多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是(　　) A.数列{an}为等比数列 B.数列{Sn+n}为等比数列 C.数列{an+1}为等比数列 D.数列{2Sn}的前n项和为2n+2-n2-n-4 【答案】 BD 【解析】 因为Sn+1=2Sn+n-1,所以Sn+1+n+1=2Sn+n-1+n+1=2(Sn+n),又S1+1=a1+1=2,所以Sn+n≠0,所以=2,所以{Sn+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故Sn=2n-n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-n-2n-1+(n-1)=2n-1-1,而a1=1不满足2n-1-1,故{an}不是等比数列,故A项错误,B项正确;因为a1+1=2,an+1=2n-1(n≥2),而a1+1≠21-1,故数列{an+1}不为等比数列,故C项错误;因为2Sn=2n+1-2n,故{2Sn}的前n项和为-2·=2n+2-n2-n-4,故D项正确.故选BD. 13.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若S5=,求λ. 【解】 (1)由题意,得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=,故a1≠0. 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1, 得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan. 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=. 因此{an}是首项为,公比为的等比数列, 于是an=()n-1. (2)由(1)得Sn=1-()n. 由S5=得1-()5=,即()5=. 解得λ=-1. 拓展练 14.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=m-25-n,则a1a2·…·an的最大值为　　　　.  【答案】 1 024 【解析】 由题知,Sn+1=m-24-n,a1=S1=m-24=m-16,则an+1=Sn+1-Sn=m-24-n-(m-25-n)=24-n,所以an=25-n,n≥2,当n=1时,a1=24=m-16,解得m=32,满足{an}为等比数列.a1a2·…·an=24·23·…· 25-n=24+3+…+5-n==,由一元二次函数y=易知,数列在n=4或n=5时,取得最大值,则a1a2·…·an的最大值为=1 024. 15.(2025·安徽合肥模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1, +mSn+1=,其中m为常数. (1)证明:Sn+1=2Sn+m. (2)是否存在实数m,使得数列{an}为等比数列?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. (1)【证明】因为+mSn+1=,所以=-mSn+1,因为an+1=Sn+1-Sn,所以=- mSn+1,即Sn+1(Sn+1-2Sn-m)=0.又因为an>0,可得Sn+1>0,所以Sn+1-2Sn-m=0,故Sn+1=2Sn+m. (2)【解】由(1)知Sn+1=2Sn+m,当n≥2时,Sn=2Sn-1+m,两式相减得an+1=2an,即=2(n≥2, n∈N*).所以数列{an}从第二项起成等比数列,且公比q=2.又由S2=2S1+m,即a2+a1=2a1+m,所以a2=a1+m=1+m>0,可得m>-1,所以an=若数列{an}是等比数列,则a2=1+m=2a1=2,可得m=1,经验证得当m=1时,数列{an}满足=2(n∈N*),所以当m=1时,数列{an}是等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $