精品解析：重庆市渝西中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

重庆市渝西中学校高2027届高二上10月考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（ ） A. 16 B. 24 C. 36 D. 40 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆E:+=1（a>b> 0）左右焦点分别为上顶点为A，射线AF1 交椭圆E于B，以AB为直径的圆过，则椭圆E的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. （原创） 8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 离心率为 C. 的面积为12 D. 的面积为24 10. 已知，，点P满足．则（ ） A. 点P的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点P C. 满足的点P共有0个 D. 的周长的取值范围是 （原创） 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 椭圆的短轴长可能为2 C. 椭圆的离心率的取值范围为 D. 若，则椭圆的长半轴长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则______ 13. 已知椭圆，是椭圆C的右顶点，过椭圆的左焦点垂直于长轴的直线交椭圆于M，N两点，则的面积为________________. （原创） 14. 双曲线的左、右焦点分别为，为原点，为上关于原点对称的两点，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点. （1）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长. 16. 的内角A，B，C的对边为a，b，c， （1）求； （2）若，，求b，c． 17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD，底面为直角梯形，，，且，E为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 18. 如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率．是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的取值范围； （3）求证：为定值． （原创） 19. 在平面直角坐标系中，已知圆是圆上的动点，且的中点为. （1）求点的轨迹方程； （2）设点是直线上的动点，是的轨迹的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值； （3）若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，点为直线上的动点，直线与的轨迹的另一个交点分别为与不重合），试探究直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝西中学校高2027届高二上10月考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出a和b的值，进而求解渐近线方程 【详解】已知双曲线方程为，可得，， 因此，； 根据渐近线方程的公式得到. 故选：C. 2. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，从而可求出实数k的取值范围. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得， 故选：D 3. 已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径， 则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为. 故选：C. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（ ） A. 16 B. 24 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】 利用双曲线的定义可得，再求出，即可得到答案； 【详解】因为双曲线为，所以； 由双曲线的定义得， 所以， 所以周长为， 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的定义的运用，考查运算求解能力. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案. 【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故，    故， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 所以 ， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 而， 故的最小值为， 故选：B. 6. 椭圆E:+=1（a>b> 0）左右焦点分别为上顶点为A，射线AF1 交椭圆E于B，以AB为直径的圆过，则椭圆E的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以AB为直径的圆过，即，由勾股定理与椭圆定义用表示出，， 然后在和中，由得出的齐次等式，变形后可得离心率． 【详解】由题意，设，则， 又以AB为直径的圆过，即，所以，解得，所以， 在和中，， ， ， 所以，即，整理得， 所以． 故选：D． 7. 已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解. 【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则， 直线的斜率. 由，得， 得，所以， 即，， ，，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. （原创） 8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限. ∵在的中垂线上， ∴， 由椭圆、双曲线的定义得：， ∴，整理得， ∴，即， ∴， ∴， 令，由定义法可证在为增函数，且， ∵， ∴. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 离心率为 C. 的面积为12 D. 的面积为24 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义及离心率，逐项计算判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴，半焦距， 对于A，，而，解得，，A正确； 对于B，离心率，B正确； 对于C，，，即， 的面积，C错误，D正确. 故选：ABD 10. 已知，，点P满足．则（ ） A. 点P的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点P C. 满足的点P共有0个 D. 的周长的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，，则再根据双曲线的定义可得点的轨迹方程是双曲线的右支判断A,联立方程组计算判断B,根据点到渐近线的距离判断C，转化的周长为，再结合三点共线判断D. 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 所以，故， 所以的轨迹方程为，双曲线的右支，故A错误； 联立，解得（舍去）， 所以直线上存在满足题意的点，故B正确； 双曲线的渐近线方程为， 则点到渐近线的距离， 所以满足的点共有0个，故C正确； 因为即左焦点， 而， 因为，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的周长的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化的周长为，再结合当三点共线时取得最小值. （原创） 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 椭圆的短轴长可能为2 C. 椭圆的离心率的取值范围为 D. 若，则椭圆的长半轴长为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用椭圆的定义计算判断A；点在椭圆内建立不等式，推理计算判断BC；求出点的坐标，列出方程计算判断D作答. 【详解】对于A，由，得，则 ，当三点共线时取等号，A正确； 对于B，由点在椭圆内部，得，则，有，椭圆的短轴长大于2，B错误； 对于C，因为，且，于是，即， 解得，即，因此，椭圆的离心率的取值范围为，C正确； 对于D，由，得为线段的中点，即，则，又， 即，解得，则，椭圆的长半轴长为，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求法和弦长公式求解. 【详解】圆的方程为，即①， 又圆：②， ②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为 圆的圆心到直线的距离， 所以． 故答案为: . 13. 已知椭圆，是椭圆C的右顶点，过椭圆的左焦点垂直于长轴的直线交椭圆于M，N两点，则的面积为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有，，进而有，即可求三角形面积. 【详解】由题设，，将代入椭圆，得，则， 所以的面积为. 故答案为： （原创） 14. 双曲线的左、右焦点分别为，为原点，为上关于原点对称的两点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及性质结合余弦定理计算即可. 【详解】 如图示，连接，易知四边形平行四边形，， 根据双曲线的性质及已知有， 根据余弦定理可知：， 又. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点. （1）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长. 【答案】（1）2x-y-2=0；（2） 【解析】 【分析】 （1）由圆的方程可求出圆心，再根据直线过点P、C，由斜率公式求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线l的方程； （2）根据点斜式写出直线l的方程，再根据弦长公式即可求出． 【详解】（1）已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为，直线l的方程为y=2(x-1)，即 2x-y-2=0． （2）当直线l的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0. 所以圆心C到直线l的距离为． 因为圆的半径为3，所以，弦AB的长． 【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及圆的弦长公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 16. 的内角A，B，C的对边为a，b，c， （1）求； （2）若，，求b，c． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理以及余弦定理进行化简即可； （2）利用正弦定理进行转化求解． 【详解】（1）由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 又为三角形内角， 所以； （2）由（1）知：，又， 所以， 又， 根据正弦定理，得， ， 所以，． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理余弦定理进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于常考题型. 17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD，底面为直角梯形，，，且，E为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，所以又， 所以， ∴平面，所以平面，平面， 所以， 在中，因为为的中点， 所以， ∴平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直得出，再根据线面垂直得出，再根据中线得出，再应用线面垂直证明； （2）建立空间直角坐标系，先分别求出平面与平面的法向量，最后应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由题知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则. 设平面的法向量为， 则，即 令，得， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则所以，， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率．是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的取值范围； （3）求证：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明: 由（2）知，，由得，即，而，同理， 因此，， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出半焦距c及b即可作答. （2）设出直线的方程，与椭圆E的方程联立，结合韦达定理求出面积S的表达式即可求解作答. （3）由（2）中信息，用点C，D的坐标表示出即可计算作答. 【小问1详解】 令椭圆E的半焦距为c，依题意，，，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线：，，设， 由消去x并整理得：，则，， ， 由（1）知，则有， 令，显然函数在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. （原创） 19. 在平面直角坐标系中，已知圆是圆上的动点，且的中点为. （1）求点的轨迹方程； （2）设点是直线上的动点，是的轨迹的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值； （3）若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，点为直线上的动点，直线与的轨迹的另一个交点分别为与不重合），试探究直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据弦长关系可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，即可得方程； （2）根据切线性质可得，进而可得最小值； （3）先进行图形平移，将圆心平行至原点，可得，分类讨论直线斜率是否存在，利用韦达定理可证直线过定点，进而可得结果. 【小问1详解】 已知圆 的方程为 ，将其转化为圆的标准方程： . 所以圆心 ，半径 . 因为 是 的中点，可知 . 已知 ，则 . 在 中，根据勾股定理. 设点，根据两点间距离公式 ， 两边平方可得 . 所以点的轨迹方程为 . 【小问2详解】 因为 ， 是圆 的切线，所以 ， . 又因为 ， 所以四边形 的面积， 根据勾股定理 ， 所以 . 点 是直线 上的动点， 根据点到直线的距离公式，圆心 到直线 的距离 ， 即 .当 取最小值 时， . 所以四边形 面积的最小值为 . 【小问3详解】 由题意可知：直线，不妨令， 先说明如下问题：若点为直线上的动点， 直线与圆的另一个交点分别为，（与不重合），求证：直线过定点． 因为， 可知，即，可得， 又因为， 可得， 则，即， 整理可得， 若直线的斜率存在，设为， 联立方程，消去y可得， 则，且， 则，整理可得，解得或， 若，则直线：过定点； 若，则直线：过定点， 且与不重合，不合题意； 所以直线过定点； 若直线的斜率不存在，则，可得， 即，解得或（舍去）， 此时直线过点，符合题意； 且在圆内部，直线与圆必相交， 综上所述：直线过定点. 将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移个单位，即可得到本题的问题， 结合图形平移可知：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $